\documentstyle[german]{article}

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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE \bf DFB-TDM mit Polarisations-Gleichungen}\\
Ede's Herleitung vom 5.4.98
\end{center}

Setze stabile transversale TE-Grundmode voraus, die den zeitlichen
und longitudinalen \"Anderungen des transversalen Brechindexprofils
adiabatisch folgt. Betrachte nur die positiven
Frequenzanteile $E(z, \omega)$
der zeitlich fouriertransformierten Feldamplitude.
Diese gen\"ugen der longitudinalen Wellengleichung
\begin{equation}
\left[\partial_z^2 + \beta_{tot}^2(z, \omega) \right] E(z, \omega)
=
0.
\end{equation}
Dabei ist $ \beta_{tot}$ die totale Propagationskonstante
des Wellenleiters. Diese darf nur geringf\"ugig von $ \pi/\Lambda$
abweichen ($\Lambda =$ Periode des DFB-Gitters), ansonsten werden die
Traveling-Wave-Equations (TWE) ung\"ultig. Damit gilt u.a. auch
\begin{equation}
\Imag{ \beta_{tot}^2} = 2 \Real{ \beta_{tot}} \Imag{ \beta_{tot}}
                      \approx \frac{ \pi}{\Lambda} g,
\end{equation}
wobei $g$ den Wellenleitergain $2\Imag{ \beta_{tot}}$ bezeichnet.

\section{Abtrennung eines Polarisationsanteils mit Lorentz-Dispersion}
In die Gr\"o{\ss}e
$\beta_{tot}^2E=k_0^2(E+P)$ mit $k_0= \omega/c = 2 \pi/ \lambda$
gehen die verschiedenen physikalischen Beitr\"age zur
Polarisationsamplitude $P$ additiv ein. Wir spalten im folgenden nur
einen Lorentz-artigen ab, und nehmen an, da{\ss} der Rest durch das
\"ubliche $ \beta$ beschrieben werden kann:
\begin{equation}
 \beta_{tot}^2(z, \omega) = \beta^2(z, \omega) +
 \frac{ \pi}{\Lambda}~
 \frac{ \omega^2}{ \omega_r^2}~
 \frac{\Gamma g_r}{ \omega- \omega_r-i\Gamma}
\end{equation}
Die Parameter des Lorentz-Beitrages sind seine
Resonanzfreuqenz $ \omega_r$, seine Halbwertsbreite $\Gamma$ und sein
Gain im Resonanzmaximum $g_r$. Bringen wir ihn nach rechts, so wird
die Wellengleichung zu
\begin{equation} \label{wavequ2}
\left[
 \partial_z^2 + \beta^2(z, \omega) \right] E(z, \omega)
= g_r \frac{ \pi}{\Lambda} \frac{ \omega^2}{ \omega_r^2}~P(z, \omega)
~~~ \mbox{mit} ~~~
P(z, \omega) = \frac{\Gamma}{\omega- \omega_r-i\Gamma} E(z, \omega).
\end{equation}

\section{Linearisierung in der Relativfrequenz $\Omega$}
In den TWE wird \"ublicherweise angenommen,
da{\ss} im Frequenzraum nur ein ganz kleines Intervall um die
Zentralfrequenz $ \omega_0$ eine Rolle spielt und dort die Linearisierung
\begin{equation}
 \beta^2( z,\omega)= \beta^2(z, \omega_0)+
                     2 \frac{ \pi}{\Lambda} ~ \frac{\omega- \omega_0}{v_g}
\end{equation}
mit der Wellenleiter-Gruppengeschwindigkeit $v_g$ benutzt.
R\"ucktrafo in den Zeitraum gibt die typische erste Zeitableitung in
den CME. Eine entsprechende Linearisierung des Lorentz-Terms
verbietet sich, weil sie seine typische Dispersion zerst\"oren w\"urde.
Statt dessen l\"a{\ss}t man $P$f als unabh\"angige Variable, die der in
$\Omega$ ebenfalls linearen Gleichung
\begin{equation} \label{pol2}
 \Omega P(z,\Omega) = \left( \Omega_r+i\Gamma\right) P(z,\Omega)
                      + \Gamma E(z,\Omega)
\end{equation}
gen\"ugt und setzt im Vorfaktor auf der rechten Seite in (\ref{wavequ2})
$ \omega^2/ \omega_r^2\approx 1$. Damit sind beide Gleichungen in
$\Omega$ linear und k\"onnen leicht in die Zeitdom\"ane
zur\"ucktransformiert werden.

\section{Zerlegen in vor- und r\"uckw\"arts-Welle}
Der Rest ist fast das \"ubliche. Wir setzen
\begin{equation}  \label{eans}
E(z,\Omega)=f_+e^{-i \pi z/\Lambda} +f_-e^{+i \pi z/\Lambda},
\end{equation}
wobei $f_\pm(z,\Omega)$ die langsam ver\"anderlichen Amplituden sind.
Die lineare Polarisationsgleichung (\ref{pol2}) f\"uhrt sofort auf
\begin{equation} \label{pans}
P(z,\Omega)=p_+e^{-i \pi z/\Lambda} +p_-e^{+ \pi z/\Lambda},
\end{equation}
wobei im Zeitraum

{\LARGE
\begin{equation} \label{polequ}
 -i\partial_t p_\pm = \left( \Omega_r+i\Gamma\right) p_\pm +
            \Gamma f_\pm.
\end{equation}
}

In die Wellengleichung setzt man
\begin{equation}
 \beta^2(z, \omega_0)
 =
 \left(\frac{ \pi}{\Lambda}\right)^2
 +
 2\frac{ \pi}{\Lambda} \delta \beta
 +
 4\frac{ \pi}{\Lambda} \kappa \cos{\left(2
 \pi\frac{z}{\Lambda}\right)},
\end{equation}
und (\ref{eans}) sowie (\ref{pans}) ein, sortiert nach Ortsfrequenzen
und erh\"alt in den beiden niedrigsten Ordnungen endg\"ultig
nach R\"ucktrafo in die Zeitdom\"ane

{\LARGE
\begin{equation} \label{twepol}
\left( \mp i\partial_z -i \frac{1}{v_g}\partial_t+ \delta \beta \right)f_\pm
+ \kappa f_\mp =\frac{g_r}{2}~ p_\pm.
\end{equation}
}

Dies zusammen mit den Polarisationsgleichungen (\ref{polequ}) bildet
das gesuchte Gleichungssystem. Man braucht an jedem Ort $z$ also zwei
Polarisationsvariable, je eine f\"ur die hin- und die r\"ucklaufende
Welle.
\end{document}
