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\begin{document}

%Title of paper
\title{ASE-ripple of active-passive FP laser}

\author{ede}
 \affiliation{Humboldt-Universit\"at zu Berlin, Institut f\"ur Physik, Newtonstrasse 15, D-12489 Berlin, Germany}

\date{\today}

\maketitle
%

Hallo Olaf, 

ich habe die ASE-Formel aus Hans' Anhang fuer den Fall eines FP-Lasers aus einer aktiven und einer passiven Sektion angewendet. Da kommt fuer das Spektrum etwas sehr einfaches raus. Abgesehen von einem nur sehr schwach wellenl\"angbh\"angigen Proportionalit\"atsfaktor wird die Wellenl\"angenabh\"angigkeit der ASE durch folgenden Resonanznenner bestimmt:
\begin{eqnarray}
S(\lambda ) \sim {\left|1-r_0r_L \exp\left(-2i\int_0^L\beta(z,\lambda)\,d\!z\right)\right|^{-2}}.
\end{eqnarray}
$r_0, r_L$: Amplitudenreflektivit\"aten an den Facetten ($\sqrt{0.3}$), $L$: Gesamtl\"ange aktiv+passiv, $\beta(z,\lambda ) $: komplexer Propagationsfaktor des Wellenleiters am Ort $z$ und fuer Wellenl\"ange $\lambda $. 

Maximum und Minimum treten bei den Wellenl\"angen auf, bei denen der Exponentialterm rell positiv bzw. reell negativ wird. Der Ripplefaktor ist deshalb
\begin{eqnarray}
r:= \frac{S_\text{max}}{S_\text{min}} = \left|\frac{1+G}{1-G}\right|^{2}.
%~~~\text{mit}~~~
%G=r_0r_L\exp\left(\int_0^L2\text{Im} \beta(z,\lambda)\,d\!z\right).
\end{eqnarray}
Hier ist $G$ der Amplituden-Verst\"arkungsfaktor bei einem Umlauf. Wenn der 1 wird, hat man die Schwelle erreicht, der Nenner wird null, der Ripple unendlich. 

In unserem Falle ist $G$ also Verst\"arkung in der aktiven Sektion mal Auskoppelverlust linke Facette ($r_0$) mal Auskoppelverlust Inteface (= feedback amplitude $K$)
\begin{eqnarray}
G=\exp[(g_A-\alpha _{A})L_A]r_0 K.
\end{eqnarray}
(alle Groessen mit Index $_A$ beziehen sich auf die aktive Sektion)

Umstellen nach $K$ gibt
\begin{eqnarray}
\boxed{
K=
\frac{1}{r_0}
\exp(\alpha _A L_A) 
\left(\frac{\sqrt{r}-1}{\sqrt{r}+1}\right)
}
\end{eqnarray}

Um Missverstaendnisse zu vermeiden, die Ripple-Formel lautet in diesem Falle genau wie beim einfachen FP-Laser
\begin{eqnarray}
g = \frac{1}{L_A} \ln \left(\frac{\sqrt{r}-1}{\sqrt{r}+1}\right),
\end{eqnarray}
es geht aber nur die L\"ange des aktiven Teils ein und entscheidend ist die richtige Interpretation des Nettogains $g$: das ist der eigentliche Gain $g_A$ in der aktiven Sektion minus dessen Schwellenwert $g_A^{th}$, also $g=g_A-g_A^{th}$ (die rechte Seite ist immer negativ und verschwindet wenn der Ripple unendlich wird, d.h. an der Schwelle). 

Mit 
\begin{eqnarray}
g_A^{th}=\alpha _A + \frac{1}{L_A}\ln\left(\frac{1}{r_0K}\right)
\end{eqnarray}
ergibt sich meine Formel oben fuer $K$. Das ist alles wie beim einfachen FP, wenn man nur die Reflektivit\"at $R$ durch $r_0K$ ersetzt. 

ede. 

\end{document}

