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\begin{document}

%Title of paper
\title{Modenselektion im PhaseCOMB Laser: Phasendispersion in den DFB-Sektionen}

\author{ede}
% \affiliation{Humboldt-Universit\"at zu Berlin, Institut f\"ur Physik, Newtonstrasse 15, D-12489 Berlin, Germany}

\date{23.03.2004}


\maketitle
%

\section{Motivation}
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Modenselektion ist immer noch problematisch beim \mbox{PhaseCOMB}. Allzuviele Seitenmoden lauern unterdr\"uckt im Hintergrund und nutzen jede Gelegenheit um st\"orend hervorzuspringen. M\"uhsam m\"ussen etliche Barren durchgemessen werden, um chips zu finden, bei denen die beiden Nutzmoden das tun was sie sollen und die Seitenmoden kuschen. Es bleibt unklar, warum dann dieses eine chip geht und andere nicht. Ein systematisches Verfahren ist unter solchen Bedingungen kaum findbar. 

Modeling ist diesbez\"uglich bisher auch hilflos. Der gew\"unschte Operationsmodus l\"a{\ss}t sich eigentlich immer in einem erklecklichen Teil der Phasenperiode einstellen. Auch mit Lochbrennen und den bisher vorstellbaren St\"oreffekten. Nat\"urlich, sinnvolle Parameter vorausgesetzt (z.B. L\"angen), aber ohne starke Abh\"angigkeit von diesen. 

Allerdings: auch das Modeling zeigte Effekte, die bisher unverstanden sind. Insbesondere die omin\"osen ''Frequenzl\"ucken'' \cite{ldfbvar,lpvar}. Manche Frequenzbereiche lassen sich leichter ansteuern als andere. Beaten zweier Nachbarmoden geht ganz gut im Bereich um 30~GHz. Versucht man es durch Parameter\"anderung zu den gew\"unschten 40~GHz zu ziehen, so erreicht man diese nur selten. Vorher springt das Lasern auf \"ubern\"achste Moden, die dann um die 70-80 GHz herum beaten. Umgekehrt lassen sich \"ubern\"achste Nachbarmoden kaum bis auf 40~GHz Abstand herunterziehen. Es ist absolut unklar, warum diese ''Ansteuerl\"ucke'' ausgerechnet bei der Wunschfrequenz 40~GHz liegt und zwar ziemlich unabh\"angig von verschiedenen Parametern. So hatte ich die Phasenl\"ange $L_p$ zwischen 10 und 700 $\mu$m variiert und f\"ur jede die Phase selbst und die Verstimmung durchgedreht \cite{lpvar}. Sch\"on war zu sehen, wie die ''Pulsationswolken'' mit zunehmender Phasenl\"ange in der Frequenz nach unten wanderten. Bei Ann\"aherung an den 40~GHz-Bereich jedoch verschwanden sie und tauchten dann erst unterhalb wieder auf. Analog bei Variation der DFB-L\"angen (beider symmetrisch) zwischen 160 und 400 $\mu$m.

In dieser Situation scheint es sinnvoll, sich nochmals mit dem theoretischen Verst\"andnis der Modenselektion auseinanderzusetzen. Und zwar aus alternativen, bisher nicht behandelten Blickwinkeln heraus. Hier: Beitrag der DFB-Sektionen zur Umlaufphase.

\section{Phasendispersion einer DFB-Sektion}
%-------------------------------------------------------

\subsection{Modenabstand $\Leftrightarrow $ Dispersion der Umlaufphase}
%------------------------------------------------------

Die gew\"unschten mode-beating Pulsationen bei $\Delta f = 40$~GHz sollen 2 Nachbar-Moden mit entsprechendem Frequenzabstand nutzen. Ein Fabry-Perot (FP) m\"usste dazu die L\"ange
\begin{eqnarray}
L_\text{FP} = \frac{c}{2 n_g \Delta f} = \frac{3 \times 10^{8}}{2 \cdot 3.7 \cdot 40 \times 10^9} \text{m} \approx 1000 \mu\text{m}
\end{eqnarray}
haben. Das ist nun viel l\"anger als unsere typischen 300 $\mu$m langen Phasensektionen. Das ist sogar l\"anger als die typischen Devices insgesamt. 

Wieso k\"onnen im PhaseCOMB zwei Moden dichter beieinander liegen als in einem FP gleicher L\"ange? Weil f\"ur den Modenabstand nicht die geometrische L\"ange entscheidend ist, sondern die optische L\"ange. Genauer: die Resonatormoden liegen bei all jenen optischen Frequenzen (Wellenl\"angen), bei denen sich die Phase der Welle bei einem Resonatorumlauf um ein ganzes Vielfaches von $2\pi $ \"andert (konstruktive Interferez mit sich selbst). Entscheidend f\"ur den Modenabstand ist also, wie stark sich diese Umlaufphase mit der Wellenl\"ange \"andert (Phasendispersion).

\begin{figure} \center
\includegraphics*[width=0.7\columnwidth]{singledfbrefl}
\caption{\label{fig:dfbrefl} Amplitudenreflektivit\"at einer DFB-Sektion. Rot: Betrag. Gr\"un: Phase/2$\pi $.
}
\end{figure}

\subsection{Beitrag einer DFB-Sektion zur Umlaufphase}
%-----------------------------------------------------------

Der Beitrag einer Lasersektion zur gesamten Umlaufphase ist gerade die Phase ihres komplexen Amplitudenreflexions-Koeffizienten, 
\begin{eqnarray}
\varphi (\lambda ) = \arg(r(\lambda ))= \text{Im}[\ln(r(\lambda ))].
\end{eqnarray}
Die l\"a{\ss}t sich f\"ur DFB-Sektionen leicht berechnen und ist in Abb.~\ref{fig:dfbrefl} dargestellt. Nettogain = (Gain-Verluste) hier bei 90\% der Schwelle. In den Ohren starke Phasendispersion !!!  Die Phase \"andert sich in den Ohren um etwa eine halbe Periode. Das muss so sein weil: $r$ hat an Schwelle einen Pol und beim Durchgang durch einen Pol springt die Phase um $\pi $. 

\begin{figure} \center
\includegraphics*[width=0.9\columnwidth]{gfak} 
\caption{\label{fig:dfbreflohr} Amplitudenreflektivit\"at einer DFB-Sektion. Ausschnitt an linkem Ohr. Scharparemeter der Kurven: Nettogain = 0.6, ... ,1.1 mal Schwellenwert. Bei den Phasenkurven entspricht die eckige genau der Schwelle und die mit negativer Dispersion 1.1 mal Schwelle. Die beiden Kreise im Abstand von 40~GHz illustrieren ein potentielles Modenpaar.}
\end{figure}

\begin{figure} \center
\includegraphics*[width=0.7\columnwidth]{fis} 
\caption{\label{fig:dfbfis} 
Kurvenschar unten: Phasenzuw\"achse $\phi_{\Delta f} $ f\"ur $\Delta f = 10,30,50,70,90$ GHz. Dar\"uber: Normierter Betrag +1 sowie Phase der Reflektivit\"at. Parameter wie in Abb.~\ref{fig:dfbreflohr}, Nettogain = 90\% Schwelle. Abszisse: optische Mittenfrequenz $f$ relativ zur Stopbandmitte.
}
\end{figure}

Das ganze h\"angt nat\"urlich vom Gain ab, Abbildung~\ref{fig:dfbreflohr}. Genau an Schwelle springt die Phase um $\pi $. Bei kleinerem Gain (der im gekoppelten Zustand meist vorliegt), wird das auf ein endliches Intervall verschmiert. Bei \"uberschwelligem Gain wird die Dispersion negativ. Das kann im gekoppelten Zustand in einer der beiden Sektionen durchaus eintreten (pr\"ufen !!!).  

\subsection{Phasenzuwachs \"uber endliches Frequenzintervall}
%-----------------------------------------------------------

Der lokale Anstieg der Phasendispersionskurven ist f\"ur unser Problem mit 2 Moden in $\Delta f = 40$~GHz Abstand nur bedingt relevant. Wichtig ist der Phasenzuwachs \"uber dieses endliche Frequenzintervall,
\begin{eqnarray} \label{eq:fis}
\phi_{\Delta f} = \varphi (\lambda _+)-\varphi (\lambda _-);  ~~~~~~
\lambda _\pm = \lambda (1\mp\frac{\Delta f}{2f});
\end{eqnarray} 
$\lambda $: Mittenwellenl\"ange, $f$: entsprechende optische Mittenfrequenz $c/\lambda $. 

Die beiden fetten Punkte stellen 2 solche (fiktive) Moden mit 40~GHz Abstand dar. Der Phasenzuwachs zwischen beiden ist etwa 0.7  Perioden -- praktisch unabh\"angig vom Gain (solange unter Schwelle und deutlich \"uber Transparenz) und auch wenig abh\"angig von ihrer absoluten spektralen Position. Wenn aber jede DFB-Sektion 0.7 Perioden Phasenzuwachs bringt, sind das zusammen schon 1.4, mit den 0.3 der Phasensektion also 1.7. Die Moden k\"onnen also noch ein ganzes St\"uck zusammenrutschen.

Fig.~\ref{fig:dfbfis} zeigt die Phasenzuw\"achse (\ref{eq:fis}) f\"ur verschiedene Differenzfrequenzen $\Delta f$ \"uber der relativen optischen Mittenfrequenz $f$. Bei 2 gleichen DFB-Sektionen und 300~$\mu$m Phasensektion w\"urden 2 Nachbarmoden mit Mittenfrequenz im Ohr einen Phasenzuwachs von 0.35 pro DFB erfordern und \"ubern\"achste Moden 0.85. Das gibt hier weniger als 10~GHz Abstand f\"ur Nachbarmoden und etwa 70~GHz f\"ur \"ubern\"achste. Nun h\"angt das wieder vom Gain ab. Um nicht unz\"ahlige Bilder malen zu m\"ussen, betrachte ich jetzt nur noch den Phasenzuwachs im Maximum des Ohrs. 

\begin{figure} \center 
\includegraphics*[width=0.7\columnwidth]{fimax.L100.eps} \\
\includegraphics*[width=0.7\columnwidth]{fimax.L200.eps} \\
\includegraphics*[width=0.7\columnwidth]{fimax.L300.eps} 
\caption{\label{fig:dfbfis} 
Phasenzuwachs im Maximum der Reflexionsresonanz als Funktion der Differenzfrequenz f\"ur $L_\text{DFB}=100, 200, 300 \mu$m und Nettogain = 60\% (rot), 70\% (grün), 80\% (blau), 90\% (lila), 99\% (hellblau).
}
\end{figure}

\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{ldfbvar}
Rechnungen 22.04.02 \\ ''influence of LDFB on SP-islands (frequency vs. detuning)''

\bibitem{lpvar}
Rechnungen 07.03.02 \\ ''interplay between detuning and length of phase section''
\end{thebibliography}

\end{document}


