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\begin{document}

%Title of paper
\title{moden mit feedback, UshakovPRL $\Rightarrow$ LK}

\author{ede}
% \affiliation{Humboldt-Universit\"at zu Berlin, Institut f\"ur Physik, Newtonstrasse 15, D-12489 Berlin, Germany}

\date{\today}


\maketitle
%

Die inverse Reflektivit\"at
%
\begin{eqnarray}
q=\frac{i\gamma L}{\kappa L} \cot(\gamma L)-\frac{\beta L}{\kappa L}
\end{eqnarray}
%
wird durch $\kappa L$ vollst\"andig bestimmt (L hier DFB L\"ange). Damit auch ihre Nullstelle $\beta^ {th}L$. Frequenz und Dichte an der solit\"aren Schwelle folgen daraus. Seien $\omega $ und $n$ die Abweichung von den solit\"aren Schwellenwerten due to feedback. Dann
%
\begin{eqnarray}
\beta (\omega ,n)L = \beta ^{th}L + \tau_l [\omega +(i+\alpha _H) g];
~~~~ g=\frac{1}{2}g'n;
~~~~ \tau_l =L/v_g: \text{ Umlaufzeit im DFB laser}
\end{eqnarray}
%
und bei Kleinheit der Abweichung vom solit\"aren Schwellenwert
%
\begin{eqnarray}
q(\omega ,n)=q_{\beta L}^{th} \tau _l [\omega +(i+\alpha _H) g].
\end{eqnarray}
%
$q_{\beta L}^{th}$: Ableitung von $q$ nach $\beta L$ an solit\"arer Schwelle. H\"angt nur von $\kappa L$ ab. Das habe ich gerade im unteren Teilbild dargestellt. Einsetzen in Ushakov (1), Division durch Vorfaktoren:
%
\begin{eqnarray}
\boxed{ ~ [\omega +(i+\alpha _H) g] \exp(-i\omega \tau ) = \eta ~ }
\hspace{4cm} \eta = \frac{K \exp(-i\phi)}{q_{\beta L}^{th} \tau _l}
\end{eqnarray}
%
Das ist die LK-Modengleichung, gleich mit einer theoretischen Beziehung zwischen dem LK-eta und unserem K. Ob die Phasen- und Frequenz-Vorzeichen wirklich stimmen, bin ich immer noch nicht sicher. 
\end{document}


