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\begin{document} \sf

\title{Scatterer Laser (SL)}
\author{ede}

\maketitle

Beim RL hatten wir zuf\"allig positionierte Streuer. Nehmen wir an, die Streuer lassen sich pr\"azise positionieren. Wie muss man die Positionen w\"ahlen, damit
\begin{enumerate}
\item die Schwelle m\"oglichst niedrig,
\item der Laser m\"oglichst einmodig,
\item das Fernfeld m\"oglichst fokussiert und
\item die in Strahlrichtung abgegebene Leistung m\"oglichst hoch sind?
\end{enumerate}
Vom Prinzip her sind die Antworten klar.  
\begin{enumerate}
\item Die Schwelle wird niedrig, wenn sich an jedem Streuer die von allen anderen Streuern einlaufenden Amplituden koh\"arent addieren. 
\item Der Laser wird einmodig, wenn diese Koh\"arenz bei den Wellenl\"angen der anderen Moden gest\"ort ist. 
\item Das Fernfeld ist fokussiert, wenn sich die Amplituden in eine Richtung koh\"arent addieren und in alle anderen nicht. 
\item Die in Strahlrichtung abgegebene Leistung ist dann auch hoch. Sie kann weiter erh\"oht werden, wenn hinter dem letzten Streuer in Strahlrichtung noch weiter verst\"arkt wird. 
\end{enumerate}
Wir wollen das nun mit dem f\"ur den RL entwickelten Modell konkretisieren und quantifizieren. Mit der vollen rechenintensiven Numerik im riesigen Parameterraum herumzustochern ist wenig zielf\"uhrend. Wir machen uns zu Nutze, dass es sich um schwache Streuung handelt und suchen handhabbare N\"aherungen. 

%\newpage

\section{Analytische N\"aherungen f\"ur schwache Streuer}
%==========================================================

Der Fall wurde in Abschnitt 3 des Supplement zum RL-PRL behandelt. In niedrigster Ordnung der Streust\"arke ergab sich Formel (18), die sich wie folgt schreiben l\"asst:
\begin{eqnarray}\label{pairsonly}
1 =  i {A} _b ^2 \sum_{p} \frac {e^{2iqr_{p}}} {8\pi q r_{p}}, ~~~~ q=k-ig/2; ~~~~ k=2\pi n/\lambda, 
\end{eqnarray}
%
with the Mie back scattering amplitude ${A} _b$. Der Index $p$ l\"auft \"uber alle Streuerpaare (wobei jedes Paar nur einmal vorkommt) und $r_p$ ist der Abstand der beiden Streuer. Die komplexen L\"osungen $q$ liefern Wellenzahlen $k$ und Schwellengains $g$) der Moden des SL. 

Im Nenner kann $q$ durch $k_0=2\pi n/\lambda _0$ approximiert werden, wobei $\lambda _0$ die zentrale Wellenl\"ange ist. F\"uhren wir weiterhin die Phase der R\"uckstreuamplitude $\varphi _b =\arg A_\pi $, die back scattering cross section $\sigma _\text{b}= |{A} _b |^2/(4k_0)$ und dem maximalen Abstand zweier Streuer $L=\max_p r_p$ sowie die Funktion 
%
\begin{align}
{\cal N}(g,k) = L \sum_p \frac{\exp[-g(L-r_p)]}{r_p} ~ \exp\left[2i(kr_p+\varphi _b +\frac{\pi }{4})\right]
\end{align}
%
ein, dividieren (\ref{pairsonly}) durch $e^gL$ und logarithmieren, so ergibt sich
%
\begin{align}\label{pairsonly2}
g L = \ln\left( \frac{2\pi L}{{\cal N}(g,k)\sigma _\text{b}}\right).% = \ln\left(2\pi \frac{L}{\sigma _\text{b}}\right) - \ln {\cal N}(g,k).
\end{align}
%
Die L\"osungen dieser Gleichung werden vollst\"andig durch die Funktion ${\cal N}(g,k)$ bestimmt. Die Nullstellen der Phase von ${\cal N}$ definieren die  diskreten Wellenzahlen $k_m$ der SL-Moden. Wird in der Summe nur das Paar mit $r_p=L$ mitgenommen, ergeben sich \"aquidistante FP-Moden mit ${\cal N}=1$ und (\ref{pairsonly2}) ist die bekannte Schwelle f\"ur ein Paar mit dem Abstand $L$. Die Schwellenabsenkung infolge der anderen Paare wird durch $N_\text{coh}=|{\cal N}|$ bestimmt, was als die effektiv wirkende Zahl koh\"arenter solcher Paare interpretiert werden kann.  Je gr\"o{\ss}er $N_\text{coh}$, desto geringer die Schwelle. 

Wie gro{\ss} muss $N_\text{coh}$ sein, um die Schwelle eines FP-Lasers der L\"ange $L$ und Reflektivit\"at $R$ zu erreichen? Das ist leicht berechnet:
%
\begin{eqnarray}
N_\text{coh} =2\pi R \frac{L}{\sigma _\text{b}}.
\end{eqnarray}
%
Dies ist in der Abbildung unten f\"ur verschiedene $L$ als Funktion des Streuerradius $a$ dargestellt:
\\

%\includegraphics*[width=0.45\textwidth]{sigbackvsR.eps}\hfill
\mbcc{1}{\includegraphics*[width=0.7\textwidth]{NrequiredvsR.eps}} \\

Das sind gewaltige Zahlen. Mindestens einige hundert. Kann man das erreichen? Wir werden verschiedene M\"oglichkeiten durchtesten. Um auch bei gro{\ss}en Streuerzahlen schnell zu Aussagen zu kommen, werden wir nicht die Moden berechnen, sondern $k$ als unabh\"angigen Parameter behandeln und Schwellenkurven $g(k)$ in der $(g,k)$-Ebene als iterative L\"osung der Gleichung
%
\begin{eqnarray} \label{schwellenkurve}
gL = \ln\left( \frac{2\pi L}{|{\cal N}(g,k)|\sigma _\text{b}}\right)
\end{eqnarray}
%
berechnen. Alle Moden liegen auf dieser Kurve. Die iterative L\"osung dieser Gleichung ist einfach und schnell, wenn man in kleinen Schritten vorw\"arts geht, weil sich $g$ entlang der Kurve stetig \"andert. Wir werden zun\"achst einfache Konfigurationen mit wenigen Streuern betrachten, wo man noch mit der vollen Numerik vergleichen kann und dann die Anzahl der Streuer vergr\"o{\ss}ern. 

\section{Konfiguration 1-M}
%------------------------------------

\mbc{0.39}{
Ein Streuer in mittlerer Entfernung $\bar{L}$ von einem linearen Gitter aus $M$ Streuern mit dem Abstand $\Delta$. Parameter ist der Neigungswinkel zwischen Gitter und der ''optischen Achse''.}
\hfill 
\mbc{0.6}{\includegraphics*[width = \textwidth]{1M.eps}}

Hier kann man noch weiter n\"ahern und auf Iterationen ganz verzichten. Wenn die laterale Ausdehnung des Gitters klein ist gegen $\bar{L}$, tragen Paare aus Gitterpunkten nicht bei und es gilt in guter N\"aherung
%
\begin{align}
r_p=\bar{L}+p \delta  ~ \text{ und } ~ L=\bar{L} + \frac{M-1}{2}\delta  ~~~ \text{ mit } ~ \delta =\Delta \cos(\alpha ), 
\end{align}
%
wobei jetzt $p= (1, ...., M)-(M+1)/2$ \"uber die Gitterpunkte l\"auft. Nehmen wir noch $Mg\Delta \ll 1$ an, finden wir
%
\begin{align}
{\cal N}(g,k) = e^{2i(k\bar{L}+\varphi _b+\pi /4)}N_\text{eff}(k\delta )
~~~~ \text{ mit } ~~
N_\text{eff}(k\delta ) = \left\{ \begin{matrix}
1+2\sum_{p=1}^{(M-1)/2} \cos(2pk\delta ) ~~~~~~~ & (M \text{ ungerade}) \\
  2\sum_{p=1}^{M/2} \cos((2p-1)k\delta ) ~~~~~~~ & (M \text{ gerade}) 
\end{matrix}\right.
\end{align}
%
Beachte: $N_\text{eff}$ ist reell und ${\cal N}$ h\"angt nicht mehr von $g$ ab. Damit l\"a{\ss}t sich die Modengleichung (fast) explizit l\"osen:
%
\begin{align}
\label{km}
k_m &= \frac{\pi }{\bar{L}}\left(\tilde{m}_0 + m - \frac{\text{sign}(N_\text{eff}(k_m\delta ))}{4}-\frac{\varphi _b}{\pi }\right),
\\
\label{gm}
g_m &= \frac{1}{L} \ln\left(\frac{2\pi L}{|N_\text{eff}(k_m\delta )|\sigma _b}\right).
\end{align}
%
\mbc{0.5}{
$|N_\text{eff}(k_m\delta )|$ kann interpretiert werden als die effektive Zahl von Paaren, die bei der Wellenzahl $k_m$ koh\"arent zum Gain beitragen. Die Moden mit positiven $N_\text{eff}$ liegen an den gleichen Stellen, wie die eines Paares mit dem mittleren Abstand $\bar{L}$, alle anderen genau in der Mitte dazwischen.
}\hfill \mbc{0.4}{\includegraphics*[width=\textwidth]{Neff.eps}}

\newpage

\underline{\large \bf Beispiele f\"ur $M=9$}: 
Die Paarschwelle ist 203/cm. Es gibt 9 Paare. Wenn alle koh\"arent zur Wirkung kommen, sinkt die Schwelle auf 159/cm. 

\mbc{0.4}{
a) $\alpha =0$. 

Linie mit Punkten (rot): Formeln (\ref{km},\ref{gm}). 
Linie (schwarz): iterative Schwellenkurve (\ref{schwellenkurve}). 
Punkte (blau): volle numerische L\"osung. 
Unten: Streuerkonfiguration. Paarschwelle ca. 200 cm$^{-1}$.

Die volle L\"osung liegt deutliche \"uber beiden N\"aherungen. Ursache: Abschattung der hinteren Streuer im Gitter durch koh\"arente Vorw\"artsstreuung. Letztere ist schon in der Ausgangsn\"aherung (\ref{pairsonly}) nicht enthalten
}\hfill\mbcc{0.5}{\includegraphics*[width=\textwidth]{1-9alf00.eps}}\\[6ex]

\mbc{0.4}{
b) $\alpha =11^o$. 

Bedeutung der Linien wie bei a).

Jetzt ist die Abschattung weg und man hat gute \"Ubereinstimmung. Die Schwelle ist auf ca 160/cm abgesunken. Alle Streuer kommen koh\"arent zur Wirkung. 

\vspace{20ex}
}\hfill\mbcc{0.5}{\includegraphics*[width=\textwidth]{1-9alf11.eps}}\\[6ex]


\mbc{0.4}{
b) $\alpha =60^o$. 

Bedeutung der Linien wie bei a).

Die Formeln (\ref{km},\ref{gm}) versagen (warum eigentlich?), aber die iterative Schwellenkurve passt gut zur vollen Numerik. Die Schwellenabsenkung ist nicht so gut, wie bei kleineren Winkeln. Das kann aber daran liegen, dass das absolute Minimum nicht im Spektralintervall liegt. 
\vspace{10ex}
}\hfill\mbcc{0.5}{\includegraphics*[width=\textwidth]{1-9alf60.eps}}

\newpage

\section{Konfiguration N1-N2}

Zwei lineare Gitter, mit N1 bzw. N2 Streuer, je geneigt um den Winkel $\alpha $. $N_1=N_2=15, a=500$nm, $\alpha =0^o und 10^o$, Gitterperiode je $\delta =30\lambda $. Nur die iterative Schwellenkurve. 

\mbcc{0.49}{\includegraphics*[width=\textwidth]{15-15alf00.eps}}
\mbcc{0.49}{\includegraphics*[width=\textwidth]{15-15alf10.eps}}

Erwartete maximale Schwellenabsenkung von 193/cm auf 85/cm. Erreicht wurde f\"ur $\alpha =0^o$ eine Absenkung auf 87/cm. Da ist allerdings die Schattenwirkung nicht mit drin. Bei $10^o$ geht die Schwelle dann nur auf 117/cm runter. Vermutliche Ursache: durch die Kippung unterscheiden sich die Abst\"ande verschieden gelegener Paare nicht mehr um ganze Vielfache von $\lambda $. Sie k\"onnen damit nicht mehr v\"ollig koh\"arent wirken. 

\underline{Fazit:} Die Schwellenkurve ist effiziente Methode, um SL zu designen. Man muss beachten, dass Abschattung dabei aber nicht ber\"ucksichtigt wird. 



\section{Ausblick}
%=================

Man muss sich jetzt Gedanken machen, wie man bei gegebener Streuerzahl $N$ und maximalem Abstand $L$ eine m\"oglichst gro{\ss}e Zahl $N_\text{coh}$ koh\"arent wirkender Paare positionieren kann. Bei der 1-M-Konfiguration waren das $N-1$ Paare. Bei den beiden linearen Gittern maximal $N^2/4$ Paare. Allerdings m\"ussen die Gitter nicht linear sein, wichtig ist nur, dass man 2 Gruppen von Streuern hat, die etwa $L$ auseinander liegen und eine dazu vergleichsweise kleine Abmessung haben und wo die Paarabst\"ande sich um ganzzahlige Vielfache von $\lambda $ unterscheiden. Noch g\"unstiger w\"are eine entsprechende Aufteilung in 3 Gruppen zu je $N/3$ Streuern an den Spitzen eines gleichseitigen Dreiecks (Seitenl\"ange $L$). Das erg\"abe $3*(N/3)^2 = N^2/3$ Paare mit Abstand etwa $L$. Dann w\"aren 12 Streuer in jeder Gruppe ausreichend, um mit Streuern des Radius 525 nm die FP-Schwelle zu erreichen -- wenn es einem gelingt, dies so zu positionieren, dass es keine Abschattungen gibt und alle Abst\"ande hinreichend ganzzahlige Vielfache von $\lambda $ sind. Das erscheint mir nicht unrealistisch. Die Aufteilung in mehr als 3 Gruppen macht es dann wieder schlechter.

Was ebenfalls unbedingt noch zu ber\"ucksichtigen ist: die Abh\"angigkeit des R\"uckstreuquerschnitts von der Wellenl\"ange. Hier habe ich immer nur mit der zentralen Wellenl\"ange gerechnet. 


\end{document}

