\documentclass[fleqn,a4paper,11pt]{article}
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\begin{document}

\include{intro}

\section{Travelling-Wave-Modell mit Gain-S\"attigung}
%---------------------------------------------------------

Grunds\"atzlich kann man vom Travelling-Wave-Modell starten. Wegen der fehlenden R\"uckkopplung braucht man aber keine r\"uckw\"artslaufende Welle, sondern man hat nur eine vorw\"arts laufende mit der langsam variierenden Amplitude $f(t,z)$. Die entsprechenden Gleichungen f\"ur diese w\"aren (ohne spontane Emission)
\begin{eqnarray} \label{dynequ1}
(\partial _t+v_g\partial _z)f=\frac{v_g}{2} [g-\alpha] f
~~ \text{und} ~~
\partial_t{N}=\frac{J}{ewd}-\frac{N}{\tau_e }-v_ggS
~~ \text{mit} ~~
g=\frac{g'(N-N_t)}{1+\varepsilon S}
\text{ und } S=f^*f.
\end{eqnarray}
Die Symbole haben folgende Bedeutung, bei Konstanten wird gleich der Standardwert mit angegeben:
$n, S$ - Dichten der Tr\"ager und der Photonen,
$v_g$ ( 3e10/3.5 cm/s ) Gruppengeschwindigkeit,
$\alpha $ ( 10 /cm ) optische Wellenleiterverluste,
$\tau _e$ ( 1 ns ) Tr\"agerlebensdauer,
$J$ ( 10 A/cm ) Strom pro L\"ange,
$e$ ( 1.6e-19 As ) Elementarladung,
$w,d$ ( 3 $\mu$m, 0.1 $\mu$m ) Weite und Dicke der aktiven Zone,
$g$ Gain der Welle $i$ als Funktion von $n$ und $S$(nichtlineare Gains\"attigung), wobei
$g'$ ( 1e-16 cm$^2$ ) differentieller Gain,
$N_t$ ( 10$^{18}$ cm$^{-3}$ Transparenzdichte,
$\varepsilon $ ( 3e-17 cm$^{3}$ ) inverse Photonen-S\"attigungsdichten sind. Im folgenden werden noch daraus gebildete Gr\"o{\ss}en genutzt: $J_t=ewdN_t/\tau _e$ ( 0.48 A/cm ).

\section{Dimensionslose Normalform}
%----------------------------------

Da gibt es viele M\"oglichkeiten. Ich w\"ahle folgende Transformation, wobei nicht immer neue Symbole gew\"ahlt werden, links vom $=$ steht immer die dimensionslose Gr\"o{\ss}e und rechts die dimensionsbehaftete.
\begin{eqnarray}
\begin{array}{llll}
  t=\frac{t}{v_g\alpha }
& z=\alpha z
& n=\frac{N-N_t}{N_t}
& f = \frac{f}{\sqrt{N_t}}, s=\frac{S}{N_t}
\\
  j=\frac{J-J_t}{v_g\alpha ~ \tau J_t} ~ \text{( 0.2314 )} ~~~
& \tau = \tau _e \alpha v_g   ~  \text{ ( 85.71 ) } ~~~
&  g'=g'\frac{N_t}{\alpha } ~  \text{ ( 10 ) } ~~~
& \varepsilon  = \varepsilon  N_t  ~ \text{ ( 10 )} ~~~
\end{array}
\end{eqnarray}

Damit wird die Normalform zu
%
\begin{eqnarray} \label{dynequ2}
&&2(\partial _t+\partial _z)f=[g-1] f
~~ \text{und} ~~
\partial_t{n}=j-n \left[\frac{1}{\tau}+\frac{g's}{1+\varepsilon s}\right]
~~ \text{mit} ~~
g=\frac{g'n}{1+\varepsilon s}.\\
&& \text{Randbedingung bei $z=0$: } f(t,0)=e^{i\omega t}\left(f_{00}(t)+f_{10}(t)e^{i\delta t}\right),
\end{eqnarray}
wobei $\omega =2\pi c/\lambda _0$ die optische Frequenz der Welle 0 ist und $\omega +\delta =2\pi c/\lambda _2$ die der anderen. Die Input-Amplituden $f_{i0}(t)$ sollen hinreichend langsam variieren. 

\section{Separation in Partialwellen}
%------------------------------------

F\"ur die L\"osung im Innern mache ich folgenden 
\begin{eqnarray} \label{ansatz}
\text{\underline{Ansatz:} ~ } f(t,z)=e^{i\omega (t-z)}\sum_m f_m(z) e^{im\delta (t-z)}.
\end{eqnarray}
Das ber\"ucksichtigt die potentielle Erzeugung von Seitenb\"andern im Abstand von ganzzahligen Vielfachen der Differenzfrequenz $\delta $ durch die Nichtlinearit\"aten.

Entscheidend ist die Aufteilung der Photonendichte in einen station\"aren und einen Schwebungsterm. Den ersten bezeichne ich mit $\bar{s}$, den zweiten wieder mit $s$:
\begin{eqnarray} \label{saufteil}
s=f^*f=\bar{s}+s, ~~~~~~ \bar{s}=\sum_mf_m^*f_m ~~~~~~ s=\sum_{m,n}^{(m\ne n)} f_m^*f_n e^{i(n-m)(t-z)}.
\end{eqnarray}
Der Schwebungsterm erzeugt \"uber den S\"atttigungsnenner $1+\varepsilon (\bar{s}+s)$ in (\ref{dynequ2}) eine Gain- und Indexmodulation. 
\begin{eqnarray}
\text{Annahme:} ~~~~~~~~ \varepsilon |s| \ll 1+\varepsilon \bar{s}.
\end{eqnarray}
Dann Linearisierung bez\"uglich dieser kleinen Gr\"o{\ss}e m\"oglich:
\begin{eqnarray} \label{linapprox}
\frac{1}{1+\varepsilon (\bar{s}+s)}\approx \frac{1}{1+\varepsilon \bar{s}} - \frac{\varepsilon s}{(1+\varepsilon \bar{s})^2}
~~~~~ \text{und} ~~~~~~
\frac{\bar{s}+s}{1+\varepsilon (\bar{s}+s)} \approx \frac{\bar{s}}{1+\varepsilon \bar{s}}+ \frac{s}{(1+\varepsilon \bar{s})^2}.
\end{eqnarray}
Die Tr\"agergleichung wird damit
\begin{eqnarray} \nonumber
&&\partial_t{n}=j-n \left[\frac{1}{\tau}+\frac{g'\bar{s}}{1+\varepsilon\bar{s}}-\frac{g's}{(1+\varepsilon s)^2}\right].\\ \nonumber
&& \text{Annahme: der letzte zeitlich variierende Term ist vernachl\"assigbar, so da{\ss}} \\
\label{carrierequ}
&& \partial_t{n}=j-n \left[\frac{1}{\tau}+\frac{g'\bar{s}}{1+\varepsilon\bar{s}}\right].
\end{eqnarray}
Diese Annahme ist aus mehreren Gr\"unden gerechtfertigt:
\begin{itemize}
\item $s$ oszilliert mit einer Periode $T=\lambda ^2/(c\,\delta \lambda) $, das ist weniger als eine ps, wenn der Wellenl\"angenabstand $\delta \lambda $ mehr als 8 nm ist. Dem k\"onnen die Ladungstr\"ager ohnehin nicht folgen. 
\item Wenn eine der Partialwellen dominiert, ist ohnehin $|s|\ll \bar{s}$.
\end{itemize}
%
Nun setzen wir den Ansatz (\ref{ansatz}) und die Linearisierung (\ref{linapprox}) sowie den Ausdruck (\ref{saufteil}) f\"ur $s$ in die TWE in (\ref{dynequ2}) ein, dividieren durch den gemeinsamen Phasenfaktor $e^{i\omega (t-z)}$, multiplizieren mit $e^{-ik\delta  (t-z)}$, mitteln alle schnell oszillierenden Terme heraus und erhalten:
\begin{eqnarray} 
2(\partial _t+\partial _z)f_k=(1-i\alpha )\frac{g'n\bar{s}}{1+\varepsilon\bar{s}}\left(f_k-\frac{\varepsilon }{1+\varepsilon\bar{s}}\sum_{m,n}^{m\ne k} f_mf_n^*f_{n+k-m}\right)-f_k.
\end{eqnarray}
%
Bei $z=0$ sind nur die Amplituden $f_0,f_1$ der eingestrahlten Wellen von null verschieden. Im Verlauf der Propagation f\"uhrt der nichtlineare Term zur Erzeugung von Seitenwellen. Diese bleiben eine gewisse Strecke lang auf alle F\"alle klein. In diesem Bereich braucht man im nichtlinearen Term nur die Hauptwellen zu ber\"ucksichtigen. Das gibt 3 Sorten von Gleichungen.

F\"ur die beiden Hauptwellen $k=0,1$ bleibt nur der Summand $m=n=\bar{k},n+k-m=k$, wobei $\bar{k}$ die jeweils andere Hauptwelle ist. Das bedeutet $f_mf_n^*f_{n+k-m}=f_{\bar{k}}^*f_{\bar{k}}f_k$, man kann $f_k$ ausklammern und erh\"alt
\begin{eqnarray} \label{hauptwellen}
2(\partial _t+\partial _z)f_k=\left[g'n(1-i\alpha )\frac{1+\varepsilon \bar{s}_k}{(1+\varepsilon \bar{s})^2}-1\right]f_k
~~~~~~ \text{ mit } \bar{s}_k=f_k^*f_k. \hspace{10em} (k=0,1)
\end{eqnarray}
F\"ur die beiden Nachbarwellen $k=-1,2$ bleibt auch jeweils nur ein nichtlinearer Term, n\"amlich
\begin{eqnarray}
2(\partial _t+\partial _z)f_k=\left[g'n(1-i\alpha )\frac{1}{1+\varepsilon \bar{s}}-1\right]f_k-
g'n(1-i\alpha )\frac{\varepsilon}{(1+\varepsilon \bar{s})^2}f_{close}^2f_{far}^*,
\hspace{5em} (k=-1,2)
\end{eqnarray}
wobei $f_{close}$ die zu $k$ benachbarte Hauptwelle ist und $f_{far}$ die fernere. Diese beiden Wellen werden durch die Hauptwellen gespeist. Alle anderen Wellen koppeln nicht an die Hauptwellen, so da{\ss} in diesem Anfangsbereich insgesamt nur 4 Wellen beteiligt sind -- eben ''four-wave mixing''.

\underline{Annahme:} die Nebenwellen bleiben immer klein. 

Daf\"ur m\"u{\ss}te eigentlich schon die Gaindispersion sorgen. Ich nehme das erst mal an, man mu{\ss} es dann am Ende checken. 

Dann braucht man zun\"achst nur das in sich geschlossene Sytem (\ref{hauptwellen}) zu betrachten. Dies l\"a{\ss}t sich leicht in die Intensit\"atsgleichungen
\begin{eqnarray} \label{intensityequ}
(\partial _t+\partial _z)s_k
%=\left[g'n\frac{1+\varepsilon s_k}{(1+\varepsilon s)^2}-1\right]s_k
=\left[\frac{g'n}{1+\varepsilon s}-1\right]s_k-\frac{\varepsilon s_0s_1}{(1+\varepsilon s)^2}
\hspace{5em} (k=0,1)
\end{eqnarray}
umformen, wobei ich die \"Uberstriche wieder weglasse. Dies zusammen mit der Tr\"agergleichung (\ref{carrierequ}) ist jetzt ein geschlossenes Gleichungssystem. 

Der erste Term rechts ist das \"ubliche ohne 4WM. Der zweite Term die Korrektur durch das 4WM. Das ist ein zus\"atzlicher Verlust. Ich interpretiere ihn als die Leistung, die in die anderen Wellen transferiert wird. Offensichtlich wird aus beiden Hauptwellen gleich viel entnommen. Das ist f\"ur den Effekt entscheidend, denn es bedeutet, der relative Verlust pro vorhandenes Photon ist f\"ur die schw\"achere Welle gr\"o{\ss}er. 

\section{L\"osung des Systems (\ref{carrierequ}) und (\ref{intensityequ})}

Als erstes transformiere ich in die mitbewegte Zeit $\tau =t-z$: $p_k(\tau ,z)=s_k(t,z)$. Damit $(\partial _t+\partial _z)p_k(\tau ,z)=(\partial _t\tau +\partial z\tau )\partial _\tau p_k(\tau ,z)+\partial _zp_k(\tau ,z)=\partial _z(\tau ,z)$. Analog mit den Tr\"agern $n(t,z)=\rho (\tau ,z)$ und um Verwechslungen zu vermeiden $\tau _c$ f\"ur die Tr\"agerlebensdauer gibt
\begin{eqnarray}
\partial _zp_k(\tau ,z)&=&\left[g'\rho(\tau ,z)\frac{1+\varepsilon p_k(\tau ,z)}{(1+\varepsilon p(\tau ,z))^2}-1\right]p_k(\tau ,z) ~ \Big|_{\tau =t-z} \hspace{0em} \text{Randbedingung: } p_k(\tau ,0)=|f_{k0}(\tau )|^2. 
\\
\partial_\tau {\rho(\tau ,z) }&=&j-\rho(\tau ,z)  \left[\frac{1}{\tau _c}+\frac{g'p(\tau ,z)}{1+\varepsilon p(\tau ,z)}\right].
\end{eqnarray}
Aha, bei den Photonen ist jetzt $\tau $ nur noch ein Parameter, bei den Tr\"agern $z$.

Das ist immer noch kompliziert genug, insbesondere im Anfangsbereich, bevor S\"attigung eintritt. 

Aber die Asymptotik hinten hat keine Wahl. 

In der Photonengleichung hat die Welle mit der h\"oheren Intensit\"at immer die gr\"o{\ss}ere eckige Klammer --  bei jedem $\tau $ und $z$ und unabh\"angig von der konkreten Gestalt von $\rho (\tau ,z)$. Damit kann die bei $z=0$ intensivere Welle nie wieder schw\"acher werden als die andere. Und wenn $p_k$ f\"ur $z\rightarrow\infty$  station\"ar werden soll, so mu{\ss} entweder $p_k=0$ sein und die eckige Klammer nicht positiv oder $p_k>0$ und die eckige Klammer null. Da aber die bei $z=0$ gr\"o{\ss}ere eckige Klammer immer gr\"o{\ss}er bleibt, kann nur diese null werden, die andere ist negativ und mithin geht die dazugeh\"orige Intensit\"at gegen null. 

\underline{Fazit so weit:}

wenn die L\"ange $L$ des SOA  nach $\infty$ geht, kommt zu jeder Zeit $t$ nur die Welle hinten raus, die am Eingang zur Zeit $t-L/v_g$ die gr\"o{\ss}ere Intensit\"at hatte. Nur am Eingang identische Intensit\"aten bleiben identisch. 

Nat\"urlich, die f\"ur die Unterdr\"uckung der kleineren Welle n\"otige L\"ange ist um so gr\"o{\ss}er, je weniger sich die Eingangsintensit\"aten unterscheiden. Deshalb gibt es bei jeder endlichen L\"ange am Ausgang eine endliche \"Ubergangszeit.

Auch haben sicher die weggelassenen schnell oszillierenden Terme einen Einflu{\ss} auf die \"Ubergangszeit.

Freitag 18 Uhr 15, jetzt geh ich Stemmen !!!!

\newpage

Am Wochenende habe ich die Gleichungen f\"ur station\"are Inputs mal gel\"ost. Ergebnis im folgenden Bild. 

\begin{center}
\mb{0.85}{
\epsfig{file=./for/4wm.prn,width=\textwidth,clip=}
}
\end{center}

Die Welle $p_0$ (dick gepunktet) ist am Input immer 0.5 mW, die Welle $p_1$ (dick durchgezogen) mal kleiner (oberes Teilbild), mal gr\"o{\ss}er (unteres Teilbild). Zus\"atzlich sind d\"unn noch die Tr\"agerdichten ( in $10^{18}$\,cm$^{-3}$) eingemalt. Man beachte die doppelt logarithmische Skala. 
\end{document}

\include{rest}
%\tableofcontents

\end{document}

\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\epsfig{file=./figs/.prn,width=\textwidth,clip=}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\end{minipage}

%\epsfig{file=./figs/osci1.prn,width=\textwidth,clip=} \newpage
%\epsfig{file=./figs/osci2.prn,width=\textwidth,clip=}

