Die Londongleichungen

In einem „normalen“ Leiter gilt das Ohm’sche Gesetz:

Unter dem Einfluss eines konstanten elektrischen Feldes bewegen sich Ladungsträger in einem Leiter mit konstanter Driftgeschwindigkeit v (j = env = rv mit n als Ladungsträgerkonzentration bzw. r als Ladungsdichte). Die Energie, welche die Ladungsträger im elektrischen Feld gewinnen, wird in Joule’sche Wärme umgewandelt. Ein mechanisches Analogon wäre der verzögerte Fall einer Kugel in einer viskosen Flüssigkeit, in welcher die Kugel nach einer kurzen Beschleunigungsphase mit konstanter Geschwindigkeit sinkt. Die innere Reibung wird im Ohm’schen Gesetz durch den Widerstand bzw. die Leitfähigkeit ausgedrückt.

Verschwindet der Widerstand (s®¥), so bewegt sich ein Ladungsträger unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes beschleunigt. Ein derartiger Fall liegt bei Supraleitern vor. Wir bezeichnen mit m_S, q_S und n_S Masse, Ladung und Konzentration der supraleitenden Träger.

Die Kraft q_SE steht dann im Gleichgewicht mit der Trägheitskraft:

Die Stromdichte j_S ist definiert durch

Ersetzt man v durch j, so folgt

Mit Hilfe der Definition

Erhält man die erste Londongleichung (Trägheitsgesetz):

Diese Gleichung beschreibt die beschleunigte (reibungsfreie) Bewegung von Ladungen unter Einwirkung eines elektrischen Feldes.

Wir untersuchen nun die Wirkung eines Magnetfeldes auf die Bewegung von Ladungsträgern im Normal- und Supraleiter.

In beiden Fällen gilt das Induktionsgesetz

Für den Normalleiter erhalten wir unter Verwendung des Ohm’schen Gesetzes:

Mit j = env und s = e²nt/m erhält man

mit der Larmorfrequenz .

Diese Gleichung beschreibt das Fließen von Wirbelströmen im zeitlich veränderlichen Magnetfeld. Diese Wirbelströme müssen im zeitlich veränderlichen Feld immer neu angeworfen werden, da die Energie der Ladungsträger am Ohm’schen Widerstand in Wärme umgewandelt werden (Versuch: Thomson’scher Ringversuch).

Im Gegensatz dazu müssen die Wirbelströme im widerstandsfreien Fall nur einmal angeworfen werden.

Wir substituieren im Induktionsgesetz das elektrische Feld mittels des Trägheitsgesetzes und erhalten die zweite London’sche Gleichung:

bzw.

Mit Hilfe der Definitionen für L = m_S/(n_Sq_S²) und j = eq_Sv_S erhält man

Diese Gleichung beschreibt die Zirkulation eines Suprastromes mit der Larmorfrequenz w_L unter dem Einfluss der Lorentzkraft.

Die Londongleichungen beschreiben elektrische Ströme, die von der Lorentzkraft im widerstandslosen Fall angetrieben werden. Insofern sind diese Gleichungen phänomenologisch auf die Bewegung von Ladungsträgern in Supraleitern anwendbar. Sie klären jedoch nicht die Ursachen der Supraleitung. Allerdings erfassen sie die charakteristischen elektromagnetischen Eigenschaften eines Supraleiters.

Da sich das Magnetfeld B aus einem Vektorpotential A

ableiten lässt^(*), kann man die zweite Londongleichung auch folgendermaßen aufschreiben:

Wie im Falle des Ohm’schen Gesetzes kann man die Stromdichte also aus einem Potential ableiten ().

Postuliert man von vornherein die Gültigkeit der Gleichung

so kann man unter Verwendung der Zusammenhänge zwischen den Potentialen und Feldern

und

die Londongleichungen herleiten. Da der Gradient des skalaren Potentials in einem Supraleiter verschwindet, vereinfachen sich die letzten Relationen zu

Ersetzt man das Vektorpotential durch -Lj , stehen sofort die Londongleichungen da.

In einem Normalleiter, für den das Ohm’sche Gesetz j = sE gilt, folgt dagegen bei verschwindendem Magnetfeld:

Und daher

,

woraus sich wegen das Ohm’sche Gesetz in der bekannten Form

ergibt.

(*): Für einen beliebigen Vektor A gilt:

Mit der Maxwellgleichung

erhält man sofort