Lorentzkraft und Induktionsgesetz

In der folgenden Abbildung ist eine Leiterschleife skizziert, die sich in einem Magnetfeld befindet, das von einem stromdurchflossenen Draht erzeugt wird:

Auf eine ruhende Leiterschleife mit dem Querschnitt S = ab wirkt keine Lorentzkraft, da kein Strom durch die Leiterschleife fließt. Bewegt man jedoch die Schleife mit der Geschwindigkeit v, so bewegen sich auch die Leitungselektronen in ihr mit derselben Geschwindigkeit. Auf jedes Leiterelement am Ort r wirkt daher eine Lorentzkraft

Wie aus obiger (rechten Skizze) ersichtlich, wirkt die Kraft in Richtung der Längsseiten b. Die resultierende Lorentzkraft erhält man schließlich aus der Differenz der Kräfte im Abstand r und r + a :

bzw. für den Betrag:

Da sich der Ort r entsprechend der Geschwindigkeit v ändert, ist B eine Funktion der Zeit t. Auch a kann eine Funktion von t sein, falls sich der Querschnitt S der Leiterschleife mit der Zeit ändert.

Die Kraftdifferenz DF führt zu einer Beschleunigung der Ladung q im Leiter und damit zu einem Stromfluss. Dieser Strom kann z.B. mittels j = sE einem elektrischen Feld und einem Spannungsabfall über der Leiterschleife zugeordnet werden. Das elektrische Feld wächst solange an, bis Kräftegleichgewicht zwischen Lorentzkraft und elektrischer Feldkraft herrscht:

Das elektrische Feld DE = E₁(r)-E₂(r+a) wirkt in Richtung der Längsseite b und erzeugt eine Potentialdifferenz

Dabei stehen elektrisches Feld, magnetisches Feld und Geschwindigkeitsvektor der Ladungsträger senkrecht aufeinander.

Wegen

erhält man

Allgemeiner gilt:

Für das skizzierte Beispiel erhalten wir für die induzierte Spannung unter Verwendung von

nach dem Einsetzen in :

oder

Die Berechnung von U(t) unter Verwendung des zeitabhängigen Flusses Y(t) ist Gegenstand einer Übungsaufgabe:

Geht man von der allgemeinen Formulierung des Induktionsgesetzes aus, muss man zunächst den die Schleife durchsetzenden Fluss berechnen. Mit

Daraus folgt durch Integration über die gesamte Schleife:

Durch Differenzieren nach der Zeit findet man das oben angegebene Resultat.