Wechselstromlehre

 

 

 

 

Wechselspannungen sind zeitlich periodische Spannungen der Amplitude U0 (U0 = Uss/2), der Grundfrequenz f  (f = 1/T) und der Phasenlage j.

Für die obere grafische Darstellung gilt:

 

 

Im Falle sinusförmiger Spannungen sind die in Stromkreisen fließenden Ströme ebenfalls sinusförmig, jedoch im allgemeinen mit einer anderen Phasenlage j2:

 

 

 

 

 

Ohm’sche Widerstände im Wechselstromkreis

 

                

Die Gesetze des Gleichstromkreises gelten im Wechselstromkreis für die Momentanwerte, d.h. insbesondere:

 

U(t) = R.I(t)

Ohm’sches Gesetz

P(t) = U(t).I(t)

Leistung

 

Da die direkte Proportionalität zwischen Strom und Spannung am Ohm’schen Widerstand erhalten bleibt, besteht zwischen beiden Größen keine Phasenverschiebung, d.h. es gilt j1 = j2 = j.

Für die Leistung führt man einen Mittelwert über die Periodendauer T ein:

 

Damit kann man wegen P = U.I = R.I2 = U2/R auch schreiben:

 

 

mit den Effektivwerten für Spannung und Strom

 

 

Eine Gleichspannung mit dem Effektivwert Ueff setzt am Ohm’schen Widerstand R dieselbe Leistung um, wie eine Wechselspannung mit der Amplitude U0. Der Begriff des Effektivwertes kann auf beliebige zeitlich periodische Spannungen ausgedehnt werden.

 

Beispiel Sägezahnspannung

 

 

 

Für den zeitlichen Mittelwert erhält man:

 

 

Für den Effektivwert (quadratischen Mittelwert) gilt:

 

 

 

Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man die Sägezahnspannung als eine Überlagerung von Sinusspannungen darstellt und dann den Effektivwert für sinusförmige Spannungen verwendet. Eine periodische Spannung kann mittels Fourieranalyse in ein diskretes Frequenzspektrum zerlegt werden. Auf die einzelnen Spannungskomponenten können dann die Regeln für sinusförmige Spannungen angewandt werden.

 

 

Beispiel Sägezahnspannung

 

 

 

Die Entwicklung einer periodischen „Sägezahnspannung“ in eine Fourierreihe ergibt folgendes Frequenzspektrum:

 

 

 

 

 

Zur Berechnung des Effektivwertes der Spannung summiert man die Effektivwerte (Leistungen) aller Summanden der Reihe:

 

Für die Komponente n = 0 (Gleichspannungskomponente ) folgt:

 

Für die sinusförmigen Komponenten erhält man:

 

 

Die Summe beider Beträge ergibt U2eff = U20/3 bzw. Ueff = U0/Ö3.

Dieses Resultat stimmt mit vorheriger Rechnung überein.