Drehimpulserhaltung

 

 

Drehimpulserhaltung im Zentralfeld

 

Im Fall des Gravitationspotentials (Planetenbewegung) oder des Coulombpotentials (Rutherfordstreuung) bewegt sich eine Masse m unter dem Einfluss einer Zentralkraft

 

 

       

 

Im Falle einer Zentralkraft (z.B. Gravitationskraft, Coulombkraft) hängt der Betrag der Kraft nur vom Abstand r  zum Kraftzentrum ab. Der Zusammenhang zwischen Kraft und Potential kann folgendermaßen geschrieben werden:

 

Mit

 

gilt unter Beachtung der Tatsache, dass das Kreuzprodukt paralleler Vektoren verschwindet:

 

 

Der Drehimpuls des Projektils bleibt erhalten, da kein äußeres Drehmoment auf das Projektil einwirkt. Da die Richtung einer Zentralkraft parallel zum Ortsvektor   wirkt, ist das Kreuzprodukt und damit das Drehmoment gleich Null, d.h. der Drehimpuls ist eine (Bewegungs)konstante.

Aus der Drehimpulserhaltung folgt sofort der Flächensatz (2. Kepler’sches Gesetz) für Kegelschnittbahnen (1. Keplergesetz):

 

Drehimpulserhaltung bei der Rutherfordstreuung

 

Im Fall der Rutherfordstreuung bewegt sich das Projektil unter dem Einfluss einer Zentralkraft

 

 

 

 

 

Der Drehimpuls des Projektils (Punktmasse m) kann mittels folgender Gleichungen ausgedrückt werden:

 

 

Der Anfangsdrehimpuls ist gegeben durch (b – Stoßparameter)

 

 

Unter Verwendung der ersten Gleichung erhalten wir über

 

 

die Winkelgeschwindigkeit

 

Für die (Linear)Impulskomponente des Projektils in Richtung der Achse R (in großer Entfernung vom Targetatom)  gilt . Damit erhält man für die Impulsänderung (gleich dem Kraftstoß):

 

 

Der in radialer Richtung wirkenden Kraft entspricht hier die Coulombkraft . Wir betrachten hier die Kraftkomponente in Richtung R, d.h. FR = F.cosj. Somit folgt für die Impulsänderung:

 

 

Wir substituieren dt durch dj mittels  :

 

 

 

und somit für den Ablenkwinkel