Drehstuhlexperiment II
Im
Versuch wird ein rotierendes Rad mit der Kreisfrequenz 
und dem Trägheitsmoment
einer
Person auf einem Drehstuhl mit dem Gesamtträgheitsmoment 
(einschließlich
Person) und der Anfangskreisfrequenz 
übergeben.
Die Drehachse des Rades zeigt parallel zum Schwerkraftvektor.
Wir
zerlegen den Gesamtdrehimpuls 
in eine Komponente 
parallel zur Schwerkraft
und einen zweiten Vektor 
senkrecht zur
Schwerkraft.
Allgemein gilt für jede Komponente von 
:
Im zu beschreibenden Experiment wird das rotierende Rad der Versuchsperson auf dem Stuhl so übergeben, dass die Radachse parallel zur Stuhlachse zeigt. Der Stuhl ist zunächst fixiert, so dass sich der gesamte Drehimpuls im Rad befindet. Nach Loslassen des Stuhles ändert sich zunächst nichts. Es gelten also folgende Anfangsbedingungen:
Jetzt wird das Rad einmal um 90° gedreht (Radachse senkrecht zur Stuhlachse) und danach um 180° (Radachse antiparallel zur Stuhlachse):
|
roter Vektor: |
Drehimpuls des Stuhles
(mit Person) |
|
blauer Vektor: |
Parallele
Drehimpulskomponente des Rades |
|
grüner Vektor: |
Senkrechte Drehimpulskomponente |
|
|
|
|
grüner Punkt: |
Kennzeichnung der rechten Hand. |
Die Drehzahl des Stuhles erhöht sich kontinuierlich bei Kippung des Rades. Das Drehmoment zum Drehen des Rades nimmt oberhalb von 90° beim Drehen in die antiparallele Richtung stark zu. Der Stuhl wird aber in derselben Drehrichtung ordentlich beschleunigt. Die Zunahme der Drehzahl wird gut durch die zunehmende Bildunschärfe verdeutlicht.
90°-Drehung
Der Drehimpulserhaltungssatz liefert:
Der
Energieerhaltungssatz fordert
Wird
das Rad in die Horizontale gedreht, so geht Rotationsenergie des Rades auf
Rotationsenergie des Stuhles über. Dabei ist das vertikale Trägheitsmoment des
Rades zu berücksichtigen, welches bei Rotation um die Stuhlachse ebenfalls
Energie aufnimmt. Das Rad mit dem Trägheitsmoment 
bei Rotation um die Radachse wird also langsamer.
Die
Drehzahl des Stuhles folgt direkt aus dem Drehimpulserhaltungssatz. Wir
substituieren mittels des Drehimpulssatzes 
im Energiesatz und erhalten
dann die Kreisfrequenz des Rades:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die
maximal erreichbare Drehzahl des Stuhles ist 
. In diesem Fall hat das Rad seine Energie völlig an den
Stuhl abgegeben.
Im
Falle einer Drehung der Radachse von 90° wird eine Drehimpulskomponente in
senkrechter Richtung erzeugt (siehe grüne Pfeile in obiger Abbildung). Diese
muss jedoch bei Gültigkeit der Drehimpulserhaltung wegen unserer Anfangsbedingung
insgesamt verschwinden.
Während in paralleler Richtung die Drehbewegung von der Unterlage
entkoppelt ist (jedenfalls nahezu bei idealer Lagerung), wird in vertikaler
Richtung ein Drehimpuls auf den Erdball übertragen:
Wegen des riesigen Massenträgheitsmomentes der Erde ist ihre Drehimpulsänderung, die den vertikalen Drehimpuls des Rades kompensiert, zwar entgegengesetzt gleich groß, führt aber zu einer vernachlässigbaren Drehzahländerung:
Wäre der Drehstuhl kardanisch gelagert, sollte sich besser ein Artist und kein Dozent auf den Drehstuhl setzen.
180°-Drehung
Der Drehimpulserhaltungssatz liefert:
Der
Energieerhaltungssatz fordert
Die
Drehzahl des Stuhles erhält man, indem im Energiesatz 
mittels des
Drehimpulssatzes substituiert wird:
Die
Drehzahl ist im Vergleich zu 90° etwa doppelt so hoch.