Stehende elastische Wellen in

Flüssigkeiten und Gasen

Wir beginnen mit der Untersuchung der Ausbreitung einer fortschreitenden eindimensionalen harmonischen Druckwelle in einem isotropen elastischen Medium. Dazu betrachten wir eine Flüssigkeits- oder Gassäule, die sich in einem Rohr vom Querschnitt A befindet:

Wir interessieren uns für die räumliche- und zeitliche Änderung des Druckes im Rohr, um daraus die Wellengleichung herzuleiten.

a) Räumliche Änderung des Druckes

Auf das Volumenelement V der Breite Dx im Rohr wirkt die resultierende Kraft dF:

Für kleine Änderungen dx sind auch die Druckänderungen klein und es folgt mit

und damit auch

Für die Beschleunigung der Gas- bzw. Flüssigkeitsmenge dm im Volumen V erhält man mittels der Newton’schen Bewegungsgleichung eine Beziehung zwischen räumlicher Druckänderung und Beschleunigung zu:

bzw.

Ein Druckgradient im Medium ist mit einer Beschleunigung verbunden.

b) Zeitliche Änderung des Druckes

Das eingezeichnete Volumenelement V ändert sich mit der Zeit zu

Mit dv = v’dx folgt damit wegen

Unter Verwendung der Definition der Kompressibilität

erhält man schließlich

Eine zeitliche Änderung des Druckes im Medium ist verbunden mit einem Geschwindigkeitsgradienten.

c) Die Wellengleichung

Unter Verwendung von

und

erhält man durch Ableitung nach dem Ort bzw. der Zeit:

Eliminieren von führt zur Wellengleichung

mit der Phasengeschwindigkeit der Welle c

Analog führt das Eliminieren des Druckes aus beiden Gleichungen zu einer Beziehung für die Geschwindigkeit der im Medium oszillierenden Teilchen (Die lokale Geschwindigkeit v(x,t) darf nicht verwechselt werden mit der Phasengeschwindigkeit c der Welle ):

Spezielle harmonische Lösungen der obigen Wellengleichungen sind also:

und

Die Auslenkung der oszillierenden Teilchen Dx mit der Amplitude Dx₀ erhält man durch Integration der letzten Gleichung zu

Dabei gelten folgende Beziehungen zwischen den Größen Dp₀ (Druckamplitude), v₀ (Schallschnelle) und Dx₀:

Zwischen der Druckamplitude Dp₀ und der longitudinalen Schwingungsamplitude Dx₀ besteht eine Phasenverschiebung von 90°, d.h. Schwingungsknoten entsprechen Druckbäuchen und den Schwingungsbäuchen entsprechen Druckknoten. Dies bedeutet, dass an Stellen minimaler Auslenkung (relativer Ruhe der Teilchen) maximaler Druck herrscht.

d) Eigenfrequenzen - Randwertprobleme

Fortschreitende Wellen können sich nur in sehr langen Stäben oder Röhren ausbreiten. Wird eine Röhre, die ein elastisches Medium enthält, abgeschlossen, so treten bei der Wellenausbreitung Reflexionen auf. Reflexionen können nur vermieden werden, wenn die Energie am Rohrende völlig „aufgebraucht“, d.h. absorbiert wird. In diesem Fall kann man auch in kurzen Wellenleitern fortschreitende Wellen beobachten (d.h. es gibt nur einlaufende Wellen). Ist dies nicht der Fall, so hat man auch rücklaufende Wellen, die mit den einlaufenden Wellen interferieren, was zur Ausbildung von stehenden Wellen führt:

Findet an beiden Rohrenden, die bei x₀₁ = 0 und x₀₂ = L liegen sollen, eine Reflexion am harten Ende statt, so gelten folgende Randbedingungen:

Diese Bedingungen sind erfüllt, wenn der ortsabhängige Term der Gleichung verschwindet. Aus folgt

und aus folgt mit

die Bedingung

bzw.

Es können sich also nur bestimmte Wellen ausbreiten, die der Bedingung genügen. Für m = 1 erhält man die sogenannte Grundwelle, deren halbe Wellenlänge gleich der Stab- bzw. Rohrlänge ist. Die Frequenz, mit der man diese Welle anregen kann, folgt mittels der Phasengeschwindigkeit. Ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz heißen Oberwellen.

Erfolgt eine Reflexion am offenen Ende, gilt folgende Randbedingung:

Aus der Bedingung für die Reflexion am festen Ende folgt wiederum

Wir haben am offenen Ende einen Schwingungsbauch, für den gilt:

Daraus folgt

Damit erhalten wir:

bzw. für die Eigenfrequenzen

Ein einseitig fest eingespannter Stab der Länge L entspricht somit einem Viertel der Grundwellenlänge (L=l/4). Am losen Ende befindet sich ein Schwingungsbauch. Bei einem beidseitig eingespannten Stab befindet sich der Schwingungsbauch dagegen in der Mitte (L=l/2).