Freie, ungedämpfte, harmonische Schwingungen

 

 

 

 

Im Falle des Federschwingers führt die Masse m eine zeitlich periodische Bewegung um die Ruhelage x = a aus, wenn sie zuvor um den Betrag x0 (Amplitude) aus der Ruhelage ausgelenkt wurde. Die Periodendauer T (reziproke Frequenz) ist bestimmt durch das Gleichgewicht aus Trägheitskraft und Rückstellkraft der Feder und hängt damit von der Masse und der Rückstellkraft der Feder ab. Aus der Bewegungsgleichung

 

 

erhält man die Auslenkung (Elongation) x  mit   zu

 

 

Eine solche Lösung erhält man generell, wenn die Kraft linear von x bzw. das Potential der Kraft quadratisch von x abhängt. Ein vom Ort quadratisch abhängendes Potential nennt man auch harmonisch, da es die Ursache für harmonische (sinusförmige) Schwingungen ist.

 

harmonisches Potential

 

harmonische Schwingung

Elongation

Amplitude

Kreisfrequenz ; Frequenz

Phasenwinkel

Phase

Gesamtenergie

 

 

 

 

Im Falle einer ungedämpften Schwingung gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie. Im oben angeführten Beispiel kann die Schwingungsgleichung direkt aus der Energieerhaltung abgeleitet werden:

 

 

Durch Differenzieren nach der Zeit erhält man:

 

bzw.

oder

 

Im Falle einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die mechanische Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße. Es findet eine periodische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie statt. Mit

 

 und

 

erhält man durch Einsetzen in  für die Gesamtenergie:

 

d.h. für den Federschwinger mit :

 

und für das mathematische Pendel mit  und  :

 

In den folgenden beiden grafischen Darstellungen ist für die Parameter m = 1 kg, f = 1 Hz (bzw. w0 = 6,28.. s-1), x0 = 1m die kinetische und potentielle Energie in Abhängigkeit von der Zeit sowie von der Auslenkung x dargestellt:

Viele Potentiale, die einen Schwingungsvorgang verursachen, sind nicht harmonisch. In der Nähe eines Potentialminimums kann ein nichtharmonisches Potential jedoch meistens durch eine Parabel angenähert werden. Für kleine Abweichungen aus der Ruhelage ist dann ein solcher Schwingungsvorgang harmonisch – siehe z.B. das Lenard-Jones-Potential:

 

 

 

 

 

 

Das LJP ist quadratisch in den Koordinaten und führt auf eine oszillierende Bewegung um die Gleichgewichtslage x = a mit der Frequenz

 

 

wobei µ die reduzierte Masse der beiden wechselwirkenden Massenpunkte darstellt (siehe später – Rotation starrer Körper).