Harmonische Wellen

Wir haben Schwingungen als zeitlich periodische Vorgänge behandelt, bei denen eine periodische Umwandlung von potentieller- in kinetische Energie erfolgt. Koppelt man Oszillatoren, so ist eine Ausbreitung von Energie auch im Raum möglich. Eine Erregung, die Energie durch den Raum transportiert, bezeichnet man als Welle. Im engeren Sinne sind Wellen zeitlich und räumlich periodische Vorgänge. Ist der periodische Vorgang auch noch harmonisch, so gelangt man zu folgender Darstellung einer Welle (Wellenfunktion):

Die Bedeutung der einzelnen Größen ist in folgender Tabelle aufgeführt:

	Elongation
	Amplitude
	Kreisfrequenz
	Frequenz
	Wellenzahl
	Phasengeschwindigkeit
	Wellenzahlvektor || Ausbreitungsrichtung
	Wellenlänge
	Phasenwinkel
	Phase

Im allgemeinen ergibt sich die Wellenfunktion als Lösung der Wellengleichung, der sogenannten d’Alembert-Gleichung, die im eindimensionalen Fall folgendes Aussehen hat:

Durch Einsetzen des Ausdruckes y(t) für eine harmonische Welle

überprüft man mittels

dass harmonische Wellen unter der Bedingung

eine spezielle Lösung der Wellengleichung sind.

Wir betrachten eine harmonische Welle, die sich in x-Richtung mit der Anfangsphasenlage a = 0° ausbreitet:

Als Wellenfront bezeichnet man eine Fläche gleicher Phase. Sie steht senkrecht auf dem Wellenvektor, d.h. also senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Ist diese Fläche eine Ebene, wie in letzter Gleichung beschrieben, so bezeichnet man die Welle als ebene Welle.

Ist diese Fläche eine Kugel, so spricht man von Kugelwelle, gegebenenfalls auch von einer Elementarwelle.

Die folgende Wellenfunktion beschreibt z.B. eine Kugelwelle:

Es könnte sich um eine harmonische Druckwelle handeln, deren Druckamplitude radial vom maximalen Wert p₀ invers zum Abstand von einer punktförmigen Quelle (Erregungszentrum bei r = 0) abnimmt. Der momentane Druck ist bei einer gegebenen Phasenlage auf einer Kugelfläche um r = 0 überall gleich groß.

Harmonische Wellen sind monochromatisch, d.h. es existiert nur eine einzige Schwingungsfrequenz. Sind die Wellen periodisch, aber nicht harmonisch, so kann ihre Amplitude dargestellt werden als Überlagerung aus harmonischen Wellen verschiedener diskreter Frequenzen. Im allgemeinen muss eine Welle auch nicht periodisch sein. Eine derartige Erregung lässt sich in ein kontinuierliches Spektrum aus harmonischen Wellen mit verschiedener Amplitude zerlegen (Fourierzerlegung):

· Harmonische Wellen sind monochromatisch

o Harmonische Schallwellen transportieren Töne

· Periodische Wellen besitzen ein diskretes Frequenzspektrum

o Periodische Schallwellen transportieren Klänge

· Nichtperiodische Wellen besitzen ein kontinuierliches Frequenzspektrum

o Anharmonische Schallwellen transportieren Geräusche

Im folgenden werden sogenannte quasimonochromatische Wellen diskutiert, die ein schmales Frequenzspektrum aufweisen

Quasimonochromatische Wellen

Es sei eine ebene Welle

gegeben, die nur für ein Zeitintervall Dt gesendet werde (z.B. eine kurze Lichtwelle). Damit besitzt der Wellenzug nur eine endliche Länge. Führt man eine Fourieranalyse durch, so gelangt man zu dem Resultat, dass auch eine derartige Welle nicht mehr vollständig monochromatisch ist. Man bezeichnet eine derartige Welle auch als quasimonochromatisch.

Die Breite des Frequenzspektrums einer quasimonochromatischen Welle kann durch folgende Beziehung ausgedrückt werden:

Analog gilt für einen Wellenzug der Länge Dx:

(Hinweis: In der Quantenmechanik können auch Teilchen als Wellen behandelt werden. Multipliziert man die oberen Gleichungen mit h = h/(2p) (h = Planck’sches Wirkungsquantum) und verwendet die in der Quantenmechanik übliche Bezeichnung für den Impuls eines Teilchens p = hk bzw. die Energie E = hw , so gehen die Gleichungen über in bzw. . Diese Relationen sind unter dem Begriff Unschärferelation bekannt. Sie drücken die Tatsache aus, dass ein Wellenzug ein Energiespektrum (Energieunschärfe) in Abhängigkeit von seiner Lebensdauer bzw. eine Impulsunschärfe in Abhängigkeit von seiner Ausdehnung besitzt.)

Eine grafische Darstellung eines Wellenzuges und seines Frequenzspektrums sieht folgendermaßen aus:

Beispielsweise ist ein Laserstrahl quasiharmonisch. Hat ein Laserimpuls die Lebensdauer t, so ist seine Frequenz- und Energiebreite gegeben durch