Der Magnuseffekt - Hörsaalversuch

Ein Zylinder wird mit angeströmt und rotiert mit . Die Relativgeschwindigkeit der Gasströmung bezüglich des rotierenden Zylinders ergibt sich dann folgendermaßen:

Oberseite:

Unterseite:

Die Anwendung der Bernoulligleichung liefert die Differenz der statischen Drücke zwischen Unter- und Oberseite:

also die Druckdifferenz

Nach dem Ausrechnen erhält man für die Druckdifferenz:

Damit ergibt sich die Kraft auf ein Oberflächenelement da zu

Die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration über die gesamte (halbe) Oberfläche.

Wir betrachten ein Oberflächenelement dA = hrdj mit h als Zylinderlänge. Also gilt:

Wir interessieren uns für die momentane Gesamtkraft, wenn die momentane Geschwindigkeit v(t) gegeben ist. Das Skalarprodukt innerhalb der eckigen Klammern ergibt:

Das Kraftelement dj wirkt somit in Richtung des Radiusvektors (blau-azur). Da derselbe Vektor auf der unteren Zylinderhälfte gespiegelt angreift, bleibt in der Summe nur die nach „rechts“ gerichtete Komponente (rot-pink) übrig. Für den Betrag von dF_M erhält man somit:

Die Gesamtkraft folgt daher durch Integration zu

Die Magnuskraft lässt sich daher durch folgende Beziehung ausdrücken

mit h als Zylinderlänge. Hat der Zylinder die Masse m, so unterliegt er der Querbeschleunigung

Die Konstante C ist dimensionslos und hat in unserem Hörsaalexperiment den Betrag C = 1,4^.10^-2. Sie hat eine anschauliche Bedeutung:

bzw.

Die Größe C entspricht dem Verhältnis der Dichte des Fluids (hier Luft) zur mittleren Dichte des rotierenden Körpers

Im folgenden Video ist der Flug des rotierenden Zylinders dargestellt. Der Zylinder schlägt hörbar nach 3,4s auf. Infolge der Bewegung entsteht eine Unschärfe, die den Zylinder als rechteckige Fläche erscheinen lässt.

MPG-Video zum Hörsaalversuch - Dauer 4s

Nachdem der Zylinder mit dem Motor (Drehzahl 2000 U/min) aufgezogen wurde, wird er mit einem kurzen Vorwärtsimpuls abgelassen. Im Rechenbeispiel wird mit einer horizontalen Anfangsgeschwindigkeit von 1m/s gerechnet. Im freien Fall würde er nahezu senkrecht innerhalb einer Sekunde nach unten fallen. Tatsächlich bewegt er sich auf einer schrägen, anfangs abgeflachten Bahn mehrere Meter in den Raum hinein. Die gesamte Flugzeit betrug 3,4s. Kurz vor dem Erreichen der Hörsaalwand schlägt die Rolle in 7,1m Entfernung auf.

Aus den Einzelaufnahmen des Videos (30 Bilder je Sekunde) kann folgende Trajektorie konstruiert werden:

Folgendes geschieht:

· Durch den nahezu freien Fall während der Anfangsphase des Fluges gewinnt der Zylinder eine vertikale Geschwindigkeitskomponente v_z, die dem Zylinder durch den Magnuseffekt eine horizontale Geschwindigkeitskomponente v_x (Vortrieb) verleiht.

· Die Horizontalbewegung schließlich führt zu einem dynamischen Auftrieb, der den Zylinder wieder steigen lässt.

· Berücksichtigt man eine Abbremsung durch den Luftwiderstand, so führt dies im Effekt zu einem geringeren Auftrieb. Der Luftwiderstand bewirkt schließlich, dass sich der Zylinder nahezu geradlinig gleichförmig bewegt.

Die Rechnung sieht folgendermaßen aus:

Die Gesamtbeschleunigung a_ges ergibt sich als Summe der Erdbeschleunigung g und der Beschleunigung durch den Magnuseffekt a_M :

Mit

bzw. unter Verwendung der Abkürzung gilt:

Die Vektoren und haben folgende Komponenten (x-Weite, z-Höhe):

Der Betrag für Ω folgt aus dem Betrag für C und der Drehzahl des Motors 2000 U/min.

Berechnet man das Kreuzprodukt, so erhält man schließlich:

Die Gesamtbeschleunigung erhält man mit (g = 9,81m/s²) zu

Die Bewegung wird durch den Luftwiderstand gebremst. Die Kraft, mit der der Zylinder gebremst wird, folgt aus der Gleichung

Somit erhält der Zylinder eine zusätzliche Beschleunigung

Die Größen C_W und v ergeben sich zu

bzw.

Für unseren Zylinder im Hörsaalversuch erhält man mit c_w » 0,9 den Betrag C_w » 0,13 m^-1 für die projezierte Zylinderfläche bzw. C_w » 0,39 für die gesamte Zylinderfläche.

Die Gesamtbeschleunigung erhält man somit zu

Da die zeitabhängige Geschwindigkeit v in der Beschleunigung enthalten ist, bietet sich ein iteratives Integrationsverfahren zur Lösung der Differentialgleichung an. Wir verwenden das numerische Eulersche Integrationsverfahren mit den Anfangswerten:

v_x(t=0) = 1 m/s ; v_y(t=0) = 0 m/s ; x(t=0) = 0 m ; z(t=0) = h = 5,30 m

Mit einer Schrittweite von 0,01s erhält man folgende Grafiken für die Trajektorie sowie die Flugweite in Abhängigkeit von der Zeit:

Die Grafiken verdeutlichen das experimentelle Resultat: Im Vergleich zum einfachen waagerechten Wurf fliegt die Rolle weit in den Raum hinein. Die Flugzeit von 3,4s entspricht einer Weite von etwa 7m, während im freien Fall der Boden etwa nach einer Sekunde erreicht würde (im Video ist ein deutliches Krachen nach 3,4s zu vernehmen). Während der ersten Sekunde stimmt die schwach konkav gekrümmte Flugbahn gut mit der ungedämpften „grünen“ Kurve überein.

Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes würde sich die Rolle in Form einer Zykloide durch den Raum bewegen und durch den Auftrieb faktisch nicht an Höhe verlieren. Berücksichtigt man den Luftwiderstand so erhält man statt der „grünen“ die „schwarze“ bzw. „rote“ Trajektorie.

Die Konstante C_w (nicht c_w) wurde angepasst. Der Wert von C_w = 0,75 ist wesentlich höher, als der tabellierte Zylinderwert c_w»0,7.