Bewegung auf ebenen Bahnen der Form r(j)

Wir betrachten im folgenden die Bewegung auf nicht kreisförmigen, ebenen Bahnen, die sich durch den funktionalen Zusammenhang r(j) beschreiben lassen.

Es seien folgende Bahnen ausgewählt:

Logarithmische Spirale:

Archimedische Spirale:

Ellipse:

Im Falle der Ellipse befindet sich der Koordinatenursprung im rechten Brennpunkt. Insbesondere gelten folgende Zusammenhänge zwischen dem Parameter p, der Exzentrizität e, der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b:

; ;

Die Kurven können in einem kartesischen Koordinatensystem mittels der Umrechnung

und

dargestellt werden.

Im folgenden ist der Verlauf y(x) für die drei Kurven dargestellt. Es wurden folgende Parameter gewählt:

Für alle drei Kurven ist r₀ = 30 m . Außerdem schneiden sich alle drei Kurven bei j » 145° ( r(145°) » 105 m ). Damit sind auch die folgenden Parameter festgelegt:

k= 0,5 , j₀ = -1 , p » 50 und e » 2/3.

Wir betrachten ein Fahrzeug, das sich auf einer der oben dargestellten Bahnen bewegt und interessieren uns für die Frage, mit welcher maximalen Geschwindigkeit man eine derartige Kurve durchfahren kann. Das Fahrzeug werde seitlich durch die Haftreibung gehalten. Die der Haftreibung entsprechende Beschleunigung a_^ = µg kompensiere die Zentrifugalbeschleunigung v²/R. R ist der Krümmungsradius der Bahnkurve am Punkt (y,x) resp. (r,j). Ist die Kurve in Polarkoordinaten gegeben, so errechnet sich der Krümmungsradius mittels der Beziehung

Hierin bedeuten und .

Für einen Kreis erhält man natürlich wegen r(j) = R , r’ = 0 und r’’=0 den Kreisradius. Für obige Funktionen gilt:

Krümmungsradius der logarithmischen Spirale:

Krümmungsradius der Archimedischen Spirale:

Krümmungsradius der Ellipse:

Die Krümmungsradien der drei Funktionen sind in folgender Grafik dargestellt (Hinweis: Nur bei einer Kreisbahn ist R mit r identisch!):

Mit erhält man die maximale Tangentialgeschwindigkeit, mit der die Bahn durchlaufen werden kann, wenn Gleichgewicht zwischen konstanter Haftreibungskraft und Zentrifugalkraft besteht. In der folgenden Grafik wurde v_max für µ = 0,6 berechnet:

Will man mit einem Fahrzeug die Kurven von j = 0° bis j » 145° durchfahren, so kann man dies mit zunehmender Geschwindigkeit tun, im Falle der Ellipse jedoch nur bis etwa 135°. Insgesamt gesehen ist man auf der archimedischen Spirale am langsamsten und auf der elliptischen Bahn am schnellsten, kann diese also in der kürzesten Zeit durchfahren (wenn man sich auf den betrachteten Winkelbereich beschränkt). Wir interessieren uns für die momentane Tangentialbeschleunigung, um ständig nahe v_max fahren zu können. Mit

Hierin bedeutet Dv_max die Änderung der maximalen Geschwindigkeit auf dem Kurvenstück der Länge Ds. Mittels numerischer Rechnungen unter Verwendung obiger Formel gelangt man zu folgendem Resultat:

Aus der Grafik wird folgendes ersichtlich:

· Die logarithmische Spirale kann mit konstanter Beschleunigung durchfahren werden. Wird die Spirale mit zunehmender Krümmung (in sich verengender Richtung) durchfahren, so ist auch die Bremsbeschleunigung konstant.

· Die archimedische Spirale muß mit abnehmender Beschleunigung durchfahren werden. Fährt man die Kurve in umgekehrter Richtung, so muss die Bremskraft stetig zunehmen („Hundekurve“)

· Die Ellipse kann zunächst mit zunehmender Beschleunigung durchfahren werden, nahe j » 100° nimmt die maximal mögliche Beschleunigung jedoch wieder ab, da der Krümmungsradius einen Wendepunkt hat. Ab j » 135° nimmt die Krümmung der Kurve wieder zu und es muss sogar abgebremst werden.