Versuch M9-Reversionspendel

Ziel des Versuches M9 (zu Details sei auf Physikalisches Grundpraktikum: Mechanik und Thermodynamik (2012) verwiesen) ist die Ermittlung der Erdbeschleunigung am Standort Berlin Adlershof mit Hilfe eines Reversionspendels. Die Idee, dafür ein Pendel mit reziproken Achsen zu benutzen, wurde erstmals von J.G.F.Bohnenberger (1811) publiziert. Das erste Reversionspendel wurde von H.Kater (1818) konstruiert und für Messungen eingesetzt. Über mehr als 150 Jahre, bis Ende der sechziger Jahre des letzten Jahrhunderts, wurden Reversionspendel zur Absolutbestimmung der Erdbeschleunigung verwendet. Bei den 1969 in Potsdam durchgefährten Messung wurde $g$ mit $(981260,1 \pm 0,3) \mathrm{mGal}$ bestimmt (J.Höpfner (2012)). Dies waren die genausten Messungen, die mit Reversionspendeln durchgefährt wurden. In den folgenden Jahren wurden sie von den noch präziseren Fallgravimetern abgelöst.

Mit einem solchen Pendel reduziert sich die gestellte Aufgabe auf die Messung des Abstandes der beiden Achsen, welcher der Länge eines gleich schwingenden mathematischen Pendels entspricht, und die Bestimmung der für beide Achsen identischen Periodendauer.

Als Messgeräte stehen im Praktikum ein Anbaumessschieber und eine elektronische, durch eine Lichtschranke gesteuerte Stoppuhr zur Verfügung. Der systematische Restfehler des verwendeten Längenmessgerätes beträgt nach den Angaben des Herstellers $u_{sys}= 0.02\;\mathrm{mm} + 5\cdot10^{-5}\,l$. Der aus zehnmaliger Wiederholung der Messung bestimmte zufällige Fehler, der Vertrauensbereich des ermittelten Mittelwertes, beträgt meist weniger als $0.05\,\mathrm{mm}$. Der daraus resultierende relative Gesamtfehler $u_l/l$ der Längenmessung liegt bei einem Schneidenabstand des Reversionspendels von $\approx 1000\,\mathrm{mm}$ unter $1.5\cdot10^{-4}$. Dies wird auch durch die Standardabweichung der von den Studenten in den vergangenen Jahren an den einzelnen Messplätzen ermittelten Werte für den Schneidenabstand untermauert, die unter $0.15\,\mathrm{mm}$ liegt.

Die von der Elektronikwerkstatt des Instituts für Physik gebauten, von einer Lichtschranke gesteuerten Stoppuhren nutzen als Zeitnormal einen thermisch stabilisierten Schwingquarz mit einer Sollfrequenz von 1MHz. Die gemessene Frequenzabweichung ist kleiner als 1Hz. Die Zeitauflösung der Digitalanzeige beträgt 1ms. Daraus ergibt sich ein systematischer Restfehler für die Zeitmessung von $u_{sys} = 10^{-3}\mathrm{s}+10^{-6}\,t$. Für die Bestimmung von g wird die Zeitdauer von 40 Schwingungen, $\approx 80\,\mathrm{s}$, mit zehnmaliger Wiederholung gemessen. Für jede Wiederholung wird das Pendel neu ausgelenkt. Die daraus Standardabweichung ist kleiner als $6\cdot10^{-3}\mathrm{s}$. Daraus resultiert ein relativer Fehler der Zeitmessung $u_t/t$ von $<8\cdot10^{-5}$.

Mit den zur Verfügung stehenden Messgeräten sollte der Wert von g mit einem relativen Fehler von besser als $3\cdot10^{-4}$, das heißt mit einem absoluten Fehler von besser als $3\cdot10^{-3}\,$ms$^{-2}$ bestimmbar sein. Die Ergebnisse der letzten Jahre zeigen, dass diese Genauigkeit in den meisten Fällen auch erreicht wird. Allerdings liegen die bestimmten Werte von g systematisch, zum Teil um das Mehrfache des Fehlerintervalls, über dem Referenzwert der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt für Berlin Adlershof. Es werden mit hoher Genauigkeit falsche Werte bestimmt, ohne dass die Ursache für diese Abweichungen bekannt ist.

Messmethode

Das im Versuch M9 verwendete Reversionspendel (Abbildung 1) ist nur aus einem Material gefertigt. Es besteht aus einem ca 1.5m langen Stahlstab mit 16mm Durchmesser. An diesem sind die zwei Schneiden mit einem Abstand von ca 0.98m angebracht. In der Nähe des einen Endes ist das eine Massenstück befestigt. Das zweite Massenstück lässt sich beliebig zwischen den beiden Schneiden positionieren um damit die Lage des Schwerpunktes einzustellen.

Abbildung 1: Reversionspendel

Im weiteren werden der Schneidenabstand mit $l$, der Abstand des Schwerpunktes von der Schneide 1 mit $a_1$ und der Abstand des Schwerpunktes von der Schneide 2 mit $a_2$ bezeichnet. Damit gilt $l = a_1 + a_2$.

Die Massen der einzelnen Teile wurden so gewählt, dass es zwei Positionen gibt, an denen die Schwingungsdauern für beide Schneiden gleich sind.

Abbildung 2: Berechnete Abhängigkeit der Periodendauer von der Position des Laufgewichtes, angegeben in Ringmarken.

Abbildung 3: Berechnete Abhängigkeit der Trägheitsmomente von der Position des Laufgewichtes, angegeben in Ringmarken.

In Abbildung 2 ist die mit dem GnuPlot-Skript Reversionspendel.gnuplot berechnete Abhängigkeit der Periodendauer von der Stellung des Laufgewichtes für das verwendete Reversionspendel dargestellt. Um die Position des Laufgewichtes zu bestimmen, ist der Pendelstab im Abstand von 20mm mit eingedrehten Marken versehen. Der Nullpunkt dieser Skala liegt in etwa an der Position der Schneide 2. Damit kann der Abstand der Kante des Laufgewichts von der Schneide 2 reproduzierbar in Schritten von einer Ringmarke eingestellt werden. Die Schnittpunkte der beiden Kurven liegen etwa bei 7 und etwa bei 36.5 Ringmarken. In der einen Position sind die beiden Massestücke weit auseinander. Wie Abbildung 3 zeigt, ist das daraus resultierende auf den Schwerpunkt bezogene Trägheitsmoment $J_S$ groß. In der anderen Position ist der Abstand der beiden Massestücke klein und das Trägheitsmoment $J_S$ ist geringer. Noch stärker unterscheiden sich die Werte von $J_1$. Bei großen Trägheitsmomenten ist die Pendelschwingung stabiler und reagiert weniger empfindlich auf Störungen. Beim ersten Schnittpunkt beträgt der Abstand $a_1$ der Schneide 1 vom Schwerpunkt $\approx 0.33\,l$. Dies entspricht etwa dem Wert den F.W.Bessel (1850) angibt. Für den zweiten Schnittpunkt ist dieser Abstand mit $\approx 0.11\,l$ wesentlich kleiner. Aus diesen Gründen sollte die Einstellung mit dem größeren Abstand der Massestücke verwendet werden.

Mit vertretbarem Aufwand ist es nicht möglich, einen der beiden Schnittpunkte exakt einzustellen. Der genaue Wert der Periodendauer kann nur aus einer möglichst dichten Annäherung an den gesuchten Schnittpunkt bestimmt werden. Dafür gibt es zwei verschiedene Wege.

Schnittpunktbestimmung durch zweiseitige Annäherung

Hat man auf jeder Seite des Schnittpunktes eine Position des Laufgewichtes gefunden, bei der sich die gemessenen Periodendauern für beide Schneiden nur geringfügig unterscheiden, können anstelle der genauen Funktionen der Kurvenäste die jeweiligen Sekanten für die Berechnung des Schnittpunktes genutzt werden. Dazu werden paarweise die

Abbildung 4: Bestimmung von $x_s$ und $t_s$ aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven

Punkte $(x_1,t_{1,1})$ und $(x_2,t_{2,1})$ sowie $(x_1,t_{1,2})$ und $(x_2,t_{2,2})$ durch Geraden verbunden. Dabei bezeichnet der erste Index die Position des Laufgewichtes. Der zweite Index steht für die jeweilige Schneide. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist dann gegeben durch:

$$t_s = \frac{t_{1,1} t_{2,2} - t_{1,2} t_{2,1}} {t_{1,1} - t_{1,2} - t_{2,1} + t_{2,2}}$$

$$x_s = \frac{(t_{2,2} - t_{2,1})\,x_1 +(t_{1,1} - t_{1,2})\,x_2}{t_{1,1} - t_{1,2} - t_{2,1} + t_{2,2}}$$

$$= x_1 + \frac{t_{1,1}-t_{1,2}}{t_{1,1} - t_{1,2} - t_{2,1} + t_{2,2}}\,(x_2-x_1)$$ (1)

Auf Grund der konvexen Krümmung der beiden Funktion liegt der so berechnete Wert von $t_s$ immer oberhalb des Schnittpunktes der beiden Kurven.

Schnittpunktsbestimmung aus Schwerpunktlage

F.W.Bessel (1828) hatte gezeigt, dass es nicht notwendig ist, genau gleiche Schwingungszeiten für beide Schneiden experimentell einzustellen¹. Die Schwingungsdauer eines Pendels $t$, dessen mathematische Länge dem Schneidenabstand entspricht, lässt sich aus den gemessenen Schwingungszeiten um die beiden Schneiden $t_1$ und $t_2$ und den entsprechenden Schwerpunktabständen $a_1$ und $a_2$ theoretisch berechnen.

$$t^2 = \frac{t_1^2\,a_1 - t_2^2\,a_2}{a_1 - a_2}$$ (2)

Diese Gleichung² ist für die praktische Anwendung nicht sonderlich zweckmäßig, da sie die Bestimmung beider Schwerpunktabstände mit hoher Genauigkeit erfordert. Bei F.W.Bessel (1828) ist auf Seite 98 eine Gleichung für die Länge des einfachen Sekundenpendels $\lambda$ angegeben, die für ein symmetrisches, inhomogenes Reversionspendel hergeleitet wurde. Die dort schon enthaltenen Korrekturen für den Luftauftrieb und für den Einfluss der mitschwingenden Luftmasse gelten so nicht für ein homogenes, asymmetrisches Reversionspendel. Lässt man in dieser Gleichung auch die sehr kleinen Korrekturen für Verschiebung der Schneiden auf der Unterlage und die Änderung der Luftdichte während der Messung von $t_1$ und $t_2$ unberücksichtigt, so ergibt sich daraus für die Schwingungsdauer des Reversionspendels:

$$t^2 = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2} + \frac{t_1^2 - t_2^2}{2}\left(\frac{l}{2\,a_1 - l}\right)$$ (3)

wobei $a_1$ der Abstand des Schwerpunktes von der Schneide 1 und $l=a_1+ a_2$ der Abstand der beiden Scheiden ist. Diese Gleichung lässt sich allgemein für jedes Reversionspendel herleiten³. Für den Fall, dass die Differenz zwischen den Schwingungsdauern der beiden Schneiden ausreichend klein ist, werden an die Genauigkeit, mit der der Schwerpunktabstand $a_1$ bestimmt werden muss, keine hohen Anforderungen gestellt.

Fehlerquellen

Amplitudenabhängigkeit der Periodendauer

Die Schwingungsgleichung für ein ungedämpftes physikalisches Pendels lautet:

$$J_A \frac{d^2\alpha}{d t^2} = -m\;g\;a\,\sin\alpha$$

Als Lösung erhält man ein vollständiges elliptisches Integral erster Art:

$$T(\alpha_0)=4\;\sqrt{\frac{J_A}{m\;g\;a}}\bigintss_0^{\pi/2}{\frac{d\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{\alpha_0}{2}\right)\sin^2\alpha}}}$$

Dieses kann durch eine Reihenentwicklung gelöst werden und fährt auf:

$$T(\alpha_0) = T_0\sum_{m=0}^\infty\left[\frac{(2\;m)!}{(2^m\;m!)^2}\right]^2\;\sin^{2m}\left(\frac{\alpha_0}{2}\right)$$

$$= T_0\left\{1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\left(\frac{\alpha_0... ...left(\frac{5}{16}\right)^2\sin^6\left(\frac{\alpha_0}{2}\right)+ \cdots\right\}$$

$$\mathrm{mit} T_0 = 2\;\pi \sqrt{\frac{J_A}{m\;g\;a}}$$

Die vollständige Herleitung findet man zum Beispiel in R.M.Dreizler, C.S.Lüdde (2008) (Kapitel 4.2.1, Seiten 162-169). Erfolgt die Messung bei hinreichend kleinen Amplituden kann dieser Ausdruck durch

$$T(\alpha) \approx T_0\left(1 + \frac{\alpha_0^2}{16}\right)$$ (4)

angenähert werden. Bei dem oben abgeschätzten systematischen Restfehler der verwendeten Uhr sollte $\alpha_0$ kleiner als 0.2 (entspricht etwa $11^\circ$) sein, damit der durch die Kleinwinkelnäherung und durch den Abbruchterm entstehende Gesamtfehler den Wert von $6 \cdot 10^{-6}$ nicht übersteigt.

Dämpfung

Um den Einfluss der Dämpfung auf die Schwingung eines physikalisches Pendels zu beschreiben, müsste die Schwingungsgleichung

$$\frac{d^2\alpha}{d t^2} + 2\delta\, \frac{d \alpha}{d t}+\omega_0^2\,\sin\alpha = 0$$    mit $$\omega_o^2 = \frac{m\;g\;a}{J_A}$$

gelöst werden. $\delta$ ist die Abklingkonstante. Im Fall schwacher Dämpfung kann die zeitliche Abnahme der Schwingungsamplitude durch ein Exponentialfunktion beschrieben werden.

$$\alpha_t = \alpha_0\, e^{-\delta\,t}$$

Aus der am Messplatz 2 beobachteten Abnahme der Amplitude über einen Zeitraum von 90 Minuten ergibt sich, dass $\delta$ ungefähr bei $1.7 \cdot 10^{-4} s^{-1}$ liegt.

Für derart kleine Werte der Abklingkonstante ist die vollständige Lösung der Schwingungsgleichung nicht notwendig. Die folgende Betrachtungsweise ist ausreichend.

Zum einen gilt für die Kreisfrequenz einer gedämpften harmonischen Schwingung:

$$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$$

Für den vorliegenden Fall sehr kleiner Dämpfung $\delta \ll \omega_0$ ergibt sich daraus für die Periodendauer einer harmonischen Schwingung

$$T = T_0 \left( 1 + \frac{\delta^2\,T_0^2}{8\,\pi^2} \right)$$

Die sich aus dem bestimmten Wert von $\delta$ ergebende relative Änderung von $T$ bleibt unter $2\cdot 10^{-9}$ und kann daher im weiteren vernachlässigt werden.

Zum anderen ist die Periodendauer eines Pendels aber nach Gleichung 4 von der Schwingungsamplitude abhängig und wird bei zeitlich abnehmender Amplitude eine Funktion der Messzeit $t$.

$$T(t) = T_0 \left( 1 + \frac{1}{16} \alpha_0^2\,e^{-2\,\delta\,t}\right)$$

Für die über die Zeit von n Perioden gemittelte Periodendauer $T_n$ erhält man⁴den Ausdruck:

$$T_n = T_o \left (1 + \frac{1}{16} \left(\frac{\alpha_0 + \alpha_t}{2}\right)^2\right)$$ (5)

Während der Messzeit von etwa 80 Sekunden (40 Perioden) nimmt die Amplitude um weniger als 2% ab. Benutzt man statt Gleichung 5 den Ausdruck 4, bleibt der daraus resultierende relative Fehler bis zu einer Auslenkung von $\alpha_0$ kleiner als 0.08 (entspricht etwa $4.6^\circ$) unter $6 \cdot 10^{-6}$.

Luftauftrieb

Die durch das Pendel verdrängte Luft bewirkt eine zusätzliche Kraft. Diese Auftriebskraft ist der wirkenden Schwerkraft entgegengerichtet und greift am Volumenmittelpunkt des Pendels an. Für diese Kraft gilt:

$$F_A = g\;V\;\rho_L$$

Beim asymmetrischen, homogenen Pendel fallen Massen- und Volumenmittelpunkt zusammen. Die resultierende Schwingungsgleichung lautet damit:

$$J_a\;\ddot{\alpha} = - m\;g\;a\;\left(1 - \frac{\rho_L}{\rho_P}\right)\sin\alpha$$

und wir erhalten für die Periodendauer den Ausdruck

$$T(\alpha) \approx T_0\left(1 + \frac{\alpha_0^2}{16}\right)\sqrt{... ... T_0\left(1 + \frac{\alpha_0^2}{16} + \frac{1}{2}\,\frac{\rho_L}{\rho_P}\right)$$ (6)

Die Luftdichte $\rho_L$ hängt vom Luftdruck $p$ und der Temperatur $T$ ab. Unter Annahme eines idealen Gases kann sie nach der Formel

$$\rho_L = \frac{p}{R_L\;T}$$

berechnet werden. $R_L$ beschreibt die spezifische Gaskonstante für Luft, die von der Luftfeuchtigkeit abhängig ist.Unter normalen Laborbedingungen, angenommen wurden $23^\circ\mathrm{C}$, $1013\,\mathrm{hPa}$ und 60% relative Luftfeuchtigkeit, beträgt die Luftdichte $1,175\,kg/m^3$. Die im Praktikum verwendeten Pendel sind bis auf die Schneiden aus Baustahl gefertigt, dessen Dichte je nach Kohlenstoffgehalt zwischen $7830\,kg/m^3$ und $7870\,kg/m^3$ variiert.

Schneidenform

Bisher wurde davon ausgegangen, dass das Pendel um eine Achse schwingt, die durch den Auflagepunkt der Schneide verläuft und durch die Schnittlinie der beiden Seitenflächen der prismenförmigen Schneide definiert wird. In der Praxis ist das nicht der Fall. Die Schneide ist mehr oder weniger verrundet. Den Einfluss des Abrollens der Schneide auf der Unterlage auf die Schwingungszeit des Pendels hat schon von dem französischer Mathematiker Laplace ⁵erkannt. Sehr detailliert wurde dieser Effekt von F.W.Bessel (1828) in den Paragraphen 25-27 und in der Beilage IX untersucht. Dabei geht er davon aus, dass sich die Schneidenform durch einen

Abbildung 5: Form der Schneide

Kegelschnitt beschreiben lässt, der die beiden Seitenflächen tangiert. Der Abstand der beiden Berührungspunkte wird mit $b$ und der Winkel zwischen den beiden Seitenflächen mit $2\,i$ bezeichnet. In dem fest mit der Schneide verbundenen Koordinatensystem $(\xi,\eta)$, dessen Ursprung sich im Auflagepunkt des Pendels in Ruhelage befindet, kann die Schneidenform durch die Scheitelpunktsgleichung des Kegelschnittes beschrieben werden.

$$V = 2\,p\,\xi\pm \frac{p}{a_\xi}\xi^2 + \eta^2 = 0$$

$$p = \frac{a_\eta^2}{a_\xi}$$

Dabei bedeutet $a_\xi$ die halbe Achse in $\xi$ und $a_\eta$ die halbe Achse in $\eta$. Die von F.W.Bessel (1828) verwendete numerische Exzentrizität

$$\varepsilon = 1 \mp \frac{p}{a_\xi}$$    - Ellipse, + Hyperbel

weicht von der heute üblichen Definition ab. Sie erlaubt auch Werte $\varepsilon < 0$ für Ellipsen $a_\eta > a_\xi$. Damit lassen sich alle möglichen Schneidenformen über den Parameter $\varepsilon$ definieren. Der Größe des Formparameter $\varepsilon$ bestimmt den Wert des Faktors $q$, der zur Beschreibung des Einflusses der Schneidenform auf die gemessene Periodendauer benötigt wird.

	$\varepsilon\, =1/\cos^2i$	Winkelspitze (entartete Hyperbel)	$q=0$
$1/\cos^2i>$	$\varepsilon\, > 1$	Hyperbel
	$\varepsilon\,=1$	Parabel
$1 >$	$\varepsilon\, > 0$	Ellipse mit langer Achse $\parallel\xi$
	$\varepsilon\, = 0$	Kreis	$q = \frac{1}{2 \cos i}$
$0 >$	$\varepsilon\, >-\infty$	Ellipse mit kurzer Achse $\parallel\xi$
	$\varepsilon\, = -\infty$	ebene Abstumpfung	$q=\frac{2}{\pi \sin\alpha_0}$ für $\alpha_0>0$

Dieser hängt außerdem von der Auslenkung $\alpha_0$ des schwingenden Pendels ab. Für $\alpha_0 \rightarrow 0$ ergibt sich der Grenzwert

$$q = \frac{\sqrt{1 - \varepsilon\,\cos^2i}}{2 \cos i}$$

Wie die von F.W.Bessel (1828) berechneten Tabellen ⁶zeigen, kann $q$ für abgestumpfte Schneiden $(\varepsilon \rightarrow -\infty)$ sehr große Werte annehmen, die zu erheblichen Fehlern bei der Bestimmung der Erdbeschleunigung führen werden. Als oberer Grenzwert kann

$$q = \frac{2}{\pi \sin\alpha_0}$$

angesehen werden.

Für die Länge $l_m$ eines mathematischen Pendels, das mit der gleichen Periodendauer wie das Schneidenpendel schwingt, hat F.W.Bessel (1828) in der Beilage IX den Zusammenhang

$$l_m = l_r \left( 1 - \frac{b\,q(\varepsilon,\alpha_0)}{a}\right)$$

hergeleitet. Hierbei bedeutet $l_r$ die Länge eines physikalischen Pendels mit der gleichen Periodendauer wie das Schneidenpendel, wenn dieses um den Auflagepunkt der Schneide schwingen würde. $a$ ist der Abstand des Schwerpunktes von der Schneide. Sowohl $l_m$ als auch $l_r$ sind unbekannt. Für den Fall, dass die gemessene Periodendauern für beide Schneiden gleich sind, gilt:

$$l_c = l_{m1} = l_{m2}$$

$$= l_{r1} \left(1- \frac{b_1 q_1}{a_1}\right) l_{r1}=\frac{\mu+a_1^2}{a_1}$$

$$= l_{r2} \left(1- \frac{b_2 q_2}{a_2}\right) l_{r2}=\frac{\mu+a_2^2}{a_2}$$

Aus diesen Gleichungen lässt sich die unbekannte Größe $\mu = J_s/m$ eliminieren. Unter Vernachlässigung kleiner Terme ⁷erhält man den Ausdruck:

$$l_c = a_1 + a_2 -\frac{a_1+a_2}{a_1-a_2}\left(b_1 q_1 - b_2 q_2\right)$$

Der Fehler bei der Bestimmung von $g$ resultiert aus der unterschiedlichen Abnutzung der Schneidenkanten. Nur für den Fall, dass die Form beider Schneiden identisch ist ($b_2 = b_1$ und $q_2(\alpha_0) = q_1(\alpha_0)$), hebt sich der Einfluss der Schneidenform auf und es gilt $l_c = a_1 + a_2$. Dies kann durch die Verwendung nur einer festen Schneide als Auflage erreicht werden. Das Pendel ist dazu mit zwei ebenen, zueinander parallelen Flächen auszustatten. Der Abstand dieser Schwingungsflächen bestimmt dann den Wert von $l = a_1 + a_2$.

Weitestgehend eliminieren lässt sich der Einfluss der Schneidenform auch durch Vertauschen der Schneiden (F.W.Bessel (1828)). Dazu wird zuerst die Periodendauer $T_u$ nach Gleichung 3 bestimmt. Nach Vertauschen der Schneiden wird in der gleichen Weise $T_v$ ermittelt. Aus

$$\frac{T_u^2 + T_v^2}{2} = \frac{4 \pi^2}{g}\left(\frac{l_{cu}+l_{cv}}{2}\right) = \frac{4 \pi^2}{g} \left(a_1 + a_2\right)$$

kann $g$ unabhängig von der Form der Schneiden bestimmt werden.

Welchen Einfluss die Schneidenform hat, kann man an der Veränderung der Amplitudenabhängigkeit der Periodendauer erkennen. Aus dem Ausdruck für $l_m$ folgt unter der Annahme sehr stark abgestumpfter Schneiden $(\varepsilon \rightarrow -\infty)$ für die Amplitudenabhängigkeit der Periodendauer $T(\alpha_0)$ als oberer Grenzwert die Korrektur

$$T(\alpha_0)_c = T(\alpha_0)*\sqrt{ 1 - \frac{b\,q}{a}}$$

$$\approx T_0\left((1 + \frac{\alpha_0^2}{16}\right) \left(1-\frac{b}{\pi\,a\,\alpha_0}\right)$$

$$\approx T_0\left((1 + \frac{\alpha_0^2}{16}-\frac{b}{\pi\,a\,\alpha_0}\right)$$ (7)

In Abbildung 6 (mit dem GnuPlot-Skript Amplitudenabhaengigkeit.gnuplot berechnet) ist die gemessene Abhängigkeit der Periodendauer von der Amplitude zusammen mit einem Fit nach Gleichung 4 sowie einem Fit nach Gleichung 7 dargestellt. Die Auswirkungen der Scheidenform auf

Abbildung 6: Auswirkung der Schneidenform auf die Periodendauer

die Periodendauer ist hier sehr deutlich zu erkennen. Aus dem Fit folgt bei einem Schwerpunktsabstand $a_2$ von etwa 620mm ein Wert für b, der Breite der Abflachung der Schneide, von etwa $11\,\mu m$.

Liegt $\varepsilon$ in der Nähe von 0, ist $q$ nur noch sehr wenig oder im Falle einer zylindrischen Schneide $\varepsilon = 0$ gar nicht von der Amplitude $\alpha_0$ abhängig. In diesem Fall gilt $b\,q = r$, wobei $r$ der Radius der Schneide ist. Da im allgemeinen keine Informationen über die genaue Form der beiden Schneiden vorliegen und man davon ausgehen muss, dass die Abstumpfung der beiden Schneiden unterschiedlich ist, kann dieser Fehler im Nachgang nicht korrigiert werden.

Die gemessenen Amplitudenabhängigkeiten zeigen, dass die Schneiden an allen vier im Praktikum genutzten Reversionspendeln deutlich abgeflacht sind. In diesem Fall ist bei den üblicherweise verwendeten Auslenkungen von weniger als 0.5 Grad der Einfluss derunterschiedlichen Form der beiden Schneiden besonders stark bemerkbar. Ohne Veränderungen an den Pendeln vorzunehmen, lässt sich er sich durch die Messung bei größeren Amplituden entsprechend Gleichung 7 verringern. Werden die Messung mit einer Amplitude von 2.5 Grad durchgeführt, verringert sich der Einfluss der Abstumpfung um etwa den Faktor 5.

Mitschwingen der angrenzenden Luft

In Folge der inneren Reibung in der aerodynamischen Grenzschicht haftet ein kleiner Teil der angrenzenden Luftmasse an der Pendeloberfläche. Dadurch vergrößert sich das Trägheitsmoment des Pendels um einen kleinen unbekannten Betrag. Diesen Effekt hat schon F.W.Bessel (1828) ausführlich untersucht. Bei einem homogenen asymmetrischen Pendel sind die zusätzlichen Trägheitsmomente für beide Schneiden unterschiedlich. Ihr Einfluss kann sich daher nur teilweise kompensieren. Bei einem inhomogenen, aber in der Form symmetrischen Pendel ergibt sich für beide Schneiden das gleiche zusätzliche Trägheitsmoment. Bei der Methode der Schnittpunktsbestimmung verschwindet dieses zusammen mit dem zusätzlichen Trägheitsmoment $J^*$ (siehe hierzu Herleitung der Gleichung 3).

Biegung des Pendels

Bisher wurde davon ausgegangen, dass das Reversionspendel ein starrer Körper ist. Spätestens bei der Durchführung der Schwerpunktsbestimmung wird deutlich, dass diese Annahme nicht erfüllt ist. Wenn das Pendel genau unter dem Schwerpunkt unterstützt wird, ist die Durchbiegung des Pendelstabes unter dem Einfluss der Gewichtskraft deutlich sichtbar.

Abbildung 7: FEM-Modell des im Schwerpunkt unterstützten Reversionspendel. Die Durchbiegung von etwa mehr als 3 mm ist um den Faktor 10 überhöht gezeichnet.

Eine Simulation (Abbildung 7) mittels der finite Elemente Methode (Programmpaket CalculiX (2016)) ergab, dass die Enden des Pendels etwa 3.3mm tiefer liegen als der Unterstützungspunkt. F.R.Helmert (1898) hat gezeigt, dass durch die Elastizität des Reversionspendels systematischen zu große Werte für die Länge des einfachen Sekundenpendels und damit zu große Werte für g bestimmt werden. Bei dem von ihm detailliert untersuchten stark biegsamen Meterpendel betrug die experimentell bestimmte relative Abweichung $\approx +3,5\cdot10^{-4}$.

Mitschwingen des Stativs

Pendel und Pendelaufhängung bilden ein Gesamtsystem. Beim Schwingen wirkt auf die Auflageflächen eine sich periodisch ändernde Kraft, die das Stativ zum Mitschwingen anregt.

Schlussfolgerungen

Insgesamt ergibt sich, dass die Konstruktion der im Versuch M9 genutzten, wenigstens 45 Jahre alten Reversionspendel den Möglichkeiten der heute zur Verfügung gestellten Zeit- und Längenmessgeräten nicht mehr entsprechen.

Die störenden Einflüsse der umgebenden Luft können durch ein symmetrisch geformtes, inhomogenes Pendel, wie es bereits F.W.Bessel (1828) vorgeschlagen hat, vollständig vermieden werden. Durch Verwendung von am Pendel angebrachten Schwingungsflächen und nur einer festen Schneide, auf der das Pendel schwingt, kompensiert sich weitestgehend die Auswirkung der Schneidenform auf das Endergebnis. Wie ein solches, für Lehrzwecke verwendbares Reversionspendel, aussehen kann wurde, von D.Candela u.a. (2001) ausführlich beschrieben. Dabei wird auch auf eine ausreichende Steifheit der Pendelaufhängung geachtet. Die mit diesem Pendel erreichte Messgenauigkeit (Abweichung vom Referenzwert des Messortes) bei der Bestimmung von g liegt unter $1\cdot10^{-3} m/s^2$.

Hinweise zur Versuchsdurchführung

Vor Beginn der Zeitmessungen muss die Ausrichtung des Lasers an der Lichtschranke kontrolliert werden. Das Starten und Stoppen der Uhr, dass durch die Freigabe der Lichtschranke erfolgt, sollte in unmittelbarer Nähe des Nulldurchganges des Pendels erfolgen. Der Laserspot ist daher so eingestellt, dass er die Pendelstange an der wandseitigen Seite gerade streift und

Abbildung 8: Justage der Lichtschranke

die eine Hälfte des Lichtflecks noch auf der Eintrittsblende der Photodiode zu sehen ist. Sollte dies nicht der Fall sein, ist die Lichtschranke mit Hilfe des Versuchsbetreuers neu einzustellen. Danach kann mit den Messungen begonnen werden.

1. Übersichtsmessung
   Für die Übersichtsmessung wird das Pendel mit der Schneide 2 eingehangen. Das Laufgewicht wird so nahe wie möglich an die Schneide 2 herangeschoben und mit seiner Oberkante auf der nächsten Ringmarke ausgerichtet und fixiert. Es wird die Zeit für 4 Perioden für Schneide 2 und nach Umdrehen des Pendel für Schneide 1 mit einer Amplitude von ca. 45mm gemessen. Damit die richtige Seite der Pendelstange die Zeitmessung bestimmt, muss die Uhr immer in der Nähe des wandseitigen Umkehrpunktes gestartet werden. Nach der erfolgten Messung der beiden Zeiten wird das Pendel wieder mit der Schneide 2 aufgehängt und danach das Laufgewicht in Richtung Schneide 1 um eine Ringmarke verschoben. Danach werden die Zeiten für beide Schneiden erneut gemessen. Dieser Ablauf wird solange wiederholt, bis sich das Vorzeichen der Differenz $t_1 -t_2$ ändert. Der gesuchte Schnittpunkt der beide Kurven muss zwischen der vorhergehenden und der momentanen Position des Laufgewichtes liegen. An dieser Stelle wird die Übersichtsmessung beendet. Die genaue Lage des Schnittpunktes kann mit der Gleichung
   

   $$t_s = \frac{t_{1,1} t_{2,2} - t_{1,2} t_{2,1}} {t_{1,1} - t_{1,2} - t_{2,1} + t_{2,2}}$$

   $$x_s = x_1 + \frac{t_{11}-t_{12}}{t_{1,1} - t_{1,2} - t_{2,1} + t_{2,2}}\,(x_2-x_1)$$

   
   berechnete werden. Dabei bezeichnet der erste Index die Position des Laufgewichtes. Der zweite Index steht für die jeweilige Schneide. Da der Ringmarkenabstand mit 20mm bekannt ist, kann das Laufgewicht auf etwa $\pm 0.5\,\mathrm{mm}$ genau fixiert werden. Diese Position wird im weiteren Verlauf des Versuchs nicht mehr verändert. Die für beide Schneiden gemessenen Zeiten (4 Perioden) sollten sich um weniger als 20ms unterscheiden. Ist das nicht der Fall sollte die Berechnung von $x_s$ und die Positionierung des Laufgewichtes nochmals überprüft werden.

2. Präzisionsmessung
   Für die Präzisionsmessung wird die Zeit für 40 Perioden bei einer Auslenkung von 45mm für beiden Schneiden gemessen. Diese Messung ist jeweils 10 mal zu wiederholen. Damit alle zufälligen Störgrößen erfasst werden, ist nach jeder Messung das Pendel umzudrehen, sodass die Zeiten für die Schneiden 1 und 2 wechselweise gemessen werden. Aus den Mittelwerten kann mit der Gleichung
   $$t^2 = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2} + \frac{t_1^2 - t_2^2}{2}\left(\frac{l}{2\,a_1 - l}\right)$$
   die Zeit für 40 Schwingungen am Schnittpunkt berechnet werden. Durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes erhält man aus den Vertrauensbereichen den zufälligen Fehler der so bestimmten Schwingungszeit am Schnittpunkt. Da der systematische Restfehler der verwendeten Uhr sich auf alle Zeitmessungen in gleicher Weise auswirkt, ist dieser nach Größtfehlerabschätzung mit dem bestimmten zufälligen Fehler zu verknüpfen. Aus der Zeit für 40 Schwingungen und deren Fehler ergibt sich die Periodendauer und deren Fehler.

3. Schneidenabstand und Schwerpunkt
   Der Schneidenabstand wird mit Hilfe eines Anbaumessschiebers gemessen. Um zufällige Störeinflüsse zu berücksichtigen ist diese Messung 10 mal zu wiederholen und daraus Mittelwert und Vertrauensbereich zu bestimmen. Alle notwendigen Angaben sind am Messplatz angegeben.

   Abbildung 9: Bestimmung des Schwerpunktes

   

   Der Abstand des Schwerpunktes von der Schneide 1 wird durch Ausbalancieren des Pendels auf einem vertikalen Stahlblech bestimmt. Die Dicke diese Bleches beträgt 1mm. Der Abstand zwischen der Schneide 1 und der Mitte des Stützbleches wird mit einem Stahllineal gemessen. Zur Abschätzung der Messgenauigkeit können hier auch mehrere Wiederholungen durchgeführt werden. Diese sind jedoch nur dann aussagekräftig, wenn das Pendel jedesmal neu ausbalanciert wird.

4. Amplitudenabhängigkeit
   Für eine der beiden Schneiden ist die Amplitudenabhängigkeit der Zeit für 40 Schwingungen aufzunehmen. Die Vorwahleinstellung ist entsprechend der jeweiligen Amplitude vorzunehmen. Bei Auslenkungen kleiner als etwa 16mm (Durchmesser der Pendelstange) wird die Lichtschranke nur einmal pro Schwingung freigegeben. In diesem Fall ist die Vorwahl auf die halbe Periodenanzahl 20 einzustellen. Es sollten jeweils wenigstens 11 verschiedene Auslenkungen zwischen 5 und 100 mm genutzt werden. Bei der Auswertung unter Anwendung der Gleichungen
   $$T(\alpha_0) \approx T_0\left(1 + \frac{\alpha_0^2}{16}\right)$$
   und
   $$T(\alpha_0)_c \approx T_0\left((1 + \frac{\alpha_0^2}{16}-\frac{b}{\pi\,a\,\alpha_0}\right)$$
   sollte zusätzlich das Ergebnisse der Präzisionsmessung als weiterer Datenpunkt einbezogen werden. Unbekannt und daher Fitparameter ist im ersten Fall der Wert von $T_0$. Bei der zweiten Abhängigkeit ist der Wert der Schneidenbreite $b$ ein weiterer Fitparameter für die Anpassung der Funktion an die Messpunkte. Als Startwert kann von $10 \mu m$ ausgegangen werden. Der Abstand $a$ der betrachteten Schneide zum Schwerpunkt ist durch die zuvor durchgeführten Messungen von $a_1$ und $l$ bekannt.

   In der Darstellung von $T = f(\alpha^2)$ wird der Unterschied zwischen beiden verschiedenen Funktionen am deutlichsten sichtbar.

Literatur

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Versuch M9: Reversionspendel, Seiten 51...54
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät der HUB
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http://gpr.physik.hu-berlin.de/Skripten/Mechanik und Thermodynamik/PDFDateien/Mechanik und Thermodynamik.pdf
abgerufen am 6.3.2016 19:03 Uhr

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Astronomie
Drittes Buch, Kapitel II, §266, Seiten 447...449 und Tafel VI, Zeichnung 102
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Philosophical Transactions of the Royal Society of London
Vol.108, pages 33...102 (1818)

F. W. Bessel
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J.G.F.Bohnenberger
Ueber die Bestimmung der Länge des einfachen Secundenpendels
Naturwissenschaftliche Abhandlungen,
Herausgegeben von einer Gesellschaft in Würtemberg
Erster Band, Drittes Heft, Seiten 1-34 und Tafel I
Tübingen (1827)

F. W. Bessel
Construction eines symmetrisch geformten Pendels mit reciproken Axen
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Band30, Heft1, (No. 697), Seite 1...6 (1850)

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Beiträge zur Theorie des Reversionspendels
Veröffentlichung des Königl. Preuszischen Geodätischen Instituts
und Centralbureaus der Internationalen Erdmessung
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A Text-Book of Physics, Properties of Matter
Chapter II. The Acceleration of gravity, pages 7...20
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F.Kühnen, Ph.Furtwängler
Bestimmung der absoluten Grösze der Schwerkraft zu Potsdam
mit Reversionspendeln
Veröffentlichung des Königl. Preuszischen Geodätischen Instituts
Neue Folge No. 27, Berlin (1906)

R.M. Dreizler und C.S. Lüdde
Theoretische Physik Band 1: Theoretische Mechanik
Springer 2008 ISBN 978-3-540-70557-4

http://www.springer.com/de/book/9783540705574
abgefufen am 2.2.2018 17:39 Uhr

A.H.Cook
The Absolute Determination of the Acceleration Due to Gravity
Metrologia Vol.1, pages84...114 (1965)

D.Candela, K.M.Martini, R.V.Krotkov und K.H.Langley
Bessel's improved Kater pendulum in the teaching lab
Am.J.Phys. Vol69, No.6, pages 714...720 (2001)

Joachim Höpfner
Absolute Bestimmung der Schwere mit Reversionspendeln in Potsdam
1898-1904 und 1968-1969
Deutschen Gesellschaft für Chronometrie, Jahresschrift
Band51, Seiten101...114 (2012)

Guido Dhondt, Klaus Wittig
CalculiX CrunchiX (ccx) und CalculiX GraphiX 2.11 (cgx)
Version 2.11 (2016)

http://www.calculix.de/
abgerufen am 4.10.2016 10:04 Uhr

Fußnoten

... einzustellen¹

Nach F.Kühnen, Ph.Furtwängler (1906), Seite X wird diese Erkenntnis Bohnenberger zugeschrieben. Der dort angegebene Quelle (J.G.F.Bohnenberger (1811)) kann diese Aussage jedoch nicht entnommen werden. Auch in J.G.F.Bohnenberger (1827) findet sich kein Hinweis darauf. F.W.Bessel (1828) (Seite 97) geht bei seinen Betrachtungen davon aus, das ein bewegliches Gewicht für ein Pendel mit reziproken Achsen nicht erforderlich ist, sondern es ausreicht, wenn die Schwingungszeiten um beide Schneiden nahezu gleich gemacht werden.

... Gleichung²

Diese Gleichung findet man ohne Herleitung oder Quellenangabe bei F.Kühnen, Ph.Furtwängler (1906) auf Seite X und bei F.R.Helmert (1898) auf Seite 8 (Gleichung 24) als Ausgangspunkt weiterer Überlegungen. Nach J.H.Poynting and J.J.Thomson (1902) (Seite 15) geht dieser Ausdruck auf F.W.Bessel (1828) zurück, auch wenn er sich dort nicht direkt findet, sondern nur die Überlegungen, die zur Herleitung notwendig sind, angegeben werden.

... herleiten³

Für den Fall das die Periodendauern für beide Schneiden gleich sind, gilt

$$\frac{J_s}{m\;a_1} + a_1 = \frac{J_s}{m\;a_2} + a_2$$

Daraus folgt für das Schwerpunktsträgheitsmoment $J_s$:

$$J_s = m\;a_1\;a_2$$

Sind die beiden Periodendauern $t_1$ und $t_2$ nicht exakt gleich, kann man für $J_s$

$$J_s = m\;a_1\;a_2 + J^*$$

schreiben, wobei das zusätzliche Trägheitsmoment $J^*$ bei kleiner Differenz der Periodendauern ebenfalls sehr klein ist. Aus der Lösung der Schwingungsgleichung für das physikalische Pendel

$$t_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{J_1}{g\;m\;a_1}}$$

folgt mit

$$J_1 = m\;a_1\;a_2 + J^* + m\;a_1^2 \mathrm{\hspace{5mm} und \hspace{5mm}} a_2 = l - a_1$$

die Beziehung

$$4 \pi^2 ( m\;a_1\;l + J^*) = t_1^2\;g\;m\;a_1$$

und daraus:

$$\frac{t_1^2\;g}{4\;\pi^2}=l+\frac{J^*}{m\;a_1}$$

Analog gilt für die 2. Schneide:

$$\frac{t_2^2\;g}{4\;\pi^2}=l+\frac{J^*}{m\;a_2}$$

Damit lässt sich die unbekannte Größe $J^*$ aus den Gleichungen eliminieren.

$$J^*=\left(\frac{t_1^2\;g}{4\;\pi^2}-l\right)\;m\;a_1 =\left(\frac{t_2^2\;g}{4\;\pi^2}-l\right)\;m\;a_2$$

und erhält den Ausdruck:

$$\frac{g}{4\;\pi^2}\left(t_1^2\;a_1-t_2^2\;a_2\right)=l\;(a_1-a_2) \mathrm{\hspace{15mm}(\ast)}$$

Schreibt man für den Mittelwert $\bar{t}$ und die Differenz $\delta$:

$$\bar{t}=\frac{t_1+t_2}{2} \mathrm{\hspace{5mm}und\hspace{5mm}} \delta=\frac{t_1-t_2}{2}$$

und ersetzt damit die Größen $t_1$ und $t_2$ durch

$$t_1=\bar{t}+\delta \mathrm{\hspace{5mm}und\hspace{5mm}} t_2=\bar{t}-\delta$$

so erhält man:

$$l\;(a_1-a_2) = \frac{g}{4\;\pi^2}\left[(\bar{t}^2+2\;\bar{t}\;\delta + \delta^2)\;a1-(\bar{t}^2-2\;\bar{t}\;\delta+\delta^2)\;a2\right]$$

$$= \frac{g}{4\;\pi^2}\left[(\bar{t}^2+\delta^2)\;(a_1-a_2)+2\;\bar{t}\delta(a_1+a_2)\right]$$

mit $a_1 + a_2 = l$ ergibt sich daraus der exakte Ausdruck für die Periodendauer des Reversionspendels:

$$t^2 = \frac{4\;\pi^2}{g}\;l =\bar{t}^2 + \delta^2 + 2\;\bar{t}\;\delta\;\left(\frac{l}{2\;a_1-l}\right)$$

Diese Herleitung findet man in sehr kompakter Form in A.H.Cook (1965) auf Seite 89. Geht man wieder auf die ursprünglichen Größen $t_1$ und $t_2$ zurück, so erhält man den von F.W.Bessel (1828) angegebenen Ausdruck:

$$t^2 = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2} + \frac{t_1^2 - t_2^2}{2}\left(\frac{l}{2\;a_1 - l}\right)$$

Der Ausdruck $(\ast)$ fährt auch direkt auf die Gleichung 2:

$$t^2 = \frac{4 \pi^2}{g}\;l=\frac{t_1^2\;a_1-t_2^2\;a_2}{a_1-a_2}$$

Beide Gleichung werden auch in J.H.Poynting and J.J.Thomson (1902) auf Seite 15 unter Verweis auf F.W.Bessel (1828) hergeleitet.

... man⁴

Die folgende Herleitung ist zum Teil A.H.Cook (1965) (Seite 89) entnommen. Aus der Zeitabhängigkeit der Periodendauer folgt für die Kreisfrequenz:

$$\omega(t) = \frac{2 \pi}{T(t)} = \frac{2 \pi}{T_0} \left( 1 - \frac{1}{16} \alpha_0^2\,e^{-2\,\delta\,t}\right)$$

Der Phasenwinkel $\phi$ nach der Zeit $t$ ergibt sich zu:

$$\phi(t) = \bigintss_0^t\frac{2 \pi}{T_0}\left( 1 - \frac{1}{16} \alpha_0^2\,e^{-2\,\delta\,t}\right)$$

$$= \frac{2 \pi}{T_0}\left[t-\frac{\alpha_0^2}{32\,\delta}\left(1-e^{-2\,\delta\,t}\right)\right]$$

Wird dieser Phasenwinkel einem ganzzahligen Vielfachen von $2 \pi$ gleichgesetzt,

$$\phi(t) = 2\pi\,n$$

so erhält man für die über n Perioden gemittelte Periodendauer $T_n$

$$T_n = \frac{t}{n} = \frac{2\pi\,t}{\phi(t)}$$

$$= T_0 \frac{t}{t-\frac{\alpha_0^2}{32\,\delta}\left(1-e^{-2\,\delta\,t}\right)}$$

$$= T_0 \left[1+\frac{\alpha_0^2}{32\,\delta\,t}\left(1-e^{-2\,\delta\,t}\right)\right]$$

da

$$e^{-2\,\delta\,t} = \left(\frac{\alpha_t}{\alpha_0}\right)^2$$    und $$\delta\,t = \ln{\frac{\alpha_0}{\alpha_t}}$$

gilt, ergibt sich

$$T_n = T_0 \left(1+\frac{\alpha_0^2-\alpha_t^2}{32\,\ln{\frac{\alpha_0}{\alpha_t}}}\right) \mathrm{\hspace{15mm}(\ast)}$$

Abweichend von A.H.Cook (1965) (Seite 89) wird

$$\bar{\alpha} = \frac{\alpha_0 + \alpha_t}{2}$$    und $$\Delta\alpha = \frac{\alpha_0 - \alpha_t}{2}$$

und somit

$$\alpha_0 = \bar{\alpha} + \Delta\alpha$$    und $$\alpha_t = \bar{\alpha} - \Delta\alpha$$

gesetzt. Damit ergibt sich

$$\ln{\frac{\alpha_0}{\alpha_t}} = \ln\frac{\bar{\alpha}+\Delta\alp... ...\alpha} = \ln\frac{1+\Delta\alpha/\bar{\alpha}}{1-\Delta\alpha/\bar{\alpha}}$$

Durch Anwendung der Reihenentwicklung

$$\ln\frac{1+x}{1-x} = 2\,x + \frac{2}{3} x^3 + \frac{2}{5} x^5 + \cdots$$    mit $$x = \frac{\Delta\alpha}{\bar{\alpha}} = \frac{\alpha_0 - \alpha_t}{\alpha_0 + \alpha_t}$$

und Abbruch vor dem Term dritter Ordnung ergibt sich

$$\ln{\frac{\alpha_0}{\alpha_t}} \approx 2\,\frac{\alpha_0 - \alpha_t}{\alpha_0 + \alpha_t}$$

und damit

$$T_n = T_0\left(1+\frac{(\alpha_0+\alpha_t)(\alpha_0-\alpha_t)(\alpha_0+\alpha_t)}{64\,(\alpha_0-\alpha_t)}\right)$$

$$= T_0\left(1+\frac{1}{16}\left(\frac{\alpha_0+\alpha_t}{2}\right)^2\right)$$

A.H.Cook (1965) (Seite 89) verwendet für $\ln(\alpha_0/\alpha_t)$ die Reihenentwicklung

$$\ln x = (x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3+\ldots$$

und bricht diese vor dem Term zweiter Ordnung ab. Damit wird

$$\ln{\frac{\alpha_0}{\alpha_t}} \approx \frac{\alpha_0}{\alpha_t} - 1 = \frac{\alpha_0-\alpha_t}{\alpha_t}$$

woraus die durch den früheren Abbruch der Reihenentwicklung ungenauere Abschätzung

$$T_n = T_0\left(1+\frac{(\alpha_0+\alpha_t)(\alpha_0-\alpha_t)\,\alpha_t}{32\,(\alpha_0-\alpha_t)}\right)$$

$$= T_0\left(1+\frac{(\alpha_0+\alpha_t)\,\alpha_t}{32}\right)$$

folgt.

F.Kühnen, Ph.Furtwängler (1906) nutzen die Amplitude $\alpha_m$ in der Mitte der Beobachtungszeit $t_m = t/2$ zur Berückichtigung der Dämpfung bei der Amplitudenreduktion. Aus der auf Seite 35 angegeben Gleichung 7

$$T_0 = T \left(1 - \frac{\alpha_m^2}{32\,\delta}\,\frac{e^{2\,\delta\,t_m}-e^{-2\,\delta\,t_m}}{2\,t_m}\right)$$

folgt mit

$$\alpha_m = \alpha_0\, e^{-\delta\,t_m}$$    und. $$\alpha_t= \alpha_0\, e^{-\delta\,t}$$    bzw. $$\delta\,t = \ln{\frac{\alpha_0}{\alpha_t}}$$

sofort der Ausdruck $(\ast)$. Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktionen des Terms

$$e^x -e^{-x} = 2\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots\right)$$

und Abbruch vor der fünften Ordnung führt auf die von F.Kühnen, Ph.Furtwängler (1906) angegebene Reduktionsformel

$$T_0 = T \left(1 - \frac{\alpha_m^2}{16}\left(1+\frac{2}{3}\,\delta^2\,t_m^2\right)\right)$$

... Laplace⁵

Im Anhang von H.Kater (1818) ist eine Zusammenfassung der Argumentation von Laplace enthalten.

... Tabellen⁶

Die folgende Tabelle ist F.W.Bessel (1828) Seite 71/72 entnommen.

Winkel $i = 45^\circ$
$\varepsilon$	Kegelschnitt	$a_\xi/a_\nu$	Werte von $q(\varepsilon,\alpha_0)$
			$\alpha_0=0$	$\alpha_0=1^\circ$	$\alpha_0=2^\circ$
+ 2	Hyperbel		0.00	0.00	0.00
+ 1	Parabel		0.50	0.50	0.50
0	Kreis	1: 1	0.71	0.71	0.71
- 10	Ellipse	1: 3.32	1.73	1.73	1.72
- 100		1: 10.05	5.05	4.99	4.84
- 1000		1: 31.64	15.83	14.30	11.58
- 10000		1: 100.00	50.00	28.28	16.68
-100000		1: 316.23	158.11	34.94	18.00
- $\infty$	Ebene	1:$\infty$	$\infty$	36.48	18.24
Winkel $i = 60^\circ$
$\varepsilon$	Kegelschnitt	$a_\xi/a_\nu$	Werte von $q(\varepsilon,\alpha_0)$
			$\alpha_0=0$	$\alpha_0=1^\circ$	$\alpha_0=2^\circ$
+ 2	Hyperbel		0.00	0.00	0.00
+ 1	Parabel		0.87	0.87	0.87
0	Kreis	1: 1	1.00	1.00	1.00
- 10	Ellipse	1: 3.32	1.87	1.87	1.86
- 100		1: 10.05	5.10	5.04	4.88
- 1000		1: 31.64	15.84	14.32	11.59
- 10000		1: 100.00	50.01	28.38	16.68
-100000		1: 316.23	158.12	34.94	18.00
-$\infty$	Ebene	1:$\infty$	$\infty$	36.48	18.24

Der Winkel der im Praktikum genutzten Schneiden beträgt $i = 30^\circ$.

... Terme⁷

Aus dem Umstellen beider Gleichungen nach $\mu$ folgt:

$$\mu = \frac{l_c a_1^2}{a_1-b_1q_1}-a_1^2 = \frac{l_c a_2^2}{a_2-b_2q_2}-a_2^2$$

Damit erhält man für $l_c$

$$l_c = \frac{(b_1 q_1 - a_1)(b_2 q_2 - a_2)(a_1^2 - a_2^2)} {a_2^2(b_1 q_1 - a_1) - a_1^2(b_2 q_2 - a_2)}$$

$$= (a_1 + a_2) \frac{(a_1 -a_2)(a_1a_2 -a_1b_2q_2 - a_2b_1q_1)+(a_1-a_2)b_1q_1b_2q_2} {a_2^2b_1 q_1 - a_1a_2^2 - a_1^2b_2 q_2 + a_1^2a_2}$$

$$= (a_1 + a_2)\frac{a_2^2b_1q_1 - a_1a_2^2 - a_1^2b_2q_2 + a_1^2a_2 ... ...b_1q_1+(a_1-a_2)b_1q_1b_2q_2} {a_2^2b_1q_1 - a_1a_2^2 - a_1^2b_2q_2 + a_1^2a_2}$$

$$= (a_1+a_2)\left(1-\frac{a_1a_2(b_1q_1-b_2q_2)}{a_1a_2\left(a_1-a_2... ...{a_1a_2\left(a_1-a_2+\frac{a_2}{a_1}b_1q_1-\frac{a_1}{a_2}b_2q_2\right)}\right)$$

$$b_1q_1b_2q_2$$

$$\left(1-\frac{b_1q_1}{a_1}\right) \left(1-\frac{b_2q_2}{a_2}\right)$$

$$= (a_1 + a_2) - \frac{a_1 + a_2}{a_1 -a_2}(b_1q_1 - b_2q_2)$$

für den Fall, dass $b_1 = b_2 = b$ und $q_1 = q_2 = q$ gilt, geht nur noch der von $(b\,q)^2$ abhängige Term ein, der verschwindend gering ist.

$$l_c = (a_1+a_2)\left(1+\frac{(a_1-a_2)(b\,q)^2}{a_1a_2\left(a_1-a... ...right) \approx (a_1+a_2)\left(1+\frac{(b\,q)^2}{a_1a_2}\right) \approx a_1+a_2$$