Fortgeschrittenen-Praktikum - Versuchsanleitung 'Röntgentopographie'

Röntgentopographie

Rolf Köhler, Peter Schäfer

(letzte Änderung: 15.03.11)

Betreuer: Dr. Peter Schäfer (NEW 15, R. 2'519, Tel.: 2093-7894;

email: peter.schaefer@physik.hu-berlin.de)

Raum: NEW 15, R. 0'703 (Röntgenlabor der AG Kohärenzoptik ), Tel.: 2093-4811


1. Thema

Nachweis von Misfitversetzungen in verspannten Schichten

2. Versuchsdauer

2 Tage


3. Literatur

[1] Grundlagen Festkörperphysik:

Konrad Kopitzki , Peter Herzog

Einführung in die Festkörperphysik, 6.Auflage, Kap. 1.1


[2] Grundlagen der Röntgenbeugung:

Konrad Kopitzki , Peter Herzog

Einführung in die Festkörperphysik, 6.Auflage, Kap.1.2

Lothar Spieß, Gerd Teichert, Robert Schwarzer , Herfried Behnken, Christoph Genzel

Moderne Röntgenbeugung 2.Auflage, Kap. 3

[3] Grundlagen zu Versetzungen:

Konrad Kopitzki , Peter Herzog

Einführung in die Festkörperphysik, 6.Auflage, Kap. 1.4.4

D. Hull, D. J. Bacon

Introduction to Dislocations, 4. Auflage Kap.1, Kap.3


[4] Misfit-Versetzungen in Silizium Germanium Schichten:

Robert Hull, John C. Bean

Silicon Germanium Physics and Materials Kap.3


[5] Erzeugung und Nachweis von Röntgenstrahlung:

Lothar Spieß, Gerd Teichert, Robert Schwarzer , Herfried Behnken, Christoph Genzel

Moderne Röntgenbeugung 2.Auflage Kap. 2, Kap. 4



[6] Grundlagen der Röntgentopographie:

International Tables for Crystallography Volume C, 3.Auflage Kap. 2.7

D. Hull, D. J. Bacon

Introduction to Dislocations, 4. Auflage Kap.2.5

beiliegende Sonderdrucke zur Röntgentopographie

Einführung XCTL-Programm


[7] Strahlenschutz :

Hans-Gerrit Vogt, Heinrich Schultz

Grundzüge des_praktischen Strahlenschutzes, 4.Auflage, Kap. 6, 7 und 11

Hanno Krieger

Grundlagen der Strahlungsphysik und des Strahlenschutzes, 2.Auflage, Kap. 4 und 9

[8] Tabellen, Materialdaten :

NIST, X-Ray Mass Attenuation Coefficients

International Tables for Crystallography Volume C, 3.Auflage Kap. 4

4. Einführung in den Problemkreis

Bereits zum Ende des 19. Jhh. wurde klar, dass die Festigkeitseigenschaften realer Materialien im Rahmen eines atomistischen Modells nicht erklärt werden können, wenn ein ideal geordneter Kristall zugrunde gelegt wird (siehe die Überlegungen zu Anfang von [1]). Es erwies sich, dass insbesondere ein linearer Defekt, die Versetzung, die beobachteten Erscheinungen recht gut erklären kann. Jedoch gelang ein expliziter experimenteller Nachweis solcher Defekte erst Mitte des 20. Jhh. ungefähr gleichzeitig mittels Transmissionselektronenmikroskopie und Röntgentopographie. Die geometrisch einfachste Form einer solchen Versetzung (Stufenversetzung) kann man sich als eingeschobene Halbebene perfekt geordneten Materials vorstellen, d.h. nur entlang der Kante der Halbebene ist die Nahordnung im Kristall gestört. In der Umgebung dieser Linie wird der Kristall deformiert.

Diese Deformation bewirkt, dass bei der Beugung von Elektronen oder Röntgenstrahlen am Kristallgitter eine lokale Abweichung von der Braggbedingung auftritt. Der dadurch verursachte Beugungskontrast dient zum Nachweis der Versetzungen. Dabei sind Röntgentopographie und Transmissionselektronenmikroskopie (TEM) komplementär in folgender Hinsicht:

Die Wechselwirkung von Elektronen mit den Atomen ist um rund zwei Größenordnungen stärker als jene von Röntgenphotonen mit Atomen. Dadurch wird im Falle der Röntgenbeugung im Vergleich zur Elektronenbeugung ein in jeder Raumrichtung um ca. zwei Größenordnungen größeres Volumen benötigt, um einen merklichen Beugungseffekt nachweisen zu können. Zugleich ist aber auch die Röntgenbeugung um ca. 2 Größenordnungen empfindlicher im Hinblick auf Gitterdeformation. Daher sind auch die beobachteten Versetzungsbilder im TEM um ca. 2 Größenordnungen schmaler als bei Röntgenbeugung. Mithin muss bei TEM das Bild stark vergrößert werden, um die Defekte nachweisen zu können. Das schränkt das Bildfeld auf typ. ca. 10 µm (Auflösung ca. 1 nm) ein, während mittels Röntgentopographie Bildfelder bis ca. 100 mm (Auflösung ca. 1 µm) untersucht werden können. Um im Falle der TEM wenigsten eine Versetzung (als Mittelwert) im Bildfeld zu haben, sind folglich 106 Vers./cm2 erforderlich. Daher sind Versetzungsdichten oberhalb von ca. 105 Vers./cm2 die Domäne der TEM, Versetzungsdichten darunter jene der Röntgentopographie.

Versetzungen können immer dann auftreten, wenn Spannungen auf ein Kristallvolumen wirken. Das ist auch der Fall, wenn eine Schicht auf ein Substrat epitaktisch aufwächst und die Gitterparameter von Schicht und Substrat unterschiedlich sind (unterschiedliche Materialien von Schicht und Substrat Heteroepitaxie). Dieser Fall tritt in der Optoelektronik häufig auf ('Einstellen' von Bandabstand bzw. dielektrischer Funktion). Dabei dürfen im aktiven Bereich eines Bauelements in der Regel keine Versetzungen liegen. Das liegt daran, dass in der deformierten Umgebung der Versetzung sich bevorzugt Punktdefekte ansammeln (Cottrell-Atmosphäre). Diese ändern lokal die elektrischen Eigenschaften, bewirken daher z.B. in Bereich eines pn-Übergangs eine Art Kurzschluss.

Ein interessanter Fall ist auch das System Si1-xGex auf Si (meist kurz geschrieben SiGe/Si). Durch einen relativen Gitterparameterunterschied von ca. 4% zwischen Ge und Si ist die Schicht verspannt. Diese Verspannung erhöht die Ladungsträgerbeweglichkeit und ermöglicht so schnellere Bauelemente (bei sonst vergleichbarem Aufbau) als reines Silizium. Auch hier gilt, dass Versetzungen im aktiven Bereich vermieden werden müssen. Daher ist es wichtig, bereits das Auftreten einzelner Versetzungen erfassen zu können. Eine technologisch noch attraktivere Variante wäre es, wenn durch hinreichend viele sogenannte Misfitversetzungen an der Grenzfläche zwischen SiGe und Si die SiGe-Schicht praktisch spannungsfrei gezüchtet werden könnte. Dann wäre eine darauf abgeschiedene Si-Schicht verspannt und hätte folglich eine hohe Ladungsträgerbeweglichkeit. Im weiteren würde dann die Si-Technologie ohne durch den Ge-Gehalt bedingte Probleme angewandt werden können. Auch in diesem Falle darf es im aktiven Bereich keine Versetzungen geben. Das Problem besteht bei SiGe/Si darin, dass die Ausbildung von Misfitversetzungen noch nicht hinreichend verstanden und daher auch nicht gut genug steuerbar ist. Untersuchungen zu der Ausbildung von Misfitversetzungen in SiGe/Si sind Gegenstand eines DFG-Projektes, das von der AG Röntgenbeugung bearbeitet wird. Aus diesem Projekt stammen auch die im vorliegenden Versuch untersuchten Proben.

5. Verwendete Geräte und Materialien

6. Aufgabenstellung


  1. Berechnen Sie für die charakteristische Kupfer-Kα1-Linie (8 keV) die Relation zwischen Dosis (1Gy=1 J/kg) und Photonenfluss (phot s-1 cm-2). Begründen Sie, wieso es eine gute Näherung ist, dafür die Absorption in Wasser zugrundezulegen. Überlegen Sie sich, worin der Unterschied in der Strahlenbelastung des Menschen bei 8 keV und bei medizinischen Röntgenuntersuchungen (ca. 30 bis 100 keV) bei gleicher Dosis liegt. Verwenden Sie für die Rechnung die Daten in den Arbeitsplatzunterlagen!

  2. Welchen Photonendosen (phot/cm2) entsprechen somit die maximal pro Jahr zulässigen Persondosen ?

  3. Überprüfen Sie mittels des Szintillationszählers, dass aus der Strahlenschutzbox tatsächlich keine unzulässige Strahlungsmenge austritt.

  4. Stellen Sie Kamera auf einen symmetrischen Reflex ein (004-Reflex). Legen Sie die Probe auf und bestimmen Sie den Fehlschnitt der Probe (nominell (001)-orientiert).

  5. Stellen Sie nun die Kamera auf den asymmetrischen (224)- oder (044)-Reflex (je nach verfügbarem Kollimatorkristall). Suchen Sie den Reflex und wechseln Sie danach den Szintillationsdetektor gegen die röntgenempfindliche CCD-Kamera aus. Wie würde das Bild aussehen, wenn nur die Kollimatorkrümmung oder nur die Neigung der Probe senkrecht zur Einfallsebene nicht korrekt justiert wäre ? Skizzieren Sie das Resultat Ihrer Überlegungen!

  6. Nehmen Sie eine Diffraktometerkurve auf und wiederholen Sie dies, nachdem Sie eine Lochblende mit ca. 2 mm Durchmesser vor den Detektor gesetzt haben. Entfernen Sie die Lochblende danach.

  7. Justieren Sie die Probe! Eine optimale Justage ist dann gegeben, wenn ein möglichst großer Teil der Probe die Braggbedingung erfüllt (das Bild weitgehend 'ausgeleuchtet' ist).

  8. Nehmen Sie wiederum eine Diffraktometerkurve auf. Diskutieren Sie die Unterschiede in den drei aufgenommenen Diffraktometerkurven.

  9. Begründen Sie, warum es möglich ist, Versetzungen in der Schicht auch im Substratreflex zu sehen und warum es günstiger ist, diesen zu benutzen. Welche Flanke des Substratreflexes ist die empfindlichere ? Sofern Sie die Vorlesung 'Röntgenkristalloptik' gehört haben: wieso ist der Rockingkurve des Subtratreflexes asymmetrisch ?

  10. Starten Sie die Belichtung eines Topogramms auf feinkörnigem Röntgenfilm. bzw auf einer Kernspurplatte.

Im Interesse des Versuchsablaufs werden wir für Sie diese Aufnahme entwickeln, so dass diese am nächsten Versuchstag Ihnen zur Verfügung steht.

  1. Machen Sie sich mit dem Digitalisierungsmeßplatz vertraut. Betrachten Sie zuerst Ihre Aufnahme mit dem Mikroskop und beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.

  2. Digitalisieren Sie mindestens zwei Topogrammausschnitte. Skalieren Sie die Aufnahmen mittels eines Okularmikrometers als Aufnahmeobjekt.

  3. Berechnen Sie die linearen Versetzungdichten für die beiden orthogonalen Linienrichtungen der Versetzungen in Ihren digitalisierten Topogrammausschnitten und berechnen Sie den zugehörigen Relaxationsgrad. Dazu ist es erforderlich, dass Sie sich eine Formel für den Relaxationsgrad überlegen, so dass (ρ ist die lineare Versetzungsdichte, σl die Spannung in der Schicht). Außerdem soll die effektive Komponente des Burgersvektors (siehe Skript) in der Rechnung sowie die Bündelung von Versetzungen (siehe Skript) in der Auswertung berücksichtigt werden.

7. Versuchsaufbau





Abb.1: Röntgentopographiekamera


Abb. 1 zeigt den äußeren Aufbau der Röntgentopographiekamera, Abb.2 den Strahlengang (schematisch). Nach erfolgreicher Justage liegen die Normalen der reflektierenden Netzebenen von Kollimatorkristall und Probe in einer Ebene und der Kollimatorkristall ist so gekrümmt, dass an der gekrümmten Probe (zu den Gründen der Krümmung siehe .....) die Braggbedingung auf einer möglichst großen Fläche erfüllt werden kann.

Mittels des Szintillationsdetektors kann man die gesamte an der Probe beim jeweiligen Einfallswinkel gebeugte Intensität messen (Zählen der Photonen pro Zeiteinheit im Reflex). Dieser Detektor wird für die Messung von sogenannten Diffraktometerkurven ('Rockingkurven') benutzt. Mit der röntgenempfindlichen CCD-Kamera kann man dagegen sehr gut die Intensitätsverteilung über die Probenfläche untersuchen. Diese soll bei der Justage benutzt werden, um den Einfluß der verschiedenen Einstellparameter zu untersuchen und um schließlich eine möglichst homogene 'Ausleuchtung' der Probe im Substratreflex zu erreichen.

Die Abmessungen in der Schemazeichnung Abb.2 sind nicht maßstäblich (vergl. Abbil­dungs­beschriftung). Der Strahlengang in der Kamera ist so durch das Kameragehäuse und diverse zusätzliche Maßnahmen so abgeschirmt, dass im wesentlichen nur der Nutzstrahl mit ca. 106 Photonen/(s.cm2) austreten kann.


Abb.2: Strahlengang in der Röntgentopographiekamera (schematisch)

a: ebener Kollimatorkristall - infolge der Probenkrümmung ist nur in einem schmalen Bereich die Braggbedingung erfüllt.

b: Kollimatorkrümmung an die Probenkrümmung angepasst - die Wellenfronten des Nutzstrahls sind so gekrümmt, dass die Braggbedingung über die gesamte Probe (falls homogen gekrümmt) erfüllt ist.

Dimensionen: Breite des Primärstrahls 0,8 mm bzw. des Nutzstrahls ca. 20 mm in der Beugungs­ebene, Abstand Quelle-Kollimatorkristall-Probe 400 mm und 500 mm, Länge des Kollimatorkristalls 60 mm (alle Angaben bzgl. Zeichnungsebene)


8. Grundlagen

8.1 Kristallgitter


Abb.3: Definition der Elementarzelle


Kristalle sind charakterisiert durch Translationssymmetrie mit den Basisvektoren , die die Elementarzelle aufspannen. Die Beträge der Basisvektoren bezeichnet man häufig als Gitter­konstanten. Im folgenden Text werden diese aber als Gitterparameter (engl.: 'lattice parameter') bezeichnet, da es sich nicht um echte Konstanten handelt.

Selbst Makromoleküle und Viren können Kristalle bilden, so daß eine Elementarzelle über 100000 Atome enthalten kann.


Abb.4: Bravaisgitter


Es gibt eine gewisse Wahlfreiheit bei der Festlegung der Elementarzelle (vgl. Abb.3). In der Ebene kann die Elementarzelle nur die Form eines Parallelogramms haben (oder eines regelmäßigen Sechsecks; dieser Fall läßt sich auf ein Parallelogramm zu den Zentren von vier benachbarten Sechsecken zurückführen). Alle anderen Flächen lassen keine Deckung einer Fläche mittels Translation zu.

Kristalle sind folglich durch Nah- und Fernordnung charakterisiert. Bei amorphen Stoffen gibt es zwar eine Nahordnung nächster Nachbarn, aber keine Fernordnung. Es gibt 'Zwischenformen', z.B. Flüssigkristalle (partielle Ordnung, z.B. Ausrichtung der Moleküle) und Quasikristalle (Fernordnung aber keine Translationssymmetrie, Penrose-Parkettierung).

Wie kann man nun aus einer bekannten Kristallstruktur die möglichen Netzebenen ermitteln?

Weg 1: primitives Gitter Ebene durch drei beliebige Atome


Abb.5: Zu den Millerschen Indizes


Bravaisgitter: gleichfalls, aber es ergeben sich keine neuen Netzebenen im Vergleich zum primitiven Gitter.

⇒ allgemein: eine Netzebene wird definiert durch Abschnitte von Vielfachen der Basisvektoren an den durch die Basisvektoren definierten Achsen.

Somit kennzeichnen Tripel von Zahlen die Lage von Netzebenen eindeutig. Offensichtlich bezeichnen und diesselbe Lage und sind insofern äquivalent. Aber die vorliegende Indizierung ist insofern ungünstig, als z.B. die durch Basisvektorenaufgespannte Seitenfläche einer Elementarzelle durch indiziert wird. Daher wählt man eine Indizierung mittels der Kehrwerte , wobei man verlangt, dass h, k, l ganzzahlig und teilerfremd sind Millersche Indizes.

Weg 2: Das Gitter ist dreidimensional periodisch 3D-Fourierentwicklung möglich von Eigenschaften wie Coulombpotential der Atome, Elektronendichte


Abb.6: Zur Gitterperiodizität


Hier liegen periodische Randbedingungen vor. Entlang einer Basisrichtungmuss jede der Funktio­nen, nach denen wir entwickeln, der Periodizität des Gitters entsprechen, es dürfen also genau 0, 1, 2, 3..... Perioden in einen solchen Basisvektor 'passen'. Damit der Fall 0 Perioden z.B. entlang der Basisvektorenmöglich ist, kann die Periodizität entlang des Basisvektors nur dann mittels einer Funktion beschrieben werden, wenn gilt (vgl. Abb.6). Genau eine Periode dieser Funktion 'paßt' in die Elementarzelle, wenn . Verträglich mit der Periodizität des Gitters ist daher jede periodische Funktion . Die Vektoren sind die Basisvektoren des reziproken Gitters. Zur klaren Unterscheidung nennt man die Vektoren oft auch Basisvektoren des direkten Gitters. Da das Volumen der Elementarzelle ergibt sich für die Basisvektoren des reziproken Gitters

mit

Das reziproke Gitter hat einen ähnlichen Aufbau wie das direkte Gitter, allerdings sind die durch beliebige Vektoren aufgespannten Punkte dieses Gitters i.a. nicht äquivalent. Vektoren des reziproken Gitters kann man direkt in reziproken Maßeinheiten z.B. in einem kartesischen Koordinatensystem aufschreiben. Meist bezieht man sich aber auf die Basisvektoren und schreibt . Die Notation steht für eine beliebige Richtung dieses Typs, also z.B. [-h,k,l] oder [k, h, l].

Wie hängen die Millerschen Indices mit den reziproken Gittervektoren zusammen ?

Schreiben wir zur Abkürzung für die Millerschen Indices hi, so sind Kanten der Dreiecke, mit denen wir die Netzebenen konstruiert hatten, gegeben durch Vektoren

so ist der Vektor immer senkrecht zu diesen Netzebenen. D.h. den Vektoren sind jeweils dazu senkrechte Netzebenen zugeordnet. Der jeweilige Netzebenenabstand ist . Gemäß der Definition der reziproken Gittervektoren sind deren Indices h, k, l nicht teilerfremd. D.h. die Millerschen Indices einer Netzebene sind , wobei m der größte gemeinsame ganzzahlige Faktor der Indices hi des zugeordneten reziproken Gittervektors ist. Für die Flächen schreibt man (hkl). Die Notation {hkl} bedeutet beliebige Flächen von diesem Typ.



8.2 Röntgenstrahlung


Abb.7: Typischer Aufbau von Röntgenröhren für medizinische Anwendung (links) bzw. Feinstrukturanalyse (rechts)


Abb.8: Spektrum einer Röntgenröhre mit Kupferanode bei 50 kV (nach Internat. Tables for Cryst., Vol. C, Kluwer Acad. Publ., S.74)


Heute sind Röntgenröhren im allgemeinen so aufgebaut, dass ein Elektronenstrahl auf eine, meist Wasser- oder luftgekühlte Metall-Anode (Wärmeleitung!) fokussiert wird. Die typischen Beschleunigungsspannungen liegen im Bereich 20 bis 60 kV (Röntgenbeugung), 40 bis 100 kV (Medizin) und über 100 keV (Materialprüfung). Röntgenstrahlung entsteht dabei sowohl durch die Abbremsung der Elektronen im Feld der Atome (Bremsstrahlung - Kontinuum bis zur Grenzenergie = Anregungsenergie) als auch durch die Anregung der Elektronen der Atome (charakteristische Strahlung - Linienspektrum mit Linienbreiten in der Größenordnung ).

Bei dem von Ihnen durchgeführten Experiment wird durch die Braggreflexion am Kollimatorkristall nur die CuKα1-Linie selektiert. Deren Breite entspricht , während der Abstand zwischen den Linien des Kα-Dubletts beträgt. Die Geometrie des Aufbaus muss also so gewählt werden, dass die Trennung dieser beiden Linien möglich ist.

8.3 Röntgenbeugung

W.L. Bragg leitete aufgrund des folgenden Gedankengangs die nach ihm benannte Gleichung ab:

Beugung 0. Ordnung in Reflexion = Spiegelung

⇒ Netzebenen des Kristalls wirken als Spiegel

⇒ Stapel von teildurchlässigen Spiegeln (Reflexionskoeffizient für Röntgenstrahlen 10-4)

Braggsche Gleichung (oft auch: 'Bragg-Gleichung', 'Braggbedingung')



Abb.9: Zur vektoriellen Form der Beugungsbedingung



Abb.10: Zur Braggschen Gleichung


Wichtig für die Beugung:

+ Forderung ist äquivalent mit der Bragg-Bedingung

Beweis:

Die Forderung (und damit auch die Bragg-Bedingung) berücksichtigt Brechung nicht und ist daher nur für die Röntgenbeugung eine brauchbare Näherung. Die Bedingung ist physikalisch der unmittelbare Ausdruck der Periodizität des Kristalls und somit für beliebige Strahlung korrekt (z.B. Halbleiterstrukturen mit Perioden im Bereich von einigen 100 nm als Braggreflektoren für Licht oder sogenannte 'photonische Kristalle', die dreidimensionale Strukturen mit Perioden von einigen 100 nm aufweisen).


Abb.11: Ewald-Konstruktion




Die geometrischen Konsequenzen der Bedingung im Rahmen der Näherung werden am besten mit der Ewald-Kugel veranschaulicht. Offensichtlich ist immer dann die Braggbedingung erfüllt, wenn ein reziproker Gitterpunkt genau auf der Ewaldkugel liegt.

Übrigens: Nur eine Kugel mit dem Radius 2k ist im reziproken Raum mittels Beugung zugänglich.

Von Reflexionskurve spricht man bzgl. der Messung der Intensität in Abhängigkeit vom Einfallswinkel einer monochromatischen, ebenen Welle im Bereich um den Braggwinkel (d.h. es handelt sich um eine theoretische Kurve). Dagegen bezeichnet man mit Rockingkurve (von engl. 'to rock' - schaukeln, wiegen) die reale Messkurve. Diese entspricht einer Faltung der Reflexionskurve mit einer Apparatekurve, die sowohl die endliche Divergenz des realen Nutzstrahls als auch dessen reale Wellenlängen-Bandbreite (Dispersionseffekt) berücksichtigt.

Der Einfluss einer gewissen Divergenz des Nutzstrahls ist sofort einsichtig. Der Effekt einer endlichen Wellenlängen-Bandbreite lässt sich aus der Differentiation der Braggschen Gleichung für den Fall ableiten:

.



Abb.12: Sogenannte (n, -m)-Anordnung)

Für die 'blaue' Wellenlänge sei an beiden Kristallen die Braggbedingung erfüllt. Ebenso ist am ersten Kristall die Braggbedingung für die 'rote' Wellenlänge erfüllt, allerdings bei einem anderen Braggwinkel. I.a. ist für die 'rote' Wellenlänge die Braggbedingung am zweiten Kristall nicht erfüllt, es sei denn .




Im allgemeinen Falle einer Geometrie gemäß Abb.12 kann für zwei Wellenlängen, die am Kollimatorkristall die Braggbedin­gung erfüllen ('roter' und 'blauer' Strahl in Abb.12) jeweils nur einer auch die Braggbedingung an der Probe erfüllen.

Im vorliegenden Experiment wurde allerdings ein Fall gemäß Abb.12 gewählt, bei dem , sich also für die Rockingkurve der Probe die Dispersionseffekte an Kollimatorkristall und Probe gerade kompensieren. Man spricht in diesem Fall von einer (n,-n)-Anordnung.

Anmerkung:

An jeder Netzebene wird ein gewisser Teil einer einfallenden ebenen Welle reflektiert. Dadurch und durch Absorption bzw. inelastische Streuung wird diese geschwächt. Daher nehmen de-facto nur endlich viele Netzebenen bis zu einer Tiefe t an der Reflexion teil. Bis auf geometrische Faktoren muss daher analog zu den Überlegungen zum Strichgitter gelten . D.h. je schwächer die Wechselwirkung, um so schmaler die Halbwertsbreite und um so genauer kann der Netzebenenabstand (bei bekannter Wellenlänge) vermessen werden. Aus diesem Grunde wird zur 'Vermessung' von Elementarzellen vor allem Röntgenstrahlung eingesetzt. Typische Werte der Eindringtiefe (alle Werte für 8 keV) liegen bei Werten um einige 10 µm (Absorption) bzw. um einige µm (durch Extinktion, d.h. bedingt durch Braggreflexion). Bedingt durch Extinktion liegen typische Halbwertsbreiten der Reflexionskurven bei wenigen 10-5 (Bogenmaß) bzw. wenigen Winkelsekunden.

Die Bedingunggilt auch bei Abweichung von der Braggbedingung, sie gilt aber prinzipiell nur im Inneren des Kristalls. Offensichtlich ist bei Gültigkeit dieser Bedingung eine Abweichung von der Braggbedingung nur möglich, wenn zugleich zugelassen wird, dass (Dispersion). Diese Aussagen gelten in gleicher Weise für die Elektronenbeugung.

Die sogenannte dynamische Theorie der Röntgen- bzw. Elektronenbeugung beschreibt die Beugung exakt und erklärt eine Reihe von überraschenden Effekten. Dazu gehört die anomal schwache Absorption (Absenkung auf wenige Prozent der normalen Absorption), Pendellösungen (Oszillation der Intensität zwischen durchgehendem und gebeugten Strahl), Interferenztotalreflexion (Totalreflexion nahe des Braggwinkels durch eine Bandlücke der Photonen- bzw. Elektronenbandstruktur), Interferenzdoppelbrechung (große Strahlwegänderung im Kristall bei kleinen Winkeländerungen im Außenraum usw.) und diverse Interferenzerscheinungen im Kristall, u.a. an Kristalldefekten. Diese dynamische Theorie wird in den Vorlesungen 'Röntgenkristalloptik' bzw. 'Elektronenbeugung' gelehrt.

Die kinematische Theorie der Röntgenbeugung vernachlässigt den Einfluß der Extinktion und kann die eben angeführten Effekte nicht erklären. Ist der Kristall oder Kristallit in mindestens einer Dimension in der Beugungsebene kleiner als die Extinktionslänge (Abklinglänge der einfallenden Strahlung aufgrund Extinktion), so ist diese Näherung anwendbar. Im Rahmen dieser Näherung ist die Amplitude der gebeugten Strahlung in Abhängigkeit vom Streuvektor (k: einfallende Welle; k': gebeugte Welle) gleich der Fouriertransformierten der Elektronendichte im Kristall. Näheres dazu bringt die Vorlesung 'Moderne Verfahren der Röntgenbeugung' und einiges auch der Versuch 'Röntgendiffraktometrie' im Fortgeschrittenen-Praktikum.

8.4 Röntgentopographie

Topologie bedeutet die Anordnung von Körpern im Raum, Topographie folglich die entsprechende Messung. Letzteres wird oft mit der Messung der Gestalt der Oberfläche gleichgesetzt. Im Zusammenhang mit der Röntgenbeugung bedeutet Topographie die Lokalisierung und Charakterisierung von Defekten im Kristallvolumen.

Dabei wird ausgenutzt, dass Defekte die Röntgenstrahlung nicht im gleichen Maße beugen wie die perfekten Kristallbereiche. Diese Unterschiede können zurückzuführen sein auf:

  1. Unterschiedliches Streuvermögen

z.B. schwerere oder leichtere Atome als das Wirtsgitter, man spricht vom 'Struktur­faktorkontrast'1.

  1. Lokale Gitterdrehung

z.B. in der Nähe einer Versetzung (vgl. folgendes Unterkapitel) ist das Gitter offensichtlich gegenüber dem Wirtsgitter lokal verkippt.

  1. Lokale Gitterparameteränderung

z.B. in der Nähe einer Versetzung, dabei ist der Gitterparameter im Falle einer Stufenversetzung senkrecht zur 'eingeschobenen Halbebene' auf der einen Seite (im Bereich dieser Halbebene) vermindert und auf der anderen Seite (außerhalb dieser Halbebene) erhöht.

  1. Phasensprung

z.B. an einem sogenannten Stapelfehler: Man kann sich den Kristall als eine geordnete Stapelung von Netzebenen vorstellen. Wird bei dieser Stapelung ein Fehler gemacht, ist der Kristall davor und danach perfekt, aber beide Teile sind nicht im 'Takt', sie sind zueinander um eine bestimmt Phase verschoben.

Die Kontrastmechanismen, die berücksichtigt werden müssen, hängen stark davon ab, wie der Nutzstrahl 'präpariert' wurde, also von seiner räumlichen Ausdehnung, Divergenz und Monochromasie. Diese Werte sind für die Vielzahl von Verfahren der Röntgentopographie sehr unterschiedlich. Hier soll daher nur ein einziges Verfahren (das auch im Versuch eingesetzt wird) näher erläutert werden, die Zweikristall-Topographie in Reflexions­geometrie.

Zweikristall-Topographie in Reflexionsgeometrie

Die Geometrie dieser Anordnung wurde bereits in Abb.12 schematisch gezeigt. Wie in der Skizze angedeutet, wird ein Schnitt des Kollimatorkristalls gewählt, bei dem für den gewählten Reflex die Netzebenen so schräg im Kristall liegen, dass die Braggbedingung bei einem kleinen Glanzwinkel zur Oberfläche erfüllt ist. Im konkreten Fall beträgt dieser Glanzwinkel 1,6°.

Um die Anordnung besser zu verstehen, stellen wir uns zuerst vor, die Quelle möge einen divergenten (realistisch), monochromatischen (Idealisierung) Primärstrahl erzeugen. Der flache Einfall (Glanzwinkel αi) und der steile Austritt (Glanzwinkel αe) führen hier zu einem großen Asymmetrieverhältnis von . Im symmetrischen Fallmöge die Halbwertsbreite der Reflexionskurve ωs betragen. Die dynamische Theorie zeigt nun, dass sich im gegebenen Fall die Halbwertsbreite auf der Eintrittsseite auf verändert und auf der Austrittsseite auf . Damit ist die Divergenz des Nutzstrahls hier um den Faktor 6 geringer als sie es im symmetrischen Fall wäre.

Wählen wir nun an der Probe einen Reflex mit dem gleichen Braggwinkel wie am Kollimatorkristall (trifft bei dem vorliegenden Versuch zu) ist die Braggbedingung an der Probe unabhängig von der Wellenlänge erfüllt, wie anhand von Abb.12 erläutert wurde. Wir können also im weiteren bei der obigen Idealisierung einer einfallenden monochromatischen Welle bleiben.

Genauere Betrachtung zeigt, dass diese Überlegung nur in einem gewissen Wellen­längenintervall korrekt ist. Im konkreten Fall selektieren wir durch eine Quellgröße von 0,8 mm und einen Spalt von 0,8 mm Breite vor dem Kollimatorkristall bei einem Abstand von 400 mm zwischen Quelle und Kollimator die CuK1-Linie mit , die Intensität der Bremsstrahlung ist aufgrund des gewählten 'Fensters' vernachlässigbar gering.

(Sie können anhand der Angaben in 8.2 und der differenzierten Braggbedingung überprüfen, ob die Topographiekamera das Dublett zuverlässig trennt)



Die Auflösung auf der Fotoplatte würde durch schrägen Einfall beeinträchtigt. Für eine möglichst unverzerrte Abbildung und nahezu senkrechten Einfall auf die Fotoplatte muss daher an der Probe eine Beugungsgeometrie gewählt werden, bei der der Reflex nahezu senkrecht aus der Probe austritt. Im gegebenen Falle hat die Probe eine 001-Oberfläche und wir wählen den (044)-Reflex. Der Beugungswinkel beträgt dabei 53,35°. Aufgrund eines Winkels der (011)-Ebene zur (001)-Oberfläche von 45° beträgt folglich der Einfallsglanzwinkel 8,35°. Die folgende Abb.13 zeigt die anhand der dynamischen Theorie der Röntgenbeugung berechnete Reflexionskurve der Probe, die austrittsseitige Reflexionskurve des Kollimators und die Faltung2beider Kurven. Mit der austrittsseitigen Reflexionskurve des Kollimators ist jene Reflexionskurve gemeint, die man bei Einstrahlung von der Probe her messen würde. Aufgrund des Reziprozitätssatzes der Optik entspricht das gerade der Durchlasskurve des Kollimators für eine monochromatische, divergente Quelle. Da wir, wie oben besprochen, Dispersion vernachlässigen können, entspricht die Faltungdann der theoretischen Erwartung für die Rockingkurve der Probe.





Abb.13: (n,-n)-Anordnung,

σ-polarisierte CuKα1-Strahlung, 440-Reflex, Einfallsglanzwinkel der Probe 18,08°.

Die Kurven sind (berechnet):

1: Reflexionskurve der Probe,

2: Rockingkurve (mit asymmetrischem Kollimator, Einfallsglanzwinkel: 1,5°)

3: Rockingkurve (mit Rinnenkollimator mit 2-fach Reflexion)

4: Reflexionskurve des asymmetrischen Kollimators

5: Reflexionskurve des Rinmenkollimators


Im Falle einer (n,-n)-Anordnung gemäß Abb.12 könnten wir nicht damit rechnen, dass die Braggbedingung auf der ganzen Probe erfüllt ist, da die Probe durch unterschiedliche Behandlung von Rückseite und Vorderseite (verspannte Schicht) leicht gekrümmt ist. Durch eine einstellbare, der Probenkrümmung entgegengesetzte Krümmung des Kollimatorkristalls (siehe Abb.2) wird dieser Effekt kompensiert - allerdings nur im Falle einer homogenen Krümmung der Probe. Durch verschiedene Einflüsse (z.B. Defektverteilung) ist das nur näherungsweise der Fall. Daher ist die gemessene Kurve immer etwas breiter als die theoretisch erwartete.

Wir wollen uns hier auf den einfachsten Kontrastmechanismus beschränken, der Näherung des lokal perfekten Kristalls. Diese trifft dann zu, wenn Beugungserscheinungen an den Defekten weitgehend vernachlässigt werden können. Genauere Überlegungen (dynamische Theorie der Röntgenbeugung) zeigen, dass dies dann der Fall ist, wenn in Reflexions­geometrie über Strecken gleich der Extinktionslänge die Braggbedingung sich nur um Beträge ändert, die sehr klein sind gegenüber der Halbwertsbreite der Reflexionskurve. Im Falle von Versetzungen ist diese Näherung nur ab ca. 1 Extinktionslänge Abstand vom Versetzungskern berechtigt. Dennoch ist diese Näherung ausreichend, um einen ersten Einblick zu erhalten:

Wie oben diskutiert, können wir eine Rockingkurve der Probe messen. Für das Topogramm stellen wir einen bestimmten Winkel ein, der während der Aufnahme des Topogramms festgehalten wird. Wir wählen also einen entsprechenden bestimmen Arbeitspunkt auf der Rockingkurve. Dieser ist ein mittlerer Arbeitspunkt, da wir bei der Messung über die Probe mitteln. Im Rahmen der Näherung des lokal perfekten Kristalls können wir die Störung des Kristallgitters als lokale Abweichung von der Braggbedingung diskutieren. Setzen wir den mittleren Arbeitspunkt auf eine der Flanken der Rockingkurven, 'laufen' die lokalen Arbeitspunkte in der Nähe des mittleren 'herauf' bzw. 'herunter', d.h. Versetzungen erzeugen einen Kontrast gegenüber der mittleren Schwärzung auf der Fotoplatte. Offensichtlich ist der Kontrast um so stärker, je steiler die Flanke ist. Das ist wichtig für die Auswahl des mittleren Arbeitspunktes.

Implizit habe wir in den vorangehenden Absätzen vorausgesetzt, dass von den zu Anfang aufgeführten 4 Kontrastursachen nur 2. und 3. eine Rolle spielen. Im Rahmen der betrachteten Näherung ist das sinnvoll. Erfasst man die Deformation um einen Defekt mittels des Verschiebungsfeldes3 , das die Verschiebung der Atome des gestörten Kristalls im Vergleich zu einem Idealkristall beschreibt, so ist die lokale Abweichung von der mittleren Braggbedingung(dabei ist die Komponente von in Richtung des Beugungsvektorsunddessen Richtungsvektor). Diese Abweichung δ enthält sowohl einen Anteil von der lokalen Gitterdrehung als auch von der lokalen Gitterparameteränderung.


8.5 Verspannte Schichten, plastische Relaxation, Versetzungen

Verspannte Schichten

Schichten werden in einem riesigen Anwendungsbereich eingesetzt (siehe dazu auch die Vorlesung 'Grundlagen der Materialsysteme'). Kristalline Schichten spielen dabei eine wichtige Rolle, insbesondere in der Mikro- und Optoelektronik.


Abb.14: Aufbau eines Halbleiter-Streifenlasers (schematisch)


Bei den Bauelemente der Elektronik ging es zu Anfang darum, durch Materialauswahl bestimmte Parameter einzustellen. Ein Beispiel dafür sind Halbleiterlaser. Den prinzipiellen Aufbau eines einfachen Halbleiter-Streifenlasers ((Ga,Al)As/GaAs) zeigt Abb.14. Das Material der dünnen aktiven Schicht ist so gewählt, dass entsprechend der gewünschten Laser-Wellenlänge ein bestimmter Bandabstand vorliegt. Die Laserschwelle liegt nur dann bei praktisch zugänglichen Werten, wenn man dafür sorgt, dass das Licht weitgehend in diesem aktiven Bereich gehalten wird. Eine wesentliche Maßnahme dafür ist die Einbettung der aktiven Schicht in Schichten mit geringerem Brechungsindex ('optical confinement'), d.h. ein erheblicher Teil des Lichtes wird an der Grenzfläche in die aktive Schicht zurückreflektiert, die aktive Schicht ist ein planarer Lichtwellenleiter4.


Abb.15: Pseudomorph aufgewachsene Schicht


Offensichtlich kann man diese Effekte nicht mit einem einzigen Material erreichen. Dazu kommt noch, dass der aktive Bereich sehr defektarm sein muss. Das kann man nur erreichen, wenn die kristalline Schicht auf einem möglichst perfekten Kristall-Substrat epitaktisch aufwächst. Nur wenige Materialen stehen als hinreichend perfekte Substrate zur Verfügung. 'Epitaktisch' bedeutet, dass die Elementarzellen der Schicht auf jene des Substrats (oder anderer, bereits abgeschiedener Schichten) 'aufgepasst' werden, d.h. das Substrat zwingt der Schicht seinen lateralen Gitterparameter auf (siehe Abb.15). Ein solches epitaktisches Wachstum ist bis zu Gitterparameterunterschieden von ca. 10% möglich. Natürlich kann dann die Schicht je nach Gitterparameterunterschied unter erheblicher Spannung stehen. Das Substrat ist üblicherweise sehr viel dicker als alle darauf abgeschiedenen Schichten zusammengenommen. Daher wird das Substrat zwar durch die verspannten Schichten etwas verkrümmt, aber das ist ein vergleichsweise kleiner Effekt. In guter Näherung kann man davon ausgehen, dass sich der Gitterparameter des Substrats bei der Epitaxie nicht ändert.

Inzwischen hat man auch gelernt, die Schichtabmessungen5 und -spannungen gezielt zur Veränderung der Eigenschaften einzusetzen. Ein Beispiel für den gezielten Einsatz von Spannungen ist das System SiGe/Si (wie man häufig abgekürzt für Si1-xGex auf Si-Substrat schreibt). In verspanntem Silizium steigt die Elektronenbeweglichkeit, d.h. es wird möglich, schnellere Bauelemente herzustellen. Am einfachsten lässt sich diese Verspannung erzielen, indem man Silizium mit Germanium legiert. Silizium ist mit Germanium in beliebigen Verhältnissen mischbar und der Gitterparameter von Ge ist um rund 4% größer als jener von Si. Durch die Beimengung von Ge ändert sich auch der Bandabstand. Bei den für derartige Bauelemente üblichen Germaniumgehalten um x=0,25 dominiert aber der Effekt der Verspannung.

Da vor allem der Gitterparameter-Unterschied interessiert, gibt man üblicherweise den Misfit (das deutsche Wort 'Fehlpassung' wird nur selten benutzt) an. Dabei ist as der Gitterparameter des Substrats undder Gitterparameter der relaxierten Schicht, also einer Schicht der gleichen Zusammensetzung, die keinerlei Zwang durch das Substrat unterliegt. Die angegebene Definition für f macht nur für kubische Materialien Sinn und setzt weiter voraus, dass äquivalente Netzebenen von Schicht und Substrat verwachsen. Auf diesen Fall wollen wir uns hier beschränken. Er entspricht den Bedingungen des vorliegenden Experiments und ist überdies bei Halbleitermaterialien ein typischer Fall.

Plastische Relaxation

(für diese Betrachtung gehen wir von einer einzigen Schicht auf einem Substrat aus)


Abb.16: Relaxiert aufgewachsene Schicht


In einer verspannten Schicht wird elastische Energie gespeichert. Diese steigt linear mit der Dicke der Schicht. Könnte man in die Schicht ab und zu eine Halbebene senkrecht zur Schicht einfügen (Misfit f<0) bzw. eine solche Halbebene in der Schicht weglassen (f>0) - siehe Abb.16 - würde die starre Ankopplung an das Substrat im Mittel abgebaut oder ganz aufgehoben (Abb.16). Der Preis dafür ist offensichtlich, dass das Gitter in der Umgebung der Kante der eingeschobenen Halbebene (bei f>0 könnte man die fortgelassene Halbebene auch als in das Substrat eingeschobene Halbebene beschreiben) stark deformiert wird.


Abb.17: Stufenversetzung - verschiedene eingeschobene Halbebenen generieren dieselbe Defektstruktur


Eine solche Kante einer Halbebene bezeichnet man als Versetzung. Wie im nächsten Abschnitt ausgeführt wird, handelt es sich dabei um eine sogenannte Stufenversetzung. Tatsächlich macht es Sinn, die Kantenlinie und die durch die Halbebene hervorgerufene Gitterverschiebung (Burgersvektor - siehe nächster Abschnitt) als Charakteristikum der gegebenen Störung heranzuziehen, denn wie Abb.17 zeigt, kann man mit unterschiedlichen eingeschobenen Halbebenen denselben Effekt erzielen. Es handelt sich also bei der Versetzung um einen linearen Defekt.


Abb.18: Energie pro Fläche verursacht durch elastische Verspannung bzw. Versetzungen in Abhängigkeit von der Schichtdicke (vereinfacht)


Ohne Versetzungen gilt für die Gitterparameter parallel zur Grenzfläche . Fügen wir an der Grenzfläche zwischen Schicht und Substrat Versetzungen (passend zum Vorzeichen von f) senkrecht zur Zeichenebene ein, so gilt vorerst mit steigender Zahl von Versetzungen bis schließlich bei einer bestimmten Zahl von Versetzungen gilt . In der Zeichenebene ist somit die Schicht relaxiert. Wiederholen wir das ganze senkrecht zur Zeichenebene, so ist die Schicht insgesamt relaxiert. Die Zahl der Versetzungen pro Längeneinheit bezeichnet man als lineare Versetzungsdichte ρ. Nennen wir die lineare Versetzungsdichte bei Erreichen der vollständigen Relaxation ρrel und berechnen die Gesamtlänge aller Versetzungen pro Längeneinheit, so erhalten wir 2ρrel. Es leuchtet ein, dass die Deformation rings um die Versetzungslinie einer bestimmten Deformationsenergie pro Längeneinheit einer Versetzung entspricht, man spricht von der Länge proportionalen Versetzungsenergie.

Vergleicht man nun die Deformationsenergie einer versetzungsfreien Schicht mit jener einer durch Versetzungen relaxierten Schicht, so ergibt sich eine Relation gemäß Abb.18. D.h. für eine vollständige Relaxation ist eine von der Schichtdicke unabhängige6 Energie pro Fläche erforderlich, während ohne Versetzungen die Deformationsenergie linear mit der Dicke ansteigt. Unterhalb einer kritischen Schichtdicke dc ist es energetisch vorteilhaft, die Schicht ohne Versetzungen wachsen zu lassen (pseudomorphes Wachstum), oberhalb ist es dagegen energetisch vorteilhaft Versetzungen einzubauen.

Die durch Versetzungen verursachte Relaxation bezeichnet man als plastische Relaxation7 in Analogie zur plastischen Deformation.

Versetzungen

Im Hinblick auf die oben erläuterte Tatsache, dass verschiedene eingeschobene Halbebenen denselben Defekt generieren, ist eine Beschreibung erforderlich, die sich explizit auf diesen Defekt bezieht. Das leistet der sogenannte Burgersvektor. Dieser ist über den Burgersumlauf gemäß Abb.19 definiert8, der um eine Versetzungslinie innerhalb des (bezüglich der Nahordnung) perfekten geordneten Materials erfolgt.


Abb.19: Burgersumlauf nach der sogenannten SF/RH-Konvention:

Im perfekten Kristall erfolgt ein vollständiger Umlauf Start 1 2 3 Finish, d.h. S und F fallen zusammen. Ein entsprechen­der Umlauf im imperfekten Kristall (durch 'Abzählen') ergibt von S nach F den 'Restvektor' b, den Burgersvektor. Right Hand (RH) bezieht sich auf den Umlaufsinn bezüglich einer in die Zeichenebene zeigenden Richtung der Versetzungs­linie


In Abb.19 ist der Umlauf für eine Stufenversetzung gezeichnet, d.h. der Burgersvektor ist senkrecht zur Linienrichtung. Der Burgersvektor kann aber auch parallel zur Linienrichtung liegen, dann spricht man von einer Schraubenversetzung, weil die senkrecht zur Linien­richtung liegende Netzebene sich schraubenartig um die Versetzungslinie 'windet'.

Recht häufig treten gemischte Versetzungstypen auf, d.h. der Burgersvektor hat einen von 0° bzw. von 90° verschiedenen Winkel zur Linienrichtung. Typisch für die Zinkblendestruktur sind aus energetischen Gründen Versetzungen mit einem Winkel von 60° zwischen Linienrichtung und Burgersvektor. Ausschließlich dieser Versetzungstyp tritt bei den von uns untersuchten SiGe/Si-Proben als Misfitversetzung auf.

Offensichtlich ist es anhand der bisher erwähnten Konventionen nicht möglich, den Richtungssinn einer Versetzungslinie festzulegen. Je nach Wahl dieses Richtungssinns ändert sich auch der Richtungssinn des Burgersvektors. Ist aber erst einmal der Richtungssinn der Versetzungslinie definiert, folgt automatisch, dass sich der Burgersvektor entlang einer isolierten. einzelnen Versetzung nicht ändern kann und dass die Versetzungslinie nicht im Inneren eines Kristalls enden kann. Ändern kann sich dagegen der Charakter einer Versetzung. Knickt z.B. eine Stufenversetzung senkrecht in Richtung des Burgesvektors ab, verwandelt sie sich in eine Schraubenversetzung.

Versetzungen bewegen sich unter dem Einfluss von Scherkräften wie in Abb.20 schematisch am Beispiel einer Stufenversetzung dargestellt. Das Gleiten der Versetzungen führt zu einer plastischen Deformation des Kristalls.


Abb.20: Plastische Deformation eines Kristalls unter der Wirkung einer Scherkraft am Beispiel einer Stufenversetzung


Die Versetzung kann nur innerhalb einer Ebene gleiten, die Versetzungslinie und Burgersvektor enthält. Das ist die sogenannte Gleitebene. Im Falle der Zinkblende- und der Diamantstruktur sind die dicht gepackten {111}-Ebenen die bevorzugten Gleitebenen. Aus strukturellen und energetischen Gründen treten nur Burgersvektoren auf (a ist der kubische Gitterparameter).

Ursprünglich ist der Kristall samt Schicht versetzungsfrei. Die Misfitversetzungen gelangen durch Gleiten an die Grenzfläche. Am häufigsten (das ist auch der Fall, den wir hier untersuchen) wird bei der Epitaxie eine (001)-Oberfläche eingesetzt. Zu dieser sind die {111}-Ebenen geneigt und die Schnittlinien sind -Richtungen. Folglich müssen die Versetzungslinien entlang der beiden in der (001)-Ebene möglichen-Richtungen liegen. Eine weitere Folge ist, dass Burgersvektoren in der (001)-Ebene nicht in Frage kommen, denn dies würde einer (001)-Gleitebene entsprechen, die es nicht gibt. Rein geometrisch denkbar wären Burgersvektoren in der (001)-Ebene parallel zur Linienrichtung. Derartige Schraubenversetzungen tragen aber nicht zur Relaxation der Schicht bei (siehe nächster Absatz), treten daher aus energetischen Gründen nicht auf.

Die Burgersvektor-Komponenten senkrecht zur Grenzfläche führt zu einer lokalen Kippung der Schicht relativ zum Substrat um die Versetzungslinie (als Drehachse) und die Komponente parallel zur Linienrichtung (Schraubenkomponente) führt zu einer lokalen Drehung des Schichtgitters relativ zum Substratgitter um eine Achse parallel zur Grenzflächennormale. Folglich trägt zur Relaxation der Schichtspannung nur jene Komponente beff des Burgersvektors bei, die innerhalb der Grenzfläche und senkrecht zur Versetzungslinie liegt.

Bei näherer Untersuchung zeigt sich, dass im Falle des untersuchten Systems SiGe/Si nur dann Misfitversetzungen auftreten (jedenfalls unter den bei uns vorliegenden Bedingungen), wenn bereits während des Wachstums Defekte in die Schicht eingebaut wurden. Deren Charakter ist bislang unbekannt. Jedoch erweist sich, dass diese Defekte unterschiedlich 'stark' sind. Damit ist gemeint, dass diese Defekte jeweils die Bildung einer unterschiedlichen Zahl von Misfitversetzungen auslösen können. Die von einem Defekt ausgelösten Versetzungen liegen so dicht, dass sie im Röntgentopogramm nicht mehr voneinander getrennt nachgewiesen werden können. Die im Topogramm beobachteten Linien entsprechen daher in der Regel nicht Einzelversetzungen sondern Versetzungsbündeln. Bei den zur Zeit untersuchten Proben finden sich in einem Bündel typischerweise 10-20 Versetzungen.

Bei der Auswertung der Röntgentopogramme können Sie von dieser Zahl von Versetzungen in einem Bündel ausgehen. Berücksichtigen Sie bitte noch in gewissem Grade die unterschiedliche Stärke der Kontraste dieser Bündel. Unvermeidlich ergeben sich so beträchtliche Fehler bei der Abschätzung der Versetzungsdichte. Die Auswertung soll Ihnen vor allem davon einen Einduck vermitteln, dass bereits sehr geringe Relaxationsgrade mittels Röntgentopographie nachgewiesen werden können.

1 Näheres zum Strukturfaktor im Versuch 'Röntgendiffraktometrie' des Fortschrittenenpraktikums bzw. in den Vorlesungen 'Röntgenkristalloptik', 'Moderne Verfahren der Röntgenbeugung', 'Elektronenbeugung' und 'Elektronenmikroskopie'.

2 Genaugenommen ist das die Faltung vonmit

3Eigentlich ist das ein diskretes 'Feld', interpoliert man aber in geeigneter Weise zwischen den Atomen, kommt man zu einem regulären, d.h. differenzierbaren Feld. Das kann dann im Rahmen der Kontinuums-Elastizitätstheorie behandelt werden. So wird in der Regel vorgegangen.

4Im gegebene Zusammenhang nicht von Belang, aber vielleicht von Interesse:

Die Oberfläche ist mit einer Isolatorschicht abgedeckt, in die streifenförmige Fenster geätzt sind. Durch diese Fenster wird diffundiert (hier Zn) um dicht an der aktiven Schicht einen pn-Übergang zu erzeugen. Zugleich wird im diffundierten Bereich die Leitfähigkeit des Materials erhöht. Dadurch erreicht man, dass eine elektrische Anregung nur in diesem Streifen erfolgt ('electrical confinement'). Schließlich wird ausgenutzt, dass GaAs (Zinkblendestruktur) sehr gut entlang von {110}-Flächen spaltet. Die Streifen sind entlang einer <110>-Richtung orientiert und werden von zwei solche Spaltflächen entlang der dazu senkrechten {110}-Flächen begrenzt, die als Spiegel wirken ( Resonator). Die elektrische Anregung erfolgt über den Strom in Durchlassrichtung des pn-Übergangs ( Rekombination von Elektron-Loch-Paaren).

5Unterhalb von Abmessungen, die bei der de-Broglie-Wellenlänge der Leitungsbandelektronen liegen, setzen Quanteneffekte ein, die die Eigenschaften ganz entscheidend verändern.

6Das ist eigentlich nicht korrekt. Es würde hier aber zu weit führen, dies näher auszuführen. Eine genauere Rechnung ändert nichts an dem generellen Bild, das hier entworfen wird.

7Außer der plastischen Relaxation mittels Versetzungen gibt es noch weitere Möglichkeiten. Bei Metallen und Halbleitern dominiert allerdings unter üblichen Voraussetzungen der Versetzungsmechanismus.

8Leider gibt es in der Literatur etwas unterschiedliche Definitionen. Die hier wiedergegebene orientiert sich an Hirth und Lothe, Theory of Dislocations, 2nd Ed., Krieger Publishing Comp. Florida 1992. Damit ist eine Konvention gewählt, die jener der Kontinuumstheorie der Versetzungen entspricht.