Gittermodelle und Ihre Motivation

Prominentestes Beispiel: Ferromagnetismus. Magnetmoment des Elektrons

$$\mathbf{\mu }=-g\mu _{B}\mathbf{s}$$

$\mathbf{s}$ - Spinvariable ($s_{z}=\pm 1/2$), $g$ - Landé-Faktor, $\mu _{B}=e\hbar /2mc$ - Bohrsches Magneton. Der Modell-Hämiltonian eines Spinsystems:

$$H=-2\sum_{i,j}\mathbf{J}_{ij}\mathbf{s}_{i}\mathbf{s}_{j}-g\mu _{B}\mathbf{H}% \sum_{i}\mathbf{s}_{i}$$

($\mathbf{H}$ - Magnetfeld, gibt $z$-Richtung vor). $J_{ij}$ - Austauschintegral

$$J_{i,j}^{\alpha ,\beta }=\int d\mathbf{r}_{1}d\mathbf{r}_{2}... ...pha ,\beta }\psi _{j}(\mathbf{r}_{1})\psi _{i}(\mathbf{r}_{2})$$

($i,j$ numerieren die Atome, $\alpha ,\beta$ - die Koordinatenkomponenten; $% u_{i,j}$ ist die effektive Wechselwirkung, dieses effektive Potential zeigt einen Coulomb-artigen Abfall), so dass $J_{ij}=J_{ji}$, $J_{ii}=0$. $J_{ij}$ fällt sehr schnell mit dem Abstand zwischen den Atome ab, man kann oft annehmen, dass $J_{ij}\neq 0$ nur wenn entsprechende Atome nächste Nachbarn im Kristallgitter sind.

Wenn die Wechselwirkung isotrop ist, entspricht unser Hamiltonian den HEISENBERG-Modell (gutes Modell für magletische Isolatoren, sieh nolting, §4.3.6.).

Wenn $x$- und $y$-komponenten der WW verhachlässigt werden können, folgt dann

$$H=-2\sum_{i,j}J_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z}-g\mu _{B}H_{z}\sum_{i}s_{i}^{z}.$$

In diesem Fall spielen die Kommutationseigenschaften der Spin $\sigma$-Matrizen keine Rolle, das Modell ist im Grunde genommen klassisch. Diese Form des Hamilton-Operators definiert das ISING-Modell (W. Lenz, 1920, E. Ising, 1925), das erfolgreichste Modell der statistischen Physik überhaupt! Das ist ein vernünftiges Modell für stark anisotrope Ferro- oder Antiferromagneten:

$J_{ij}>0$: Zustand $\uparrow \uparrow$ wird bevorzugt (eventuel Ferromagnetismus)

$J_{ij}>0$: Zustand $\uparrow \downarrow$ wird bevorzugt (eventuel Antiferromagnetismus)

Wenn die $z$-Komponente der WW vernachlässigt wird, und die $x$- und $y$-komponenten anisotrope Beiträge zu $H$ liefern, folgt

$$H=-2\sum_{i,j}J_{ij}\left[ \left( 1+\eta _{ij}\right) s_{i}^... ...^{x}+\left( 1-\eta _{ij}\right) s_{i}^{y}s_{j}^{y}\right] -...$$

($\eta$ beschreibt die Stärke der Anisotropie). Das ist das XY-Modell (keine unmittelbare experimenelle Entsprechung, aber von theoretischen Interesse). In weiterem betrachten wir nur klassische Modelle.