Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(27. und 29.10.1998)

Mathematik und Maßeinheiten

1. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen:

2. Lösen sie die folgenden Integrale:

3. Zu den Maßeinheiten:

a) Wieviel m³ sind 2 mm³ ?

b) Man gebe den Winkel in Grad an.

Wichtig !!!

Wenn Sie diese ersten Aufgaben zur Zeit noch nicht lösen können, müssen Sie den Stoff (Schulstoff) sofort nacharbeiten. Anderenfalls werden Sie dieser Vorlesung nicht folgen können.

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(03. und 05.11.1998)

Mathematik

4. Wie groß muß bei einer zylindrischen Konservendose (mit Deckel) die Höhe zum Durchmesser verhalten, damit bei gegebenem Volumen möglichst wenig Blech verbraucht wird?

5. Um welchen Betrag verringert sich die Dicke eines Autoreifens (in µm) auf einer Fahrstrecke von 1 km?

Wir nehmen an, daß die Dicke des neuen Autoreifens etwa 1 cm beträgt. Da die Reifen nach etwa 60 000 km ersetzt werden müssen, nehmen wir weiter an, daß der Gummi nach 60 000 km vollständig abgerieben ist.

Fehlerrechnung

6. Von einer Kugel werden der Radius r=(4,32+/-0,02) cm und die Masse m=(835+/-5) g gemessen. Wie groß ist die Dichte des homogenen Materials =m/V (V=Volumen) und der absolute (und relative) Fehler, mit dem sie durch die Messung bestimmt wird? (Sinnvoll runden!)

7. Bei der wiederholten Einstellung eines Helligkeitsminimums ergeben sich folgende Winkelablesungen: 9,0; 9,5; 10,0; 10,0; 11,0; 11,0; 11,5; 12,0; 12,5; 13,5.

Wie groß sind Mittelwert und Standardabweichung für die Einzelmessung und _m für den Mittelwert?

Vektorrechnung

8. Gegeben sind die Vektoren .

Bestimmen Sie

a) die Richtungswinkel _i von ,

b) das Skalarprodukt ,

c) den Winkel zwischen und ,

d) das Vektorprodukt .

6. Die Zählrate pro Minute wird an einem radioaktiven Präparat gemessen. Es ergibt sich bei

a) einer Messung N=817

b) 10 Messungen 790,8

c) 60 Messungen (1 Stunde) 796,8

d) 1440 Messungen (1 Tag) 798,2.

Man gebe die Standardabweichung des jeweiligen Ergebnisses an.

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(10. und 12.11.1998)

Vektorrechnung

9. Bestimmen Sie den Einheitsvektor in Richtung der Summe der Vektoren

und .

10. Gegeben sind die Vektoren und .

Wie groß ist zu wählen, wenn

a) und

b) sein soll?

Kinematik

11. Ein Aufzug bewegt sich so, daß seine Beschleunigung linear mit der Zeit anwächst. Beim Start seien seine Geschwindigkeit und Beschleunigung Null.

a) Wie hängen Geschwindigkeit und Weg von der Zeit ab?

b) Wie groß sind Geschwindigkeit v₁ und Beschleunigung a₁ nach t₁=10 s, wenn er während dieser Zeit den Weg x₁=30 m zurückgelegt hat?

12. Die Beschleunigung eines Körpers, der sich auf einer Geraden bewegt, sei gegeben durch a=-kv (k: Konstante). Geben Sie v(t), x(t) und v(x) an und skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktionen.

(Anfangsbedingungen zur Zeit t=0: v=v_o, x=x_o)

13. Mit einem Kinderspielzeug wird ein Plastikball mit einer Geschwindigkeit v_0,1=10m/s vom Boden aus senkrecht an einer Hauswand nach oben katapultiert, so daß er gerade die Balkonhöhe b erreicht (siehe Rückseite). Gleichzeitig wird aus Höhe b ein zweiter Ball mit der Geschwindigkeit v_0,2=2m/s nach unten geworfen.

Nach welcher Zeit und in welcher Höhe z über dem Boden und mit welchen Geschwindigkeiten v₁(t) und v₂(t) treffen sich die Bälle?

14. Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit v und die Umlaufzeit eines Satteliten, der die Erde in einer Höhe h = 500 km umkreist (g(500km)=8.4 m/s², R_E=6400 km).

Welcher Flughöhe entspricht die geostationäre Bahn (Umlaufzeit=24h).

15. Schiefer Wurf

Von einem 10 m hohen Turm wird unter dem Winkel =37 zur Horizontalen ein Ball mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀=16.35 m/s geworfen (siehe Rückseite).

a) Nach welcher Zeit erreicht der Ball den höchsten Punkt der Wurfbahn?

b) Welche Höhe über dem Boden erreicht der Ball?

c) Bestimmen Sie die Flugzeit und die Wurfweite.

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(17. und 19.11.1998)

Vektorrechnung

16. Zeigen Sie, daß gilt

(a - b) x (a + b) = 2 a x b

Kinematik

17. Ein Stein fällt aus einem mit der Geschwindigkeit v₀ = 12 m/s senkrecht aufsteigenden Ballon.

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Steines nach 10 s .

b) Berechnen Sie den in 10 s von dem Stein zurückgelegten Weg.

c) Lösen Sie die Aufgabe für einen mit der gleichen Geschwindigkeit sinkenden Ballon.

18. Ein Auto fahre um eine Kurve, deren Radius 30 m beträgt. Das Profil der Reifen des Wagens ist noch in dem Zustand, daß es eine Zentripetalbeschleunigung von a_N = 5 m/s² maximal zuläßt. Mit welcher maximalen Geschwindigkeit kann das Auto die Kurve durchfahren?

19. In der Abbildung auf der Rückseite bewegen sich Teilchen entgegen dem Uhrzeigersinn auf Kreisbahnen mit einem Radius von 5 m. Ihre Geschwindigkeiten können dabei variieren. die Beschleunigungsvektoren zu bestimmten Zeitpunkten sind eingezeichnet, und ihre Beträge sind angegeben.

Bestimmen Sie die Beträge von v und dv/dt zu jeder dieser drei Zeiten.

Statisches Gleichgewicht

20. An einem homogenen Stab soll neben den drei eingezeichneten Kräften F_1,2,3 eine weitere Kraft F₄ so angreifen, daß der Stab im statischen Gleichgewicht bleibt. Bestimmen Sie die Richtung, den Betrag und den Angriffspunkt dieser Kraft am Stab.

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Wintersemester 1998/99

(24. und 26.11.1998)

Statisches Gleichgewicht

21. Bestimmen Sie die in der angebildeten Anordnung auftretenden Kräfte in den Seilen a und b.

22. Ein Block der Masse 10 kg wird auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel = 30) von einer Feder gehalten. Wie weit ist die Feder gedehnt, wenn ihre Federkonstante

D = 500 Nm^-1 beträgt? Die Reibungskräfte seien vernachlässigbar.

23. Bestimmen Sie den Massenmittelpunkt der Teilchen, die wie in der Abbildung gezeigt angeordnet sind. Die Werte für die Massen sind m₁= 5 kg, m₂ = 30 kg, m₃ = 20 kg und m₄ = 15 kg. Die Seite jedes Raster-Quadrates ist 5 cm.

Reibung

24. Block B besitzt die Masse m = 16 kg. Der Reibungskoeffizient Block/Tisch sei 0,25. Bestimmen Sie die größte Masse A, für die sich das System im Gleichgewicht befindet.(Haftreibungskraft F_HR = Gewichtskraft F_N)

25. Ein Wagen fahre mit 30 m/s eine horizontale Straße entlang. Die Reibungszahlen zwischen der Straße und den Reifen seien =0,5 (Haftreibung) und =0,3 (Gleitreibung). Wie weit fährt der Wagen noch, wenn er so stark abgebremst wird, daß a) die Reifen gerade noch drehen und b) die Räder blockieren?

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Wintersemester 1998/99

(01. und 03.12.1998)

Reibung

26. Ein Wagen fahre auf einer horizontalen Straße im Kreis, wobei der Kreisradius 30m betrage, die Haftreibungszahl sei =0,6. Wie schnell kann der Wagen fahren, ohne seitlich wegzurutschen?

27. Eine Kurve mit dem Radius von 30m sei um den Winkel überhöht. Für welchen Wert von kann ein Wagen die Kurve mit 40km/h durchfahren, ohne hinausgetragen zu werden?

Dynamik

28. Über einem Rad auf einer Achse hängt ein masseloses Seil, an dessen Enden die Massen m₁ und m₂ befestigt sind. Berechnen Sie die auf die Massen wirkende Beschleunigung und die Spannung (=Kraft) im Seil.

29. Ein Körper der Masse m ist über eine Feder mit der Federkonstante D an der Decke befestigt. Nach Auslenken um die Strecke x₀ wird die Masse losgelassen und die (ungedämpfte) Schwingung beobachtet.

Geben Sie die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung a(t) an. Wie lautet die Schwingungsfrequenz = / (2) ? Stellen Sie dafür die Bewegungsgleichung auf (eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung), und versuchen Sie als Lösung den Ansatz x(t) = x₀ cos (t ).

Zeichnen Sie Funktionen x(t), v(t) und a(t). Welches Experiment würden Sie beschreiben, wenn Sie als Lösungsansatz x(t) = x₀ sin (t ) gewählt hätten?

30. Diskutieren Sie, indem Sie analog einen Lösungsweg wie in Aufgabe 29 wählen, die angenähert harmonische Schwingung eines ungedämpften Fadenpendels (mathematisches Pendel). Wovon hängt = / (2) in diesem Fall ab?

(Angenähert harmonisch bedeutet, daß Sie ansetzen: s = l/, mit s = Auslenkung, l = Pendellänge, = Auslenkungswinkel. Dieses ist für kleine Auslenkungen gültig).

Arbeit und Energie

31. Ein Flugzeug (m=60000 kg) setzt mit einer Geschwindigkeit von v₁=200 km/h auf der Rollbahn auf. Nun wirkt ein konstanter Bremsschub von F=10⁵ N. Welchen Weg legt das Flugzeug auf der Rollbahn zurück, bis es auf v₂=80 km/h abgebremst ist?

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(08. und 10.12.1998)

Arbeit und Energie

32. Eine vertikal hängende Schraubenfeder wird durch eine daran hängende Masse von 1 kg um x₁ = 2 cm gedehnt. Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit, um die vorbelastete Feder um weitere 3 cm zu dehnen? Diskutieren Sie das Ergebnis anhand eines F(x)-Diagramms.

33. Welche mittlere Leistung haben Flugzeugmotoren bei einem Wirkungsgrad von 20%, wenn sie ein Flugzeug mit der Masse 5 t in 5 min auf eine Höhe von 10 km und die Geschwindigkeit 720 km/h bringen?

34. In Aufgabe 28 wurde die Beschleunigung a hergeleitet, die zwei Massen erfahren, die mit einem masselosen Seil über eine Rolle verbunden sind. Es war

a) Bestimmen Sie daraus die Geschwindigkeit v(t).

b) Zeigen Sie, daß man das gleiche Ergebnis für v(t) erhält, wenn man als Ansatz die Energieerhaltung wählt.

c) Diskutieren Sie den Fall, wenn die Masse m₁ nicht vorhanden ist (m₁ = 0).

Fadenpendel

35. Eine Masse m=300 g hänge an einem masselosen Faden der Länge l=30 cm. Die Masse werde um den Winkel ₀=30 aus der Vertikalen ausgelenkt und losgelassen.

a) Wie groß ist die Geschwindigkeit v der Masse am untersten Punkt der Bewegung bei Vernachlässigung der Luftreibung? (Über Energieerhaltungssatz !)

b) Wie groß ist die Zugkraft im Faden am untersten Punkt der Bewegung im Verhältnis zur Gewichtskraft der Masse?

c) Welches Verhältnis entsteht bei ₀=90?

d) Wenn Sie Lust haben, zeigen Sie, daß man für das Pendel die gleiche Geschwindigkeit v(₀) erhält, wenn man wie in Aufgabe 30 den Ansatz

(zur Lösung der Differentialgleichung) wählt.

Lenard-Jones-Potential

36. Die Kraft zwischen den beiden Atomen eines zweiatomigen Moleküls kann näherungsweise durch folgende Funktion für die potentielle Energie beschrieben werden:

,

wobei und Konstanten sind.

a) Bei welchem Wert von x ist die potentielle Energie gleich Null?

b) Bestimmen Sie die Kraft .

c) Für welchen Wert von x besitzt die potentielle Energie ein Minimum? Wie groß ist dieser minimale Wert der potentiellen Energie?

d) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf der Potentialkurve.

26. Wo liegt der Schwerpunkt eines Kreissektors mit dem Öffnungswinkel , der aus einer homogenen Scheibe mit dem Radius R ausgeschnitten wurde? Wie lautet das Ergebnis speziell für eine Halbkreisscheibe?

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(15. und 17.12.1998)

Arbeit und Energie

37. Ein Körper der Masse 2 kg werde gegen eine Feder gedrückt, die eine Federkonstante von 500 N/m besitzt. Die Feder werde dabei um 20 cm gestaucht. Nach dem Loslassen stoße die Feder den Körper zunächst eine horizontale, reibungsfreie Fläche entlang und anschließend eine reibungsfreie, schiefe Ebene hinauf. Deren Neigungswinkel betrage 45.

Welche Höhe wird der Körper erreichen und welche Strecke hat er auf der schiefen Ebene zurückgelegt?

38. Klotz auf schiefer Ebene:

v(t=0)=v₀=0

a) Geben Sie die Beschleunigung a an, indem Sie den Kraftansatz verwenden.

b) Läßt sich das Problem mit dem Energieerhaltungssatz der Mechanik lösen?

c) Geben Sie die Beschleunigung a an, indem Sie bei der Energieerhaltung auch die thermischen Verluste berücksichtigen.

Impulserhaltung

39. Ein Mann (70 kg) und ein Junge (35 kg) auf Schlittschuhen (keine Reibung) stoßen sich zum Zeitpunkt t₀ =0 voneinander ab. Nach dem Stoß hat der Mann eine Geschwindigkeit von v_M=0,3 m/s.

a) Wie groß ist die Geschwindigkeit v_J des Jungen und wie weit sind beide nach 5 s voneinander entfernt?

b) Welche kinetische Energie hat das System Mann/Junge nach dem Abstoßen?

40. Ein offener Eisenbahnwaggon der Masse 20 000 kg rolle ohne Reibung mit v=5 m/s, als es stark zu regnen beginnt.

Wie groß ist seine Geschwindigkeit, nachdem sich in ihm 2000 kg Wasser gesammelt haben?

41. Ein Auto mit einer Masse von 1200 kg fahre mit 60 km/h ostwärts in eine Kreuzung. Dort stoße es mit einem Lastwagen zusammen, der eine Masse von 3000 kg hat und mit der Geschwindigkeit von 40 km/h aus Süden komme. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Trümmer (=beide Wagen ineinander verkeilt, keine weiteren Einzelteile, keine Reibung) nach dem Zusammenstoß.

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(05. und 07.01.1999)

Impulserhaltung

42. Stöße sind nicht vollkommen elastisch oder inelastisch. Um dies genauer auszudrücken, definiert man als Maß für die Elastizität der beteiligten Körper eine Stoßzahl bzw. einen Stoßkoeffizienten e:

Bei einem rein elastischen Stoß ist e=1, bei einem rein inelastischen Stoß ist e=0. Die Stoßzahl für Stahl wird gemessen, indem man eine Stahlkugel auf eine starr mit dem Boden verbundene Stahlplatte fallen läßt.

Wie groß ist eStahl, wenn die Kugel, nachdem sie aus einer Höhe h=3 m fallen gelassen wurde, danach wieder auf eine Höhe h'=2,5 m steigt?

43. Zeigen Sie, daß bei einem nicht zentralen Stoß eines Teilchens der Masse m mit einem anfangs ruhenden Teilchen gleich großer Masse nach dem Stoß die Geschwindigkeiten beider Teilchen zueinander senkrecht stehen.

44. Ein offener leerer Eisenbahnwagen der Masse m₀=15 t bewegt sich reibungsfrei mit v₀ = 2 m/s. Während der Bewegung fällt aus einem (ruhenden) Greifbagger senkrecht von oben Sand mit der Masse m₁=1 t in den Wagen.

a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des beladenen Wagens? Um welchen Betrag ändert sich die kinetische Energie des Wagens? (Begründung)

b) Anschließend wird der Wagen durch eine Klappe nach unten entleert. Wie groß sind danach Geschwindigkeit und kinetische Energie des Wagens?

45. Eine Rakete der Masse m= 10 t fliegt senkrecht hoch. Die Ausströmgeschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur Rakete beträgt 2000 m/s.

a) Wieviel Treibstoff muß pro Sekunde verbrannt werden, damit die Rakete am Anfang gerade schwebt?

b) Angenommen, der Treibstoffverbrauch ist stets der unter a) errechnete, welche Geschwindigkeit hat die Rakete dann nach 100 s?

Die Luftreibung und die Änderung der Gravitationsbeschleunigung sollen vernachlässigt werden.

Ballistisches Pendel

46. Die Pendelmasse sei 2 kg und die Masse der Kugel, die in die Pendelmasse hineingeschossen wird, sei 12 g. Nach dem Einschuß steigt das Pendel um die Höhe h=10,4 cm.

Wie groß sind

a) die Geschwindigkeit der Kugel beim Auftreffen,

b) die kinetische Anfangsenergie der Kugel,

c) die kinetische Energie des Systems nach dem Auftreffen der Kugel?

Trägheitsmoment, Drehimpuls

47. Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen Stabes der Masse m und der Länge l, der

a) um seine Mitte (senkrecht zur Längsachse) rotiert.

b) um sein Ende rotiert.

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(12. und 14.01.1999)

Trägheitsmoment, Drehimpuls

48. Ein homogener Stab ist an einem Ende drehbar gelagert und am anderen Ende zunächst so unterstützt, daß er sich in horizontaler Lage befindet. Wie groß ist die Anfangsbahnbeschleunigung des freien Endes, wenn die Unterstützung weggenommen wird?

49. Eine Kugel mit der Masse m und dem Radius r bewegt sich von der Starthöhe h aus entlang einer schiefen Ebene, die stetig in die Horizontale übergeht. Wie groß ist das (konstante) Verhältnis v_a:v_b der beiden Translationsgeschwindigkeiten auf der Horizontalen?

v_a: Kugel rollt, rutscht nicht

v_b: Kugel gleitet reibungsfrei, rollt nicht.

Trägheitsmoment einer Kugel um eine Achse durch den Massenmittelpunkt: .

50. Auf welcher Höhe muß man eine Billardkugel waagerecht anstoßen, damit sie von Anfang an rollt, ohne zu gleiten?

51. Ein Jo-Jo mit der Masse m=0,1 kg bestehe aus zwei massiven, homogenen Scheiben mit dem Radius R=10 cm; die durch einen praktisch masselosen Stab mit dem Radius r=1 cm verbunden sind. Um diesen Stab sei eine Schnur gewickelt. Ihr Ende werde festgehalten, wenn das Jo-Jo losgelassen wird. Dabei erfahre die Schnur die konstante Zugkraft . Bestimmen Sie die Beschleunigung des Jo-Jos und die Zugkraft in der Schnur.

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(19. und 21.01.1999)

Drehbewegungen

52. Ein Teilchen bewege sich auf einer Kreisbahn.

a) Wie ändert sich sein Drehimpuls, wenn sein linearer Impuls p verdoppelt wird?

b) Wie ändert sich der Drehimpuls, wenn der Radius der Kreisbahn verdoppelt wird, aber die Geschwindigkeit konstant bleibt?

53. Ein homogener Zylinder mit dem Radius 15 cm und der Masse 50 kg rolle, ohne zu gleiten, mit der Geschwindigkeit 6 m/s auf einer horizontalen Ebene.

Wieviel Energie wird benötigt, um den Zylinder anzuhalten?

Kreisel

54. Die horizontale Symmetrieachse einer Kreisscheibe (r=0,5 m, m= 1500 kg) ist um eine vertikale Achse drehbar (R= 2 m). Die Scheibe rollt um diese auf der Unterlage ab mit der Drehfrequenz f_p=0,5 s^-1. (Trägheitsmoment für Kreisscheibe bei Drehung um die oben genannte Achse: I=0,5 mr²)

Mit welcher Kraft drückt die Scheibe auf die Unterlage?

Fertigen Sie eine Skizze mit den benötigten Vektoren an!

55. Kreisel mit äußerem Drehmoment:

Ein Kreisel mit der Masse m=100 g dreht sich mit einer Frequenz f=10 s^-1 um seine Achse. Bei Auslenkung aus der senkrechten Drehrichtung um einen Winkel =30 führt er unter dem Einfluß seines Gewichts eine Präzessionsbewegung aus. Die Präzessionsfrequenz beträgt f_p=0,9 s^-1, der Abstand Fußpunkt - Kreiselschwerpunkt ist 6 cm.

Wie groß ist das Trägheitsmoment des Kreisels ?

Wie groß ist der Drehimpuls des Kreisels vor der Auslenkung ?

Zeichnen Sie die in der Rechnung vorkommenden Vektoren in eine Skizze ein !

Übungen zur Physik für Chemiker I

Wintersemester 1998/99

(26. und 28.01.1999)

Kreisel

56. Präzession der Tagundnachtgleichen: In der Vorlesung wurde besprochen, daß die Erde ebenfalls eine Präzession ausführt, um dem von der Sonne ausgeübten Drehmoment, das versucht, die Erde aufzurichten, auszuweichen. Der Grund dafür liegt darin, daß die Ebene des Äquators mit der Ebene der Erdbahn einen Winkel von 2327´ bildet. Die Schnittlinie zwischen beiden Ebenen ist die Tagundnachtgleiche. Die Periode der Präzession der Erdachse beträgt 27.725 Jahre, was bereits 135 v.Chr. von Hipparchus entdeckt wurde.

a) Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit der Präzession an.

b) Wie groß ist der Betrag des Drehmoments, das auf die Erde ausgeübt wird? (Nehmen für die Berechnung des Trägheitsmoments an, daß die Erde kugelförmig ist.)

Relativistik

57. Ein Flugzeug A fliegt mit v_A=300 kmh^-1 relativ zum Boden nach N(orden). Zur gleichen Zeit fliegt ein anderes Flugzeug B in Richtung N(ord) 60 W(est), mit v_B=200 kmh^-1 relativ zum Boden.

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) von A relativ zu B und von B relativ zu A.

58. Aufgrund der Rotation der Erde ist die effektive Gravitationsbeschleunigung (die Erdbeschleunigung, die ein Beobachter mißt, der sich mit der Erde mitbewegt) vom Ort auf der Erde abhängig.

a) Berechnen Sie den Betrag der effektiven Erdbeschleunigung g für Berlin (Breitengrad 49) und für einen Ort am Äquator (Breitengrad 90). Nehmen Sie dafür an, daß der fallende Körper anfangs in Ruhe ist und sich nur langsam bewegt, so daß die Corioliskraft gegenüber dem Zentrifugalkraft vernachlässigt werden kann. Die Gravitationsbeschleunigung, die ein nicht mitrotierender Beobachter mißt, beträgt g₀ = 9,8321 m/s² , die Gravitationsbeschleunigung am Nordpol.

b) Vergleichen Sie das berechnete Ergebnis für einen Ort am Äquator mit dem gemessenen Wert von 9,7799 m/s². Warum ist an den Polen g = g₀?

59. Astronauten in einem mit v=0,6c von der Erde fortfliegenden Raumschiff teilen ihrer Bordstation mit, daß sie ein Nickerchen einlegen und sich nach einer Stunde wieder melden werden.

Wie lange schlafen Sie im Bezugssystem der Erde?