RC-Glied als Integrator
Die
obere Schaltung bezeichnet man auch als Tiefpass, da hochfrequente Spannungen
durch das C kurzgeschlossen werden. Der Spannungsabfall am Kondensator
berechnet sich allgemein zu
Falls R hinreichend groß ist, wird der Strom durch den Widerstand bestimmt und es gilt:
Eine
beliebige zeitabhängige Eingangsspannung wird am Tiefpass integriert, falls
RC-Hochpass
als Differenzierglied
Der Spannungsabfall am Ohm’schen Widerstand ergibt sich zu
Wird R hinreichend klein im Vergleich zum kapazitiven
Widerstand gewählt, so wird der Strom durch den Betrag von C bestimmt
In diesem Fall erhält man wegen UC »UE:
Eine
beliebige zeitabhängige Eingangsspannung wird am Hochpass differenziert, falls
die Bedingung
Sinusförmige
Wechselspannungen am RC-Glied
Für
erhält
man allgemein am Ausgang des Tiefpass:
Ist
die Bedingung wt >> 1 erfüllt, so ist die
Phasenverschiebung zwischen Gesamtspannung UE und UR = 0
und zwischen UE und UC gleich 90°. Man erhält dann:
Dieses Ergebnis erhält man auch durch Anwendung der oben angegebenen Integrationsbeziehung.
Im Falle eines Hochpasses erhält man durch Differenzieren (im Falle der Gültigkeit von wt <<1 !!!) das Resultat
Allgemein gilt :
Integration einer Rechteckspannung
Gegeben sei eine periodische Rechteckspannung:
Die Integration dieser Spannung liefert eine linear ansteigende Spannung bis wt = p und eine linear abnehmende Spannung im nachfolgenden Intervall bis wt = 2p (Sägezahnspannung).
Eine Fourierzerlegung der Rechteckspannung in ein Spektrum von Sinusspannungen sollte es ermöglichen, unter Anwendung der vorherigen Ergebnisse für harmonische Spannungen zu demselben Resultat zu gelangen. Die oben angegebene Eingangsspannung kann folgendermaßen in eine Reihe entwickelt werden:
Das Ausgangsspannungsspektrum erhält man dann zu
für ungerade n = 1, 3, 5, ....
In den folgenden beiden Abbildungen ist das Amplitudenspektrum der Eingangs- und Ausgangsspannung für n = 1 bis 11 sowie die berechnete zeitabhängige Ausgangsspannung (in der Summation bis n=9 berücksichtigt) dargestellt.
