Dichte und Massenschwerpunkt

Gegeben sei ein Körper der Gesamtmasse M, welche das Volumen V einnimmt. Wir zerlegen gedanklich den Körper in kleine Massenelemente Dm = m_i, die das Volumen DV = V_i einnehmen:

Es gilt dann

Als Dichte definiert man den Grenzübergang

Im allgemeinen ist die Dichte eine Funktion der Koordinaten des Körpers. Ist der betreffende Körper homogen, so kann man vom Differential zum Verhältnis r = m/V übergehen. Ist umgekehrt die ortsabhängige Dichte eines Körpers bekannt, so kann die Gesamtmasse mittels

berechnet werden.

Gehen wir in der Definition des Massenschwerpunktes

zum kontinuierlichen Körper über, so folgt

In homogenen Körpern kann die Dichte vor das Integral gezogen werden und die Integration über das Volumen vereinfacht sich zu

bzw.

In diesem Fall eines homogenen Körpers hängt der Massenschwerpunkt nur von seiner Geometrie ab. Für einen Quader der Seitenlängen a,b,c gilt z.B.

Analog findet man für die beiden anderen Komponenten b/2 und c/2.

Also gilt: