Der Magnuseffekt - Hörsaalversuch

Ein Zylinder wird mit angeströmt und rotiert mit . Die Relativgeschwindigkeit der Gasströmung bezüglich des rotierenden Zylinders ergibt sich dann folgendermaßen:

Oberseite:

Unterseite:

Die Anwendung der Bernoulligleichung liefert die Differenz der statischen Drücke zwischen Unter- und Oberseite:

also die Druckdifferenz

Nach dem Ausrechnen erhält man für die Druckdifferenz:

Wirkt die Druckdifferenz auf eine effektive Fläche A_eff, so erhält man die Querkraft

Diese (dynamische ) Querkraft steht senkrecht auf und dem Vektor . Da der Radiusvektor senkrecht auf der Oberflächennormalen der Zylinderfläche steht, erhält man:

Die mittlere wirksame Geschwindigkeit ist jedoch nur halb so groß, wie die Anströmgeschwindigkeit v₀. Daher gilt schließlich:

bzw.:

mit h als Zylinderlänge. Hat der Zylinder die Masse m, so unterliegt er der Querbeschleunigung

Die Konstante C ist dimensionslos und hat in unserem Hörsaalexperiment den Betrag C = 9E-3.

Im folgenden Video ist die erste Flugphase des rotierenden Zylinders dargestellt. Der Zeitausschnitt beträgt 3s. Infolge der Bewegung entsteht eine Unschärfe, die den Zylinder als rechteckige Fläche erscheinen lässt.

Nachdem der Zylinder mit dem Motor (Drehzahl 2000 U/min) aufgezogen wurde, wird er mit einem kurzen Vorwärtsimpuls abgelassen. Im Rechenbeispiel wird mit einer horizontalen Anfangsgeschwindigkeit von 1m/s gerechnet. Im freien Fall würde er nahezu senkrecht innerhalb einer Sekunde nach unten fallen. Tatsächlich bewegt er sich auf einer schrägen Bahn mehrere Meter in den Raum hinein. Die Trajektorie flacht in Bodennähe zunehmend ab und steigt sogar geringfügig wieder an. Die gesamte Flugzeit betrug etwa 2 bis 3 Sekunden.

Folgendes geschieht:

Durch den nahezu freien Fall während der Anfangsphase des Fluges gewinnt der Zylinder eine vertikale Geschwindigkeitskomponente v_z, die dem Zylinder durch den Magnuseffekt eine horizontale Geschwindigkeitskomponente v_x verleiht.

Die Horizontalbewegung schließlich führt zu einem dynamischen Auftrieb, der den Zylinder wieder steigen lässt.

Die Rechnung sieht folgendermaßen aus:

Die Gesamtbeschleunigung a_ges ergibt sich als Summe der Erdbeschleunigung g und der Beschleunigung durch den Magnuseffekt a_M :

Mit

bzw. unter Verwendung der Abkürzung gilt:

Die Vektoren und haben folgende Komponenten (x-Weite, z-Höhe):

Der Betrag für Ω folgt aus dem Betrag für C = 9E-3 und der Drehzahl des Motors 2000 U/min.

Berechnet man das Kreuzprodukt, so erhält man schließlich:

Die Gesamtbeschleunigung erhält man mit (g = 9,81m/s²) zu

Da die zeitabhängige Geschwindigkeit v in der Beschleunigung enthalten ist, bietet sich ein iteratives Integrationsverfahren zur Lösung der Differentialgleichung an. Wir verwenden das numerische Eulersche Integrationsverfahren mit den Anfangswerten:

v_x(t=0) = 1 m/s ; v_y(t=0) = 0 m/s ; x(t=0) = 0 m ; z(t=0) = h = 5,30 m

Mit einer Schrittweite von 0,03s erhält man folgende Grafik für die Trajektorie:

Die Grafik verdeutlicht das experimentelle Resultat: Im Vergleich zum einfachen waagerechten Wurf fliegt die Rolle weit in den Raum hinein. Kurz vor Erreichen des Bodens wird die Bahn durch den Auftrieb sogar wieder etwas angehoben. Während im freien Fall der Boden etwa nach einer Sekunde erreicht würde, fällt die Rolle im Versuch erst nach zwei bis drei Sekunden auf den Boden (im Video ist ein deutliches Krachen zu vernehmen. Den Verlauf der Geschwindigkeit entnimmt man der folgenden Abbildung:

Es wird deutlich, dass die Bahngeschwindigkeit ihr Maximum im Bahnminimum nach 1,6s erreicht, um dann wieder abzunehmen.

Die Rechnung berücksichtigt nicht die Abnahme der Drehzahl sowie der Geschwindigkeit durch Reibung. Daher dürften die errechneten Werte am Ende der Bahn von den tatsächlichen Parametern abweichen.

Ausblick:

Die folgende Grafik wurde für den doppelten Wert C = 1,8E-2 berechnet. Die Flugbahn nähert sich der einer Zykloide an, wobei die Periode mit zunehmendem C abnimmt.