... Entartung).¹

Diese Entartung hängt mit der Existenz von einem zusätzlichen Operator zusammen, der (zusammen mit $\hat \mathbf{L}$ und $\hat L_z$) mit $\hat H$ kommutiert. Dieses ist der sog.LENZ-vektor (oder Laplace-Runge-Lenz Vektor) $\hat \mathbf{A}=(1/m) \hat \mathbf{p} \times \hat \mathbf{L} - (Ze^2)\hat \mathbf{e}$ mit $\mathbf{e}$ - Einheitsvektor in $\mathbf{r}$-Richtung. Dieser Operator entspricht einem zusätzlichen klassischen Bewegungsintegral im Coulombfeld, siehe C.E. Burkhardt, J.J. Leventhal, Am. J. Phys. 72, 1013 (2004)

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... betrachten²

Die Ableitung einer Operatorfunktion nach einem Operator kann mathematisch als Grenzwert $\frac{d}{d\hat{A}}f(\hat{A})=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\left[ \frac{1}{\varepsilon }\left( f(\hat{A}+\varepsilon \hat{I})-f(% \hat{A}\right) \right]$ definirt werden. Für eine so definierte Ableitung gelten die üblichen Regel (Linearität, Kettenregel, u.s.w; man beachte aber die Reihenfolge der Operatoren!

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... Inverse³

Wie wir es sehen werden, kann man oft trotzdem so verfahren, als ob dieser Operator immer eine Inversen besitzt. Wenn man sicher gehen will, kann man einen Trick benutzen, und dem noch nicht festgelegten $D$ einen kleinen imaginären Teil geben: $D\rightarrow D+i\varepsilon$. Dieser garantiert die Invertierbarkeit, da die Eigenwerte von $\hat{H}_{0}$ allesamt reell sind. Am Ende soll man den Grenzwert bei $\varepsilon \rightarrow 0$ nehmen. Falls dieser existiert, ist unsere Störungsreihe OK.

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