Tensorprodukt zweier Vektorräume

Hier erläutern wir eine oft benutzte Operation der Erzeugung der Hilberträume der Zuständen der Systeme mehrere Teilchen.

Betrachten wir als Beispiel zunächst ein System aus 2 Teilchen. Ein Produkt der WF zweier Teilchen $\psi (\mathbf{r}_{1})\psi (\mathbf{r}_{2})$ stellt einen speziellen Zustand dieses Systems dar. I.A. faktorisieren nicht die Wellenfunktionen, die faktorisierte WF'nen bilden aber eine VONS der Funktionen in einem Hilbertraum alle Zuständen: Die allgemeine WF $\psi (% \mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2})$ kann als lineare Kombination solcher Produkte dargestellt werden: Die WF kann (als Fkt. von $\mathbf{r}_{1}$, bei festgehaltenen $\mathbf{r}_{2}$) über VONS der Funktionen von $\mathbf{r}% _{1}$ entwickelt werden:

$$\Psi (\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2})=\sum_{i}a_{i}(\mathbf{r}_{2})\phi _{i}^{(1)}(\mathbf{r}_{1})$$

(beachte: Summation über diskretes Spektrum, Integration über kontinuierlichen Spektrum). Jeder Koeffizient $a_{i}(\mathbf{r}_{2})$ kann über die VONS von der Fkt'nen von $\mathbf{r}_{2}$ entwickelt werden:

$$a_{i}(\mathbf{r}_{2})=\sum_{j}b_{ij}\phi _{j}^{(2)}(\mathbf{r}_{2})$$

so dass insgesamt

$$\Psi (\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2})=\sum_{i,j}b_{ij}\phi _{i}^{(1)}(\mathbf{% r}_{1})\phi _{j}^{(2)}(\mathbf{r}_{2}).$$

Notation: Seien $\phi _{i}^{(1)}(\mathbf{r}_{1})$ die Funktionen aus dem Hilbertraum $H_{1}$ (Ket $\left\vert \phi _{i}^{(1)}\right\rangle$) und $\phi _{j}^{(2)}(\mathbf{r}_{2})$ die Fkt. aus der Hilbertraum $H_{2}$ (Ket $% \left\vert \phi _{j}^{(2)}\right\rangle$). $\phi _{i}^{(1)}(\mathbf{r}_{1})\phi _{j}^{(2)}(\mathbf{r}_{2})$ einspricht dann dem direkten Produkt der entsprechenden Kets:

$$\left\vert \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\right\rangle =\lef... ...}^{(2)}\right\rangle \left\vert \phi _{i}^{(1)}\right\rangle .$$

Die Zustände $\left\vert \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\right\rangle$ sind die Elemente weder von $H_{1}$ noch von $H_{2}$ sondern von dem Produktraum

$$H=H_{1}\otimes H_{2}.$$

Dieses Raum heisst Tensorprodukt der Räume $H_{1}$ und $H_{2}$. Er besteht aus der Produkten $\left\vert \phi _{i}^{(1)}\right\rangle \left\vert \phi _{j}^{(2)}\right\rangle$ und aus allen möglichen ihrer Linearkombiantionen, d.h. aus der Funktionen

$$\sum_{i,j}b_{ij}\left\vert \phi _{i}^{(1)}\right\rangle \left\vert \phi _{j}^{(2)}\right\rangle .$$

Die entsprechenden Elemente des dualen Raumes (Bras) sind

$$\sum_{i,j}b_{ij}^{*}\left\langle \phi _{i}^{(1)}\right\vert \left\langle \phi _{j}^{(2)}\right\vert .$$

Das Skalarprodukt der reinen Produktzustände $\left\vert u_{1}v_{1}\right\rangle$ und $\left\vert u_{2}v_{2}\right\rangle$ ( $\left\vert u_{i}\right\rangle \in H_{1}$, $\left\vert v_{i}\right\rangle \in H_{2}$) ist folgendermassen definiert:

$$\left\langle u_{1}v_{1}\vert u_{2}v_{2}\right\rangle =\left\... ..._{2}\right\rangle \left\langle v_{1}\vert v_{2}\right\rangle .$$

Das Skalarprodukt der allgemeinen Zustände

$$\left\vert \psi _{1}\right\rangle =\sum_{i,j}a_{ij}\left\ver... ...i}^{(1)}\right\rangle \left\vert \phi _{j}^{(2)}\right\rangle$$

und

$$\left\vert \psi _{2}\right\rangle =\sum_{k,l}b_{kl}\left\ver... ...k}^{(1)}\right\rangle \left\vert \phi _{l}^{(2)}\right\rangle$$

ist dann gegeben durch

$$\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle =\sum_{i,j... ...left\langle \phi _{j}^{(2)}\vert\phi _{l}^{(2)}\right\rangle .$$

Bilden die Funktionen $\left\vert \phi _{i}^{(1)}\right\rangle$ und $\left\vert \phi _{j}^{(2)}\right\rangle$ die VONS den Funktionen in $H_{1}$ und $H_{2}$ so bilden $\left\vert \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\right\rangle$ ein VONS in $H=H_{1}\otimes H_{2}$: für die Basisvektoren $\left\vert \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\right\rangle$ gilt:

$$\left\langle \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\vert\phi _{k}^{(1)}\phi _{l}^{(2)}\right\rangle =\delta _{ik}\delta _{jl}.$$

Für die Entwicklung über dieser Basis gilt:

$$\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle =\sum_{i,j... ...^{*}b_{kl}\delta _{ik}\delta _{jl}=\sum_{i,j}a_{ij}^{*}b_{ij}.$$

Diese Basis ist vollständig, so dass

$$\sum_{i,j}\left\vert \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\right\ra... ...left\langle \phi _{i}^{(1)}\phi _{j}^{(2)}\right\vert =\hat{I}$$

wobei $\hat{I}$ der Identitätsoperator in Hilbertraum $H$ ist.