Die Parität der Zustände

Wenn $U(x)$ symmetrisch in bezug auf $x=0$ ist, dann $U(x)=U(-x)$. Die SGl. ändert sich nicht, wenn man von $x$ zu $-x$ wechselt (sowohl $\frac{% \hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ als auch $U(x)$ ändern sich nicht). D.h.wenn

$$\hat{H}\psi (x)=E\psi (x)$$

eine Eigenfunktion (EF) ist, dann ist

$$\hat{H}\psi (-x)=E\psi (-x)$$

auch eine EF. Wegen der Linearität ist auch die gerade Fkt.

$$\psi _{G}(x)=\psi (x)+\psi (-x)$$

und die ungerade Fkt.

$$\psi _{U}(x)=\psi (x)-\psi (-x)$$

(wenn sie nicht verschwinden) die Ls'gen.

• Wenn der Eigenwert $E$ nicht entartet ist (i.e. gibt es nur eine EF, bis zu einem konstanten Vorfaktor), dann ist entweder $% \psi _{G}(x)=A\psi (x)$ (eigentlich $A=2$) und $\psi _{U}(x)=0$, oder $\psi _{U}(x)=A\psi (x)$ und dann $\psi _{G}=0$. Also sind alle EFs entweder gerade (und haben gerade Anzahl der Knoten) oder ungerade (mit ungeraden Anzahl der Knoten).

• In 1D können EFs maximal 2-fach entartet sein (maximal 2 linear unabhängige Lsgen der Differenzialgl. 2 Ordnung). Dann können alle EFs als Summe $\psi =\lambda \psi _{1}+\mu \psi _{2}$ dargestellt werden. Daraus können diesesmal 2 linear unabhängige Lsgen
  
  $$\psi _{G}(x)=\psi (x)+\psi (-x)$$
  
  
  und
  
  $$\psi _{U}(x)=\psi (x)-\psi (-x)$$
  
  
  gebildet werden. Jede EF für die Energie $E$ kann als Superposition von einer geraden und einer ungeraden WF ausgedrückt werden.