Wahrscheinlichkeitsstrom und Erhalten der Norm

Die Wellenfkt. $\Psi$ und die komplex-konjugierte Funktion $\Psi ^{*}$ genügen der SGl und der konjugierter Gl.:

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi$$

und

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ^{*}=-\hat{H}\Psi ^{*}.$$

Daher

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial t}P(\mathbf{r},t) &=&\frac{\partial ... ...i ^{*}\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right) ^{*}\Psi \right] . \end{eqnarray*}$$

Da

$$\begin{eqnarray*} 0 &=&\frac{\partial }{\partial t}\int P(\mathbf{r},t)d\mathbf{... ...f{r}-\int \Psi \left( \hat{H}\Psi \right) ^{*}d\mathbf{r}\right] \end{eqnarray*}$$

gilt

$$\int \Psi ^{*}\hat{H}\Psi d\mathbf{r}=\int \Psi \left( \hat{H}\Psi \right) ^{*}d\mathbf{r}$$

Die Operatoren $\hat{H}$, die eine solche Eigenschaft haben (für $\Psi$ aus entsprechendem Funktionsraum) nennt man HERMITE'sche Operatoren.

In unserem Fall

$$\hat{H}=-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\Delta +U(\mathbf{r}).$$

$\Longrightarrow$ anhand von Green'schem Theorem

$$\begin{eqnarray*} \int \left[ \Psi ^{*}\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right) ^... ...t_{S}\Psi \nabla \Psi ^{*}d\mathbf{r}\right] \\ &\rightarrow &0 \end{eqnarray*}$$

Führen wir den Wahrscheinlichkeitsstrom $\mathbf{J}$ ein:

$$\mathbf{J}(\mathbf{r},t)=\mbox{Re}\left[ \Psi ^{*}\frac{\hbar }{im}\nabla \Psi \right] .$$

Dann gilt:

$$div\mathbf{J=}\frac{i}{\hbar }\left[ \int \Psi ^{*}\hat{H}\P... ...\int \Psi \left( \hat{H}\Psi \right) ^{*}d\mathbf{r}\right] .$$

Daher bekommt man:

$$\frac{\partial }{\partial t}P(\mathbf{r},t)+div\mathbf{J}=0$$

(die Kontinuitätsgleichung).

Die Gleichung folgt auch aus der klassischen Gleichung anhand des Kontinuitätsprinzip: Da $\frac{\hbar }{im}\nabla$ der Operator ist, der dem klassischen Wert von $\mathbf{v}=\mathbf{p}/m$ entspricht, haben wir

$$\frac{\partial }{\partial t}P+div~\mathbf{v}P=0$$

(klassische Kontinuitätsgleichung).

Für die Eigenzustände (stationäre Zustände) $\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (r)e^{-i\frac{E}{\hbar }t}$;
$P(\mathbf{r},t)=\left\vert \psi(r)\right\vert ^{2}$, $\frac{\partial }{\partial t}P=0$, so dass $div~\mathbf{J}=0$.

Bemerkung: Bei reellem $U(x)$ (da $\hat{H}$ Hermite'sch) ist für jede Lsg. $\psi (x)$ auch die komplex-konjungierte Fkt $\psi ^{*}(x)$ eine Lsg. So kann man, wegen der Linearität der Gleichung, stets die reelle Kombinationen $\psi (x)+\psi ^{*}(x)$ und $-i\left[ \psi (x)-\psi ^{*}(x)\right]$ als Lösungen nehmen. $\Rightarrow$ Die Ls'gen der Schrödinger-Gl. in 1D können immer als reell angesehen werden.