Beispiel 1: Das Tunnel-Effekt

Betrachten wir ein folgendes Beispiel der Streuzustände im entarteten kontinuierlichen Spektrum: Das Potential $U(x)$ entspricht einem Potentialwall von der Höhe $U_{0}$ und der Breite $L$.

Betrachten wir nun ein Teilchen, das mit einer vorgegebenen Energie $E$ (und damit Impuls $p$ und Wellenzahl $-k<0$, $\left\vert k\right\vert =% \sqrt{2mE/\hbar ^{2}}$) von rechts aus dem Unendlichen kommt. Die spiegelsymmetrische Situation (von links aufkommende Teilchen) ist auch möglich; das enspricht der zweifachen Entartung der Zustände.

Die hier betrachtete Situation entspricht einem Wellenpaket mit den Wellenzahlen, die scharf um $-k$ lokalisiert sind; im Koordinatenraum muss so ein Paket sehr breit sein. Wesentlich ist, dass diese Breite größer ist als $L$. Praktisch haben wir hier mit eine ebene Welle zu tun. Damit wird die physikalische Situation auf die Betrachtung der Eigenzustände der Schrödinger-Gl. reduziert. Das Bild der Wellenpakete braucht man nur für die Interpretation der Resultate.

Die entsprechende ebene Welle von der Amplitude $A$ kann das Potential durchdringen und / oder reflektiert werden. Die reflektierte Welle hat ausserhalb des Walls den Wellenvektor $k$ von dem gleichen Betrag wie die anfallende Welle, und die Amplitude $rA$; die durchgegangene Welle auf der anderen Seite des Walls hat die Amplitude $tA$. In die Sprache der Wellenpakete übersetzt, sagt das, dass der reflektierte Teil des Pakets (von praktisch gleicher räumlicher Ausdehnung) hat die Amplitude im Maximum $rA$, das durchgegangene Paket auf der anderen Seite des Walls hat die Amplitude im Maximum $tA$. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen rechts (links) von dem Wall zu finden ist proportional zu $\left\vert r\right\vert ^{2}$ bzw. $\left\vert t\right\vert ^{2}$, siehe Bild.

Hier unterscheidet man 2 Fälle:

• $E>U_{0}$: Klassisch wird das Teilchen immer den Potenziallwall überqueren können. Quantenmechnisch:
  
  $$\psi (x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-ikx}+re^{ikx} & x>L ... ...}+be^{ik_{1}x} & 0<x<L \\ te^{-ikx} & x<0 \end{array}\right.$$
  
  
  ($A=0$, $t$ und $r$ sind i.A. komplex, i.e. beinhalten die Phaseverschiebungen der Wellen) mit $k_{1}=\sqrt{2m(E-U_{0})/\hbar ^{2}}$. In Punkten $L$ und 0 müssen die Wellenfunktion und ihre Ableitung stetig sein. Das heisst:
  $$\begin{eqnarray*} e^{-ikL}+re^{ikL} &=&ae^{ik_{1}L}+be^{-ik_{1}L} \\ -ike^{-ikL... ...}L}+ibk_{1}e^{ik_{1}L} \\ a+b &=&t \\ -ik_{1}a+ik_{1}b &=&-ikt \end{eqnarray*}$$
  
  
  so dass wir ein System linearer Gleichungen für die Koeffizienten $a,b,r$ und $t$ bekommen:
  
  $$\left( \begin{array}{llll} e^{ik_{1}L} & e^{-ik_{1}L} & -e^... ...y}{l} e^{-ikL} \\ -ike^{-ikL} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$$
  
  
  Die Lösung für $r$ und $t$ ergibt z.B.
  
  $$t=-2kk_{1}\frac{e^{-i(k-k_{1})L}}{(k-k_{1})^{2}(1+\exp (2ik_{1}L))}$$
  
  
  mit
  
  $$T=\left\vert t\right\vert ^{2}=\frac{4k^{2}k_{1}^{2}}{% 4k^{2}k_{1}^{2}+(k^{2}-k_{1}^{2})^{2}\sin ^{2}k_{1}L}$$
  
  
  mit $k^{2}k_{1}^{2}=\left( \frac{2m}{\hbar ^{2}}\right) ^{2}E(E-U_{0})$ und $% (k^{2}-k_{1}^{2})^{2}=\left( \frac{2m}{\hbar ^{2}}\right) ^{2}U_{0}^{2}$ und entsprechende Lsg. für $r$. Man überzeugt sich, dass
  
  $$T+R=1$$
  
  
  mit $R=\left\vert r\right\vert ^{2}$, so dass die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten bleibt.

  Wichtig: Im Quantenfall (abgesehen von die Situationen mit $% k_{1}L=\pi n$ mit $n=0,1,...$) wird das Teilchen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit reflektiert, was im klassischen Fall bei $E>U_{0}$ nie der Fall ist. Das Gesamtverhalten zeigt Resonanzen, siehe Bild.

• Im Falle $0<E<U_{0}$ wird das klassisches Teilchen immer reflektiert. Für den Quantenfall bekommt man
  
  $$\psi (x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-ikx}+re^{ikx} & x>L ... ...\kappa _{1}x} & 0<x<L \\ te^{-ikx} & x<0 \end{array}\right. .$$
  
  
  mit $\kappa _{1}=\sqrt{2m(U_{0}-E)/\hbar ^{2}}$. Aus dem Gleichungssystem für die Koeffizienten $a,b,r$ und $t$ bekommen wir z.B.
  
  $$T=\left\vert t\right\vert ^{2}=\frac{4k^{2}\kappa _{1}^{2}}{... ...pa _{1}^{2}+(k^{2}+\kappa _{1}^{2})^{2}\sin h^{2}\kappa _{1}L}$$
  
  
  (eigentlich bekommt man diese Gl durch Annehmen des rein imaginären $% k_{1}=i\kappa _{1}$) mit $k^{2}\kappa _{1}^{2}=\left( \frac{2m}{\hbar ^{2}}% \right) ^{2}E(U_{0}-E)$ und $(k^{2}+\kappa _{1}^{2})^{2}=\left( \frac{2m}{% \hbar ^{2}}\right) ^{2}U_{0}^{2}$. Bei der wachsenden Energie (von $0$ bis $% U_{0}$) wächst der Transmissionskoeffizient von 0 bis $\approx 1/(1+mU_{0}L^{2}/\hbar ^{2})$. Bei kleinen Energien $E\ll U_{0}$ ist $\sin h^{2}\kappa _{1}L=\frac{1}{4}\left( e^{\sqrt{2m(U_{0}-E)/\hbar ^{2}}L}-e^{... ...hbar ^{2}}L}\right) ^{2}\simeq \frac{1}{4}e^{2\sqrt{% 2m(U_{0}-E)/\hbar ^{2}}L}$ sehr groß, und
  
  $$T\simeq 16\frac{E}{U_{0}}\exp \left( -2\sqrt{2m(U_{0}-E)/\hbar ^{2}}L\right) .$$
  
  

  Das Gesamtverhalten von $T(E)$ für $2mU_{0}L^{2}/\hbar ^{2}=25$ siehe Bild.

  

  Bemerkung: i.A. für den Potentialwall beliebiger Form $U(x)$ ( $% U(\pm \infty )\rightarrow 0$) und für die Energien $E$ für welche die Gleichung $U(x)=E$ nur 2 Wurzel hat (2 klassische Umkehrpunkte der Bewegung $x_{\pm }$) gilt:
  

  $$T\approx \exp \left( -\frac{2}{\hbar }\int_{x_{-}}^{x_{+}}\sqrt{2m(U(q)-E)}% dq\right)$$
  
  
  (bis zum preexponentialen Faktor). Erklärung später (Stichwort: WKB).
  Wichtig: Im Quantenfall findet eine klassisch nicht erlaubte Transmission statt. Man sagt, das Teilchen durchtunnele den Potentialwall (Tunneleffekt). Dieser Effekt ist wichtig für die Erklärung des $\alpha$-Radioaktivität oder der Feldinduzierte Emission aus Metallen.