Schlussfolgerungen:

• Insgesamt sind die Eigenfunktionen von $\mathbf{\hat{L}}^{2}$ die sog. Kugelfunktionen (Engl. Spherical harmonics) $Y_{lm}(\theta, \phi)$ mit
  
  $$Y_{lm}(\theta, \phi)=(-1)^m \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}} P_n^m(\cos \theta) e^{im\phi}$$
  
  
  Die Kugelfunktionen bilden ein orthonormiertes System der Funktionen, so dass
  
  $$\int_0^{2\pi} d \phi \int_0^{\pi} d \theta \sin \theta Y^*_{... ...rime}(\theta, \phi) = \delta_{l,l^\prime} \delta_{m,m^\prime}.$$
  
  

• Die Eigenwerte des Operators $\mathbf{\hat{L}}^{2}$ sind
  
  $$L^2= \hbar^2 l(l+1).$$
  
  

• Die Eigenfunktionen von Operator $\mathbf{\hat{L}}^{2}$ sind gleichzeitig die Eigenfunktionen des Operators $\hat{L}_z$ (da $Y_{lm}(\theta, \phi) \propto e^{im \phi}$). Dies hat tieferen Grund, da $\mathbf{\hat{L}}^{2}$ und $\hat{L}_z$ kommutieren! Der Wert der Projektion des Drehimpulses auf die $z$-Achse ist
  
  $$L_z=\hbar m.$$
  
  

• Wenn der Wert von $l$ vorgegeben ist, so sind die $2l+1$ Werte von $m$, $-l\leq m\leq l$ erlaubt. Jeder Eigenwert von $\mathbf{\hat{L}}^{2}$ ist $(2l+1)$-fach entartet.

Die ersten $Y_{lm}(\theta, \phi)$ sind in der folgenden Tabelle angegeben:

$$\begin{eqnarray*} Y_{0,0}(\theta, \phi) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4\pi}... ...isplaystyle \frac{5}{\sqrt{96\pi}} 3\sin^2 \theta e^{-2i \phi}. \end{eqnarray*}$$