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Statistische Verteilung der Messresultate

Nehmen wir an, dass der Operator $\hat{A}$ ein VONS der Eigenfunktionen $% \left\vert \phi _{n}\right\rangle $ (Eigenwerte $a_{n}$) besitzt (Beispiele sind alle unsere Hamilton-Operatoren). Betrachten wir $\hat{A}\psi $:

\begin{eqnarray*} \hat{A}\psi &=&\hat{A}\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}\left\vert \phi... ...sum_{n=0}^{\infty }c_{n}a_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle . \end{eqnarray*}

Diese Reihe konvergiert falls $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}a_{n}^{2}$ konvergiert. $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}a_{n}^{2}$ gleicht dann der Norm von $\hat{A}\left\vert \psi \right\rangle $. Das ist also ein Kriterium, dass $\hat{A}\left\vert \psi \right\rangle $ dem Hilbert-Raum angehört.

Diese Eigenschaft erlaubt, die Funktionen von Operatoren $\hat{A}$ zu definieren: Der Operator $F(\hat{A})$ ist definiert durch seine Einwirkung auf die Fkt. $\psi $ so dass

\begin{displaymath} F(\hat{A})\psi =\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}F(a_{n})\left\vert \phi _{n}\right\rangle . \end{displaymath}

Der Operator $F(\hat{A})$ ist eindeutig definiert, falls die Reihe

\begin{displaymath} \sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}\left\vert F(a_{n})\right\vert ^{2} \end{displaymath}

konvergiert.

Bemerkungen:

  1. Die Fkt. $F(\hat{A})\psi $ hängt nicht von einer konkreter Wahl von dem Basis $\left\vert \phi _{n}\right\rangle $.

  2. Das Gleiche gilt, wenn die Basisfunktionen durch mehreren Zahlen $% \left\vert \phi _{n,m,l}\right\rangle $ numeriert werden.

Betrachten wir nun einen Operator $e^{i\xi \hat{A}}$ definiert für alle $% \psi $:

\begin{displaymath} e^{i\xi \hat{A}}\psi =\sum_{n=0}^{\infty }e^{i\xi a_{n}}c_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle , \end{displaymath}

die Reihe konvergiert für alle $\psi \in L^{2}$ da $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}$ für solche Funktionen konvergiert. Wir nehmen jetzt $\psi $ als normiert an, d.h. $\left\langle \psi \vert\psi \right\rangle =1 $.

Jetzt können wir die Verteilung der Werte einer physikalischen Messgröße $A$ für jeden Zustand $\psi $ definieren: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist

\begin{displaymath} f(\xi )=\left\langle e^{i\xi A}\right\rangle \end{displaymath}

die charakteristische Funktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichte $p(A)$. Im klassischen Fall gilt dann (in 1d)

\begin{displaymath} f(\xi )=\int e^{i\xi A}p(A)dA. \end{displaymath}

(Bemerkung: Korrektere Betrachtung benutzt die Notation eines Stiltjes-Integrals: Wenn $F(x)$ die Wahrscheinlichkeit davon ist, dass $x<X$, so

\begin{displaymath} f(\xi )=\int e^{i\xi A}dF(A). \end{displaymath}

Falls die Dichte $p(A)$ existiert, so ist $dF(A)=p(A)dA$.)

Die Verteilungsdichte $p(A)$ folgt durch inverse Fourier-Transform

\begin{displaymath} p(A)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-i\xi A}p(A)dA. \end{displaymath}

Wir postulieren nun, dass auch in Quantenmechanik $\left\langle e^{i\xi \hat{A}}\right\rangle $ die charakteristische Funktion die entsprechende Verteilung der Messwerte von $A$ darstellt. Es gilt

\begin{displaymath} f(\xi )=\sum_{n}w_{n}e^{i\xi a_{n}} \end{displaymath}

mit

\begin{displaymath} w_{n}=\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}. \end{displaymath}

Die Rücktransformation von $f(\xi )$ ergibt dann

\begin{displaymath} p(A)=\sum_{n}w_{n}\delta (A-a_{n}). \end{displaymath}

Der Wert von $A$ kann nur die Werte von $a_{n}$ annehmen, d.h. nur der Eigenwerten des entsprechenden Operators $\hat{A}$. Aus der Parceval-Identität folgt dass

\begin{displaymath} \sum_{n}w_{n}=1, \end{displaymath}

d.h. die Wahrscheinlichkeiten sind richtig normiert.

I.A. ist ein Mittelwert von einer Funktion $F(A)$

\begin{displaymath} \left\langle F(A)\right\rangle =\sum_{n}w_{n}F(a_{n}). \end{displaymath}

Damit $A$ einen scharfen, festen Wert annimmt, ist es notwendig und hinreichend, dass $\psi $ eine Eigenfunktion von $\hat{A}$ ist.

Bemerkung: Charakterisiert man eine WF durch mehreren Indices, z.B. $\psi _{n,l,m}$, (wie für das Wasserstoffatom) wovon $l$ die Eigenfkt. von $A$ (sagen wir $\hat{L}^{2}$) numerieren, so ist

\begin{displaymath} w_{l}=\sum_{n,m}\left\vert c_{n,l,m}\right\vert ^{2}. \end{displaymath}

Man kann auch unabhängig von der charakteristischen Funktion postulieren, dass

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Prof. Igor Sokolov 2005-02-14