Unitäre Transformationen.

Betrachten wir nun einen unitären Operator $\hat{U}$, $\hat{U}^{+}=\hat{U}^{-1}$. Für diesen gilt

$$\left( U^{-1}\right) _{nm}=U_{mn}^{*}.$$

Die Zeilen und Spalten einer unitären Matrix sind orthonormiert: $\hat{U}% ^{+}\hat{U}=\hat{I}$ $\Rightarrow$

$$\sum_{m}\left( \hat{U}^{+}\right) _{im}\hat{U}_{mj}=\delta _... ...m_{m}\left( \hat{U}^{*}\right) _{mi}\hat{U}_{mj}=\delta _{ij}.$$

Betrachten wir jetzt irgendeinen Operator $\hat{A}$. Seien $\left\vert a_{n}\right\rangle$ die Eigenfunktionen dieses Operators. In Basis $\left\vert \phi _{n}\right\rangle$ sind sie als Vektoren $\mathbf{a}_{n}$ mit Elementen $(a_{n1},...a_{nm},...)$ dargestellt, $a_{ni}=\left\langle a_{n}\vert\phi _{i}\right\rangle$. Definieren wir nun eine Matrix

$$\mathbf{U}=\left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & ..... ...} & ... \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \end{array}\right) .$$

Die dazu adjungierte Matrix $\mathbf{U}^{+}$ hat die Elemente $\left( U^{+}\right) _{mj}=U_{jm}^{*}=\left\langle a_{j}\vert\phi _{m}\right\rangle ^{*}=\left\langle \phi _{m}\vert a_{j}\right\rangle$. Daher überzeugt man sich, dass $\mathbf{U}$ unitär ist: $\mathbf{U}^{+}\mathbf{U=I}$. Betrachten wir nun eine Matrix $\mathbf{A}^{\prime }=\mathbf{UAU}^{+}$, mit Elementen

$$\begin{eqnarray*} a_{ij}^{\prime } &=& \sum_{m}\sum_{n}U_{in}A_{nm}U_{mj}^{+}=\s... ...le a_{i}\vert\hat{A}\vert a_{j}\right\rangle =a_{j}\delta _{ij}. \end{eqnarray*}$$

Die Matrix $\mathbf{A}^{\prime }$ ist diagonal! Die unitäre Transformation, die von der Matrix $\mathbf{U}$ (Operator $\hat{U}$) gegeben ist, diagonalisiert $\mathbf{A}$. Diese Transformation, auf die Basisvektoren wirkend, transformiert die Basis $\left\vert \phi _{n}\right\rangle$ in der Basis der Eigenvektoren von $\mathbf{A}$. I.A. transformiert eine unitäre Transformation ein VONS der Basisvektoren in das andere VONS von Basisvektoren.

Bemerkung: Besteht die Basis auch aus uneigentlichen Hilbert-Vektoren (kontinuierliches Spektrum) sollen die Summen durch die Integrale ersetzt werden. Obwohl die Matrixdefinition inm eigentlichen Sinne nicht mehr gilt, redet man trotzdem von Matrizenelementen u.s.w. Die wichtigsten Eigenschaften der Matrizen bleiben dabei bestehen. Die Elemente $P(q,q^{\prime })$ einer ''kontinuierlichen'' Matrix $\mathbf{P}=% \mathbf{AB}$ sind:

$$P(q,q^{\prime })=\int A(q,q^{\prime \prime })B(q^{\prime \prime },q^{\prime })dq^{\prime \prime }.$$

Es wird angenommen, dass die entsprechenden Integrale konvergieren. Die Matrix ist diagonal falls

$$D(q,q^{\prime })=D(q)\delta (q-q^{\prime }).$$

Nicht alle unendlichdimensionalen hermite'sche ''Matrizen'' können durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden, i.e. besitzen einen Spektrum. Wir nehmen aber an, dass alle Operatoren der Observablen können diagonalisiert werden.

Für unendlichdimensionale Matrizen sind die linke und rechte Inverse nicht unbedingt gleich: aus $\mathbf{AB=I}$ folgt nicht unbedingt $\mathbf{% BA=I}$. Für die zueinander inversen Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ sollen die beiden Gleichungen gleichzeitig gelten.

Im Falle des sowohl kontinuierlichen als auch diskreten Spektrums sind die ''Matrizen'' durch ein Gemisch aus kontinuierlichen und diskreten Indizes numeriert.