Verhalten in ferromagnetischen Bereich

$T \le T_c$, $h=0$. Wir betrachten jetzt einige Spezialfälle.

$\bullet$ $T\rightarrow 0$. In diesem Fall $\left \langle \sigma \right \rangle \rightarrow \pm 1$. Daher ist $\tanh x \simeq 1 - 2 \exp( - 2x)$ und $\left \langle \sigma \right \rangle \simeq 1-2 e^ {-2T_c/T}$.

Erklärung: $\frac{kT}{JC}x \equiv \frac{T}{T_c}x \approx 1 - 2e^{-2x}$. Für $T\rightarrow 0$ sieht man, dass $x \rightarrow \infty$, so dass $\frac{T}{T_c} x \rightarrow 1$ und deswegen $x \rightarrow T_c/T$. Diesen Wert kann jetzt in der rechte seite der Gl. eingestellt werden (iteratives Lösen): $xT/T_c \simeq 1 - 2e^{-2T_c/T}$ und somit $\left \langle \sigma \right \rangle = xT/T_c \simeq 1-2 e^ {-2T_c/T}$.

$\bullet$ $T \rightarrow T_c^-$. In diesem Fall $\left \langle \sigma \right \rangle \rightarrow 0$ und somit $x \rightarrow 0$. Es gilt $\tanh x \simeq x-x^3/3$ so dass $\left \langle \sigma \right \rangle =(T_c/T)\left \langle \sigma \right \rangle + \frac{1}{3}(T_c/T)^3 \left \langle \sigma \right \rangle^3$. Die nichttriviale Lösung der Gleichung ist:

$$\left \langle \sigma \right \rangle = \left[ 3 \underbrace{... ... \right]^{1/2 \displaystyle \leftarrow \mbox{krit. Exponente}}$$

mit $\tau$ - reduzierte Temperatur. Experimentell ist das Verhalten von Magnetisierung $M \propto \left \langle \sigma \right \rangle$ gut bestätigt (Fe, Ni, Co), mit der Aunahme der unmittelbaren Umgebung des kritischen Punktes.

Innere Energie des Systems in MFA ($h=0$).

$$E(T)=\left \langle H \right \rangle = =\left \langle -J \sum... ...angle = - \frac{NJC}{2} \left \langle \sigma \right \rangle^2.$$

Spezifische Wärme (eigentlich, Spinanteil an der gesamten spezifischen Wärme):

$$C_{h=0} = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{h=0}... ...c{\partial \left \langle \sigma \right \rangle}{\partial T}.$$

Damit ist

$\bullet$ Für $T>T_c$: $E(T)=0$ und $C_{h=0}=0$.

$\bullet$ Für $T \rightarrow T_c^-$: $E(T)=-\displaystyle \frac{3NJC}{2} \left( 1- \frac{T}{T_c} \right)$ und $C_{h=0}=\displaystyle \frac{3}{2} \frac{NJC}{T_c} = \frac{3}{2} Nk$

Die spezifische Wärme erfährt einen endlichen Sprung bei $T_c$

$\bullet$ Für $T\rightarrow 0$: $E(T)=-\displaystyle \frac{NkT_c}{2} \left( 1- 2e^{-2\frac{T_c}{T}} \right)^2$ und $C_{h=0}=4Nk \left(\displaystyle \frac{T_c}{T} \right)^2 e^{-2\frac{T_c}{T}}$.

Die Entropie des Systems oberhalb $T_c$ bleibt konstant, da $C_h=0$. Die Entropie bei $T_c$ ist:

$$S(T_c)=\int_0^{T_c} \frac{C_h(T)dt}{T} = -NJC \int_1^0 \frac... ...sigma \right \rangle d \left \langle \sigma \right \rangle}{T}.$$

Variablenwechsel $$\frac{JC}{kT} \left \langle \sigma \right \rangle =x$$, anhand der MFA-Gleichung $\left \langle \sigma \right \rangle = \tanh x$ so dass $x=\mbox{atanh} \left \langle \sigma \right \rangle$:

$$S(T_c)=Nk \int_0^1 \mbox{atanh}x dx = \frac{Nk}{2} \int_0^1 \ln \frac{1+x} {1-x} dx = Nk\ln2.$$

Das Resultat kann kombinatorisch leicht verstanden werden: für $T \ge T_c$ alle $2^N$ Realizierungen der Spinrichtungen sind gleichwahrscheinlich; $S=k \ln (2^N) =Nk\ln2$.