Das Ising-Modell in einer Dimension

In 1D gibt es eine einfache, exakte Lösung, die durch die Transfermatrizen- Methode geliefert wird (KRAMES und WANNIER, 1941). Die Methode ist universal anwendbar für 1D Systeme; wir erläutern diese am Beispiel des Ising-Modells.

Wir berechnen die Zustandssumme eines Ising-Systems auf einem Ring ($N$ Gitterplatze), d.h. für periodische Randbedingungen. In thermodynamischen Limes $N \rightarrow \infty$ sollen sie keine Rolle spielen.

$$Z = \sum_{\sigma_1=\pm1}\sum_{\sigma_2=\pm1}...\sum_{\sigma_N=\pm1} \... ...J}{kT}(\sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + ... + \sigma_N \sigma_1) \right.$$

$$\left. + \frac{h}{kT}(\sigma_1 + \sigma_2 +...+ \sigma_N) \right]$$

$$=\sum_{\sigma_1=\pm1}\sum_{\sigma_2=\pm1}...\sum_{\sigma_N=\pm1} V_{\sigma_1 \sigma_2}V_{\sigma_2 \sigma_3}...V_{\sigma_N \sigma_1}$$

mit

$$V_{\sigma_i \sigma_{i+1}}=\exp \left[ \frac{J}{kT}\sigma_i \sigma_{i+1} +\frac{h}{2kT} (\sigma_i + \sigma_{i+1}) \right].$$

Die $V_{\sigma_i \sigma_{i+1}}$ können als Elemente einer Matrix

$$\mathbf{V} = \left( \begin{array}{cc} e^{(J+h)/kT} & e^{-J/kT} \\ e^{-J/kT} & e^{(-J+h)/kT} \end{array}\right)$$

angesehen werden. Das Gesamtzustandssumme bekommt dann die folgende Darstellung:

$$Z= Sp \left(\mathbf{V}^N \right).$$

$\mathbf{V}$ ist symmetrisch und kann diagonalisiert werden. In der Diagonaldarstellung ist $Sp \left( V^N \right) = \lambda_+^N + \lambda_-^N$, wobei $\lambda_+$ und $\lambda_-$ die Eigenwerte von $\mathbf{V}$ sind. Für $\vert\lambda_+\vert > \vert\lambda_-\vert$ hat man im Grenzfall $N \rightarrow \infty$ $Z= \lambda_+^N$. Die Eigenwerte der Matrize $\mathbf{V}$ sind:

$$\lambda_\pm = e^{J/kT}\cosh(h/kT) \pm \left[ e^{2J/kT}\sinh^2 (h/kT) + e^{-2J/kT} \right]^{1/2}.$$

Daher, in thermodynamischen Grenzfall $N \gg 1$

$$f = \frac{F}{N}=-\frac{kT}{N} \ln Z = -kT\ln \left\{ e^{J/k... ... e^{2J/kT}\sinh^2 (h/kT) + e^{-2J/kT} \right]^{1/2} \right\}.$$

$\lambda_+$ und somit $F$ hat keine Pole, Nulstellen od. andere Singularitäten für $h,T>0$ $\Rightarrow$ es gibt keinen Phasenübergang bei $T>0$. In Abwesenheit eines Feldes ist

$$F(N,T,h=0)= -kTN \ln \left[2 \cosh \left( \frac{J}{kT} \right) \right]$$

und

$$E(N,T,h=0)=-T^2 \left[ \frac{\partial}{\partial T} \left( \f... ...} \right) \right]_{N,h}= -NJ \tanh \left( \frac{J}{kT}\right).$$

und

$$C_{h=0}= \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{h=0} = \frac{NJ^2}{kT^2}\mbox{sech}^2 \left( \frac{J}{kT}\right)$$

($C_{h=0}$ verschwindet für $T=0$, wächst monoton an bei kleinem $T$, hat einen Maximum $C_{h=0}=Nk/2$ bei $kT/J=1$, und fällt dann monoton ab). Die Magnetisierung ist

$$m= - \left( \frac{\partial F}{\partial h} \right)_{T} = \frac{\sinh (h/kT)}{[e^{4J/kT}+\sinh^2(h/kT)]^{1/2}}$$

$\bullet$ Bei höheren Felder $h \gg kT$ saturiert die Magnetisierung.

$\bullet$ Bei niedrigen Felder: Lineare Näherung $m \simeq (h/kT) e^{2J/kT}$. Die Suszeptibilität $\chi \propto T^{-1}e^{2J/kT}$. Für $T\rightarrow 0$ divergiert die Suszeptibilität: Es gibt einen ''Phasenübergang'' bei $T=0$.