Dichteschwankungen des idealen Gases

Bestimmung der mittleren quadratischen Schwankung der Teilchenzahl.

Der Mittelwert einer beliebigen physikalischen Größe $A$ ist

$$\left\langle A_{\nu }\right\rangle =\sum_{\nu }A_{\nu }w_{\nu }$$

($A_{\nu }$ ist der Wert von $A$ im Zustand $\nu$ des Systems). Somit gilt

$$N=\left\langle N_{\nu }\right\rangle =\sum_{\nu }N_{\nu }w_{\nu }$$

und

$$\left\langle N_{\nu }^{2}\right\rangle =\sum_{\nu }N_{\nu }^{2}w_{\nu }.$$

Dann ist die mittlere quadratische Schwankung

$$\begin{eqnarray*} \left\langle \left( N_{\nu }-N\right) ^{2}\right\rangle &=&\le... ...gle +N^{2} \\ &=&\left\langle N_{\nu }^{2}\right\rangle -N^{2}. \end{eqnarray*}$$

Nun ist

$$N=\frac{1}{Z}\sum_{\nu }N_{\nu }e^{\mu N/kT-E_{\nu }/kT}.$$

Dann

$$\left( \frac{\partial }{\partial \mu }\left( NZ\right) \righ... ...2}w_{\nu }=\frac{Z}{kT}\left\langle N_{\nu }^{2}\right\rangle$$

$\Rightarrow$

$$\left\langle N_{\nu }^{2}\right\rangle =\frac{kT}{Z}\left( \... ...,V}+kT\left( \frac{\partial N}{\partial \mu }% \right) _{T,V}.$$

Aus Gl.(6) folgt für ein Idealgas, dass $kTN\left( \frac{% \partial }{\partial \mu }\ln Z\right) _{T,V}=kTN\frac{1}{kT}\ln Z=N\ln Z=N^{2}$ (die letzte Gleichung folgt aus Gl.(8)). Außerdem gilt:

$$kT\left( \frac{\partial N}{\partial \mu }\right) _{T,V}=kT/\left( \frac{% \partial \mu }{\partial N}\right) _{T,V}$$

Unter Benutzung der Gl.(10) und der Zustandsgleichung $p=V/NkT$ bekommt man $kT\left( \frac{\partial N}{\partial \mu }\right) _{T,V}=N$. $% \Rightarrow$ $\left\langle N_{\nu }^{2}\right\rangle =N^{2}+N$. Schließlich, ergibt sich

$$\left\langle \left( N_{\nu }-N\right) ^{2}\right\rangle =N.$$

Die mittlere relative Schwankung ist damit

$$\frac{\sqrt{\left\langle \left( N_{\nu }-N\right) ^{2}\right\rangle }}{N}=% \frac{1}{\sqrt{N}}=\sqrt{\frac{kT}{pV}}.$$

Für die Ableitung ist eine statistische Betrachtung nötig: das Ergebnis liegt außerhalb der Reichweite der Thermodynamik.