Bose-Einstein Statistik

(Satyendra Nath Bose (1924) für Photonen, A. Einstein für massive Teilchen, 1925)

Voraussetzung: Bosonen (Teilchen mit ganzzahligen Spin), nicht durch das Pauli-Verbot eingeschränkt. Beispiele: Photonen, Phononen, He$^{4}$-Atome,...

Annahme: Nichtwechselwirkende Teilchen $\Rightarrow$ ideale Bose-Gas.

Seien die Einteilchen-Energieniveaus $\epsilon _{i}$. Ein Zustand $\nu$ des Systems ist durch die Besetzungszahlen $n_{i}^{\nu }$ definiert ( $n_{i}^{\nu }=0,1,...$). Teilchen sind ununterscheidbar, ihre Gesamtzahle $N_{\nu }=\sum_{i}n_{i}$ und die Gesamtenergie $E_{\nu }=\sum_{i}\epsilon _{i}n_{i}$ in Zustand $\nu$ sind fixiert. Die großkanonosche Zustandssumme lautet:

$$Z_{BE}=\sum_{\nu }e^{-E_{\nu }/kT+\mu N_{\nu }/kT}=\sum_{\nu... ...eft( e^{\frac{\mu -\epsilon _{i}}{kT}}\right) ^{n_{i}^{\nu }}$$

Die Summe über $\nu$ geht über alle Möglichkeiten, die Besetzungszahlen $n_{i}^{\nu }$ auszuwählen, so daß alle mögliche Kombinationen von $\left( e^{\frac{\mu -\epsilon _{i}}{kT}}\right) ^{n_{i}^{\nu }}$ aufsummiert sind. Somit

$$Z_{BE}=\sum_{\nu }\prod_{i}\left( e^{\frac{\mu -\epsilon _{i... ...{i}^{\nu }}=\prod_{i}\frac{1}{1-e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}}.$$ (11)

Die Geometrische Reihe konvergiert nur wenn $e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}<1$, d.h. $\mu <\epsilon _{i}$ für alle Einteilchenzustände $i$. Aus Gl.(11) folgt:

• $\Omega _{BE}=-kT\ln Z_{BE}=kT\sum_{i}\ln \left( 1-e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}\right) =-pV$

• $N=\sum_{i}n_{i}=-\left( \partial \Omega /\partial \mu \right) _{T,V}=\sum_{i}\l... ...^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}/\left( 1-e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}\right) \right]$ $\Rightarrow$
  
  $$N=\sum_{i}\frac{1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}-1}.$$
  
  
  Mittlere Besetzungszahl des Einteilchenniveaus $i$ ist
  
  $$n_{i}=\frac{1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}-1}.$$
  
  
  Wenn wir die Energie des Grundzustandes gleich 0 setzen, so ist es $\mu <0$.