Fermi-Dirac Statistic

(E. Fermi, 1926; der Zusammenhang mit der Quantenmechanik wurde vom P.M. Dirac geklärt (1926)). Voraussetzung: Fermionen (Teilchen mit halbzahligen Spin). Pauli-Verbot $\Rightarrow$ die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände sind entweder 0 oder 1: $n_{i}^{\nu }=0$ oder 1. Beispiele: Elektronen, Protonen, He$^{3}$-Atome. Die Großkanonische Zustandssumme lautet:

$$Z_{FD}=\sum_{\nu }e^{-E_{\nu }/kT+\mu N_{\nu }/kT}=\prod_{i}... ...^{\nu }}=\prod_{i}\left[ 1+e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}\right]$$

$\Rightarrow$

• $\Omega _{FD}=-kT\ln Z_{FD}=kT\sum_{i}\ln \left( 1+e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}\right) =-pV$

• $N=\sum_{i}n_{i}=-\left( \partial \Omega /\partial \mu \right) _{T,V}=\sum_{i}\l... ...^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}/\left( 1+e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}\right) \right]$
  
  $$N=\sum_{i}\frac{1}{1+e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}.$$
  
  
  Mittlere Besetzungszahl des Einteilchenniveaus $i$ ist
  
  $$n_{i}=\frac{1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}.$$
  
  
  Für Fermionen gibt es keine Begrenzungen auf $\mu$-Werte: $-\infty <\mu <\infty$.

Bemerkung: Für klassische Teilchen (Maxwell-Boltzmann Statistik) erhält man

$$Z_{MB}=\sum_{N}e^{\mu N/kT}\frac{1}{N!}z^{N}$$

mit $z=\sum_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}$ (kanonische Zustandssumme für Einzelteilchen). Damit ist

$$Z_{MB}=\exp \left( e^{\mu /kT}z\right) =\exp \left[ \sum_{i}... ...ht] =\prod_{i} \exp\left[ e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}\right] .$$

Das heisst

• $\Omega _{FD}=-kT\ln Z_{FD}=kT\sum_{i} \exp \left( \frac{\mu -\epsilon _{i}}{kT} \right)=-pV$

• $N=\sum_{i}n_{i}=-\left( \partial \Omega /\partial \mu \right) _{T,V}=\sum_{i}e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}$

  Die mittlere Besetzungszahl des Einteilchenniveaus $i$ ist
  

  $$n_{i}=e^{(\mu -\epsilon _{i})/kT}$$