Phononen: Das Debye-Modell

Das Modell von EINSTEIN zur spezifischen Wärme der Festkörper hat zu zu kleinen Werten von $C_V$ bei tiefen Temperaturen geführt. Nach DEBYE soll man das Bose-Gas der Phononen (quantisierte Schallwellen) in Festkörpern als das eigentliche dafür verantwortliche System betrachten. Es gibt daher nicht die einheitliche Schwingungsfrequenz $\nu$, sondern einen Satz von Schwingungsfrequenzen $\nu_i$ (Eigenfrequenzen der möglichen Schwingungsmoden des Systems aus $N$ wechselwirkenden Atome). Da es insgesamt $3N$ Freiheitsgrade gibt, gibt es genau $3N$ solcher Frequenzen. Für jedem solchen Oszillator gilt:

$$\epsilon_i=h \nu_i \left( n_i +\frac{1}{2} \right).$$

In bekannter Weise folgt:

$$Z=\exp \left( -\sum_{i=1}^{3N}\frac{h\nu_i}{2kT} \right) \prod_{i=1}^{3N} \frac{1}{1-e^{h\nu_i /kT}}$$

(der erste Multiplikator entspricht den Nullpunktenergien der Oszillatoren). Daher gilt:

$$F=-kTlnZ=\sum_{i=1}^{3N}\frac{h\nu_i}{2} + kT\sum_{i=1}^{3N}\ln \left(1- e^{h\nu_i / kT} \right)$$

und

$$E=F+TS=F-T\left( \frac{\partial F}{\partial T} \right) = \s... ...c{h\nu_i}{2} + \sum_{i=1}^{3N}\frac{h\nu_i}{e^{h\nu_i /kT}-1}.$$

Übergang zum Kontinuum: Anregungen sind die Quantisierte Wellen mit linearen Dispersionsgesetz und dem Wellenvektor $k=2\pi \nu/c_S$ ($c_S$ - Schallgeschwindigkeit in entsprechender Richtung).

Im Gegensatz zu Photonen, gibt es hir 3 möglicher Polarizationsrichtungen (2 transversale und 1 longitudinale Welle). Einfachheitshalber nehmen wir die Schalgeschwindigkeit in alle diese Richtungen als gleich an. Somit ist die Zustandsdichte der Phononen

$$D(\nu)=3 \frac {4\pi V}{c_S^3} \nu^2.$$

Man beachte dass die Anzahl alle Oszillatoren $3N$ ist. Es existiert deswegen eine maximale Frequenz der Schwingungen $\nu_D$ (die DEBYE-Frequenz), so dass

$$3N=\int_0^{\nu_D} D(\nu) d\nu.$$

Diese ist dann:

$$\nu_D = \left( \frac{3N}{4\pi V} \right)^{1/3} c_S.$$

Damit ist die innere Energie

$$E=E_0 + \frac{12 \pi V}{c_S^3} \int_0^{\nu_D} \frac{h\nu^3 \, d\nu} {e^{h\nu / kT} -1}.$$

Unter Einfhrung der DEBYE-Temperatur $\Theta_D = h \nu_D/k$ erhält man:

$$E=E_0+3NkT \cdot 3 \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int... ...uiv E_0 + 3nkT \mathcal{D} \left( \frac{\Theta_D}{T} \right),$$

mit der DEBYE-Funktion

$$\mathcal{D}(y)=\frac{3}{y^3}\int_0^{y} \frac{x^3 \, dx}{e^x-1}.$$

Das Grenzwertverhalten der Debye-Fkt.

$$\mathcal{D}(y) \simeq \left\{ \begin{array}{lll} \displayst... ...& y \gg 1 \\ 1 & \mbox{f\uml ur} & y \ll 1 \end{array}\right.$$

gibt Aufrschlüsse über thermodynamische Verhalten des Debye-Modells:

$$E \simeq \left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle E_0 + \fr... ...\\ 3NkT & \mbox{f\uml ur} & T \gg \Theta_D \end{array}\right.$$

und, entsprechend,

$$C_V \simeq \left\{ \begin{array}{llll} \displaystyle \frac{... ...& T \gg \Theta_D & \mbox{(Dulong - Petit)}. \end{array}\right.$$