Zustandsgleichung des Photonengases

Bose-Gas mit $\mu=0$ $\Rightarrow$

$$pV=-\Omega=kT \ln Z = -kT \sum_i \ln \left( 1-e^{-\epsilon_i /kT} \right).$$

Der Kontinuumsübergang ergibt

$$pV=-kT \frac{8\pi V}{c^3} \int_0^{\infty} \nu^2 \ln \left(1-e^{-h \nu /kT} \right) d\nu.$$

Nach der partiellen Integration erhält man:

$$pV=\frac{8 \pi h V}{3 c^3} \int_0^{\infty} \frac{\nu^3 \, d\nu} {e^{h \nu / kT}-1} \equiv \frac{E}{3}.$$

Bemerkung 1: Die beiden Teile der Gleichung sind proportional zu $V$, daher hängt der Druck $p=u(T)$ nur von der Temperatur und nicht von dem Volumen ab.
Bemerkung 2: Vgl.: für Bose-Gas aus massiven Teilchen hat man $pV=2E/3$. Das Vorfaktor vor $E$ hängt unmittelbar mit der Form des Dispersionsgesetzes $\epsilon \propto p$ bzw. $\epsilon \propto p^2$ zusammen.