Zustandssumme des Ising-Modells

$$Z(h,T,N)=\sum_{\sigma_1=\pm 1} \sum_{\sigma_2 =\pm 1} ... \s... ... \sum_{nn} \sigma_i \sigma_j + h \sum_i \sigma_i}{kT} \right).$$

Aus $Z$ folgen alle thermodynamische Funktionen. Von Interesse sind:

$\bullet$ Das Potential $F(T,N,V,h)=-kT\ln Z(T,N,h)$ (''freie Enthalpie für Magnetika''). Dieses wird oft als die ''freie Energie'' bezeichnet, obwohl die richtige freie Energie eigentlich die Funktion von einer extensiven Variable $M$ sein sollte. Solche richtige Form, $\mathcal{F}=F-HM$ wird z.B. in der Landau-Theorie vorausgesetzt. Das gleiche gilt auch für die entsprechende innere Energie.

$\bullet$ Innere Energie $E(h,T,N)=-kT^2\displaystyle \frac{\partial}{\partial T} lnZ$

$\bullet$ Spezifische Wärme $C_h =\displaystyle \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{h,N} =-T \left( \frac{\partial^2 F}{\partial T^2} \right)_{h,N}$

$\bullet$ Magnetisierung $m(h,T) = \displaystyle \left \langle \sum_i \sigma_i \right \rangle =kT \left( ... ...{\partial h} \right)_{T,N} = \left( \frac{\partial F}{\partial h} \right)_{T,N}$

Ziel: Exakte oder näherungsweise Bestimmung von $Z$.