Hilfsaufgabe: Freie Spins im Magnetfeld

• $J=0$

Die Energie (''Hamilton-Funktion'') lautet

$$H=-h\sum_{i}\sigma _{i}$$

Die Zustandssumme ist:

$$\begin{eqnarray*} Z &=&\sum_{\sigma _{1}=\pm 1}...\sum_{\sigma _{N}=\pm 1}\exp \... ...\acute{}+e^{-h/kT}\right) ^{N}=\left[ 2\cosh (h/kT)\right] ^{N}. \end{eqnarray*}$$

Daher gilt:

$$F=-kT\ln Z=-NkT\ln \left[ 2\cosh (h/kT)\right]$$

und

$$m=-\left( \frac{\partial F}{\partial h}\right) _{T,N}=N\tanh \left( \frac{h}{% kT}\right) .$$

• Für tiefe Temperaturen / hohe Felder $m/N\rightarrow 1$ (Saturation).

• Für hohe Temperaturen $m\simeq \frac{N}{kT}h$, d.h. die Suszeptibilität $\chi =\left( \frac{\partial m}{\partial h}\right) _{T,N}=\frac{const}{T}$ (Curie-Gesetz für paramagnetisches Verhalten, kein Phaseübergang).