Die Molekularfeldnäherung

(am Beispiel des Ising-Modells).

Die Energie (''Hamilton-Funktion'') lautet

$$H=-h\sum_{i}\sigma _{i}-J\sum_{nn}\sigma _{i}\sigma _{j}$$

Idee: Wenigstens bei einem großen Zahl der Nachbarn kann man annehmen, dass

$$\sum_{nn}\sigma _{i}\sigma _{j}\approx C\sigma _{i}\left\langle \sigma _{j}\right\rangle$$

mit $C$ - Koordinationszahl (Anzahl der Nachbarn). Aus der Annahme von Selbstkonsistenz $\left\langle \sigma _{j}\right\rangle =\left\langle \sigma _{i}\right\rangle =\left\langle \sigma \right\rangle$ ( $\left\langle \sigma \right\rangle$ ist der Mittelwert des Spins im ganzen System). Dadurch bekommt man als effektive Hamilton-Funktion

$$H_{MF}=-h-JC\left\langle \sigma \right\rangle \sum_{i}\sigma _{i}=-h_{eff}\sum_{i}\sigma _{i}$$

mit

$$h_{eff}=h+JC\left\langle \sigma \right\rangle$$ (21)

dem Molekularfeld (mean field). Die Zustandssumme in solcher Näherung ist:

$$Z_{MF}=2\cosh \left( \frac{h_{eff}}{kT}\right) ,$$

und

$$\left\langle \sigma \right\rangle =\frac{\sum_{i,\sigma _{i}... ...f}\sigma _{i}/kT}}{Z}=\tanh \left( \frac{h_{eff}}{kT}\right) ,$$

wie in dem Fall der nichtwechselwirkender Spins. Aus der Gl.(21) folgt dann die Selbstkonsistenzbedingung

$$\left\langle \sigma \right\rangle =\tanh \left( \frac{h+JC\left\langle \sigma \right\rangle }{kT}\right) .$$

$\bullet$ Verhalten für $h=0$. Einführen $x=JC\left\langle \sigma \right\rangle /kT$. Die Selbstkonsistenzgl. liest sich:

$$\frac{kT}{JC}x=\tanh x.$$

Bei hohen Temperaturen existiert nur eine Lösung, $x=0$, d.h. $% \left\langle \sigma \right\rangle =0$. Für niedrige Temperaturen: 3 Lösungen, $x=0$ und $x=\pm x_{0}$, d.h. $\left\langle \sigma \right\rangle =\pm \frac{kT}{JC}x_{0}$: Es entsteht eine spontane Magnetisierung in Abwesenheit des Feldes, ein Zeichen des ferromagnetischen Verhaltens. Der Übergang zwischen 2 Regime findet bei kritischer Temperatur $T_{c}$ statt, wenn die Gerade $y=\frac{kT}{JC}x$ tangential zu $\tanh x$ ist. $\Rightarrow$ $kT_{c}/JC=1$

$$T_{c}=\frac{JC}{k}.$$

so dass

$$x=\frac{JC}{kT} \left \langle \sigma \right \rangle \equiv \frac{T_c}{T} \left \langle \sigma \right \rangle.$$