Resultate für das Ising-Modell in zwei Dimensionen

Hier geben wir nur eine Übersicht der Resultaten. Die Exakte Lösung für die Zustandssumme ohne Feld: ONSAGER, 1944. Vereinfachungen: NEWELL and MONTROLL (1953), DOMB (1960), HUAN (1963), SCHULTZ, MATTIS und LIEB (1964), und viele andere. Die wesentliche Vereinfachung: VDOVICHENKO (1964). Das Zugang basiert auf der Methode der unsere vorherige Ausführung recht ähnlich ist (Siehe Nolting, º 4.4).

Ergebnis:

$$\frac{1}{N} \ln Z(h=0,T,N)= \ln \left\{ 2 \cosh \left( \frac{2J}{kT} \right)\right\} +$$

$$\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi d \phi \ln \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{2 \sinh(2J/kT)}{\cosh^2(2J/kT)} \sin^2 \phi} \right] .$$

Folgerungen:

$$\frac{J}{kT_c}=\frac{1}{2}\ln \left( 1+\sqrt{2} \right) \approx 0.4407.$$

(Vgl: MFA $\frac{J}{kT_c} = 1/4=0.25$, Bethe $\frac{J}{kT_c} = \ln2/2=0.347...$). Die exakte Übergangstemperatur ist kleiner als die von der Näherungen gegebene. Die innere Energie und die spezifische Wärme lassen sich analytisch durch elliptische Integrale ausdrucken. In der Nähe von $T_c$ ist

$$C_{h=0}(T)=\frac{8Nk}{\pi} \left( \frac{J}{kT_c} \right)^2 \... ... \ln \left( \frac{2kT_c}{J} \right) - 1-\frac{\pi}{4} \right],$$

so dass

$${C_{h=0} \over Nk} \simeq -0.4945 \ln \left\vert 1- \frac{T}{T_c} \right\vert + const,$$

d.h. die spezifische Wärme divergiert logarithmisch am $T_c$ (vgl. mit einem endlichen Sprung bei der MF oder Bethe Näherungen).

Spontane Magnetisierung. Hier ist die Lösung für $h \neq 0$ benötigt. (Die Lösung wurde von Onsager 1949 angekündigt, ist aber nie publiziert worden.) Die erste publizierte Lösung stammt von YANG (1952). Im Grenzfall $h \rightarrow 0$ hat man

$$m \simeq \left\{ \begin{array}{ll} \left\{1-\left[\sinh(2J/... ...4} \right\}^{1/8} & T < T_c \\ 0 & T>T_c \end{array}\right. .$$

Spezialfälle:

$$\begin{array}{ll} T \rightarrow 0 & m\simeq 1-2e^{-8J/kT} \\... ...ystyle 1.2224 \left( 1- \frac{T}{T_c} \right)^{1/8} \end{array}$$

Der entsprechende kritische Exponent $\beta=1/8$ ist kleiner als in der MF. Das Phasenübergang wirkt sich im Ordnungsparameter sehr ausgeprgt aus, die Näherungen weichen diesen Effekt auf.