Die Korrelationslänge

Berechnen wir für $h=0$ die Wahrscheinlichkeit $p$, dass Spins $l$ und $l'$ gleichgerichtet sind ($l<l'$). Diese Wahrscheinlichkeit ist mit der Korrelationsfunktion $\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle$ verbunden: $\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle = p - (1-p) =2p-1$. Berechnung von $\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle$:

$$\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle = Z^{-1} \sum ... \sum V_{\sigma_1 \sigma_2}...V_{\sigma_{l-1} \sig... ...-1} \sigma_l'} \sigma_l' V_{\sigma_{l'} \sigma_{l'+1}}... V_{\sigma_N \sigma_1}$$

$$= Z^{-1} Sp \left[ \mathbf{V}^l \mathbf{S} \mathbf{V}^{l'-l} \mathbf{S} \mathbf{V}^{N-l'} \right],$$

mit

$$\mathbf{S} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right).$$

Für $h=0$ hat die Matrix $\mathbf{V}$ die Eigenwerte $\lambda_\pm= e^{J/kT} \pm e^{-J/kT}$ und die Eigenvektoren $${1 \choose 1}$$ und $${1 \choose -1}$$. In der Diagonaldarstellung von $\mathbf{V}$ ist $\mathbf{S} = \displaystyle{\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)}$. Damit ist

$$\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle = Z^{-1} S... ...N-l'} & 0 \\ 0 & \lambda_-^{N-l'} \end{array}\right) \right].$$

Da

$$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \... ...lambda_-^{l'-l} & 0 \\ 0 & \lambda_+^{l'-l} \end{array}\right)$$

bekommt man

$$\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle = \frac{\l... ...} = \left[ \tanh \left( \frac{J}{kT} \right) \right]^{l'-l}.$$

Für $T>0$ nimmt $\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle$ exponentiell mit dem Abstand $\vert l' - l\vert$ ab:

$$\left \langle \sigma_l \sigma_{l'} \right \rangle \propto \exp \left( - \frac{\vert l' - l\vert}{\xi(T)} \right)$$

Die Korrelationslänge $\xi(T)= \ln [ \tanh(J/kT)]$ (Reichweite der Ordnung) divergiert für $T\rightarrow 0$.