next up previous
Nächste Seite: Die Dichtematrix Aufwärts: Spezifische Aspekte der Beschreibung Vorherige Seite: Spezifische Aspekte der Beschreibung

Reine Zustände

Eine physikalische Observable $A$ wird durch einem Hermitischen Operator $A$ beschrieben:

\begin{displaymath}
\left\langle A\right\rangle =\int \psi ^{*}A\psi dx\equiv \left\langle \psi
\right\vert A\left\vert \psi \right\rangle .
\end{displaymath}

Die Zustände des Quantensystems kann man stets einem Hilbert-Vektoren (Wellenfunktionen) $\left\vert \psi \right\rangle =\psi (\mathbf{x},t)$ zuordnen.

Reine Zustände (Anfangswertproblem): $\psi $ kann in eine orthonormale Basis der Eigensuständen entwickelt werden:

\begin{displaymath}
\psi (x,t)=\sum_{n}c_{n}\phi _{n}(x,t).
\end{displaymath}

Matrizendarstellung eines Operators:

\begin{displaymath}
A_{mn}=\int \phi _{m}^{*}A\phi _{n}dx\equiv \left\langle m\right\vert A\left\vert
n\right\rangle .
\end{displaymath}

Die quantenmechanische Mittelwerte sind daher

\begin{displaymath}
\left\langle A\right\rangle =\sum_{m,n}A_{mn}c_{m}^{*}c_{n}.
\end{displaymath}

Sei $H$ das Hamilton-Operator

\begin{displaymath}
i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial t}=H\psi .
\end{displaymath}

Dann

\begin{displaymath}
i\hbar \frac{\partial c_{n}}{\partial t}=\sum_{l}H_{nl}c_{l}
\end{displaymath}

mit $H_{nl}=\left\langle n\right\vert H\left\vert l\right\rangle $. Daher:

\begin{eqnarray*}
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}c_{n}c_{m}^{*} &=&i\hbar c_...
...^{*}\sum_{l}H_{nl}c_{l}-i\hbar
c_{n}\sum_{l}H_{ml}^{*}c_{l}^{*}.
\end{eqnarray*}

Man hat $H_{ml}^{*}=H_{lm}$, da $H$ Hermitisch. Dann:
\begin{displaymath}
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}c_{n}c_{m}^{*}=\sum_{l}\left(
H_{nl}c_{l}c_{m}^{*}-c_{n}c_{l}^{*}H_{lm}\right) .
\end{displaymath} (23)

Für einen beliebegen Operator $A$ folgt dann

\begin{eqnarray*}
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\langle A\right\rangle...
...}^{*}A_{mn}H_{nl}-\sum_{n,l}%
\sum_{m}c_{n}c_{l}^{*}H_{lm}A_{mn}
\end{eqnarray*}

Alle Summationsindizes können umbennant werden, so dass folgt

\begin{eqnarray*}
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\langle A\right\rangle...
...t) \\
&\equiv &\left\langle \left[ H,A\right] _{-}\right\rangle
\end{eqnarray*}

(man kann auch sagen dass $\displaystyle i\hbar \frac{\partial }{\partial t}A=\left[H,A\right] _{-}$).



Prof. Igor Sokolov 2004-07-01