Reine Zustände

Eine physikalische Observable $A$ wird durch einem Hermitischen Operator $A$ beschrieben:

$$\left\langle A\right\rangle =\int \psi ^{*}A\psi dx\equiv \left\langle \psi \right\vert A\left\vert \psi \right\rangle .$$

Die Zustände des Quantensystems kann man stets einem Hilbert-Vektoren (Wellenfunktionen) $\left\vert \psi \right\rangle =\psi (\mathbf{x},t)$ zuordnen.

Reine Zustände (Anfangswertproblem): $\psi$ kann in eine orthonormale Basis der Eigensuständen entwickelt werden:

$$\psi (x,t)=\sum_{n}c_{n}\phi _{n}(x,t).$$

Matrizendarstellung eines Operators:

$$A_{mn}=\int \phi _{m}^{*}A\phi _{n}dx\equiv \left\langle m\right\vert A\left\vert n\right\rangle .$$

Die quantenmechanische Mittelwerte sind daher

$$\left\langle A\right\rangle =\sum_{m,n}A_{mn}c_{m}^{*}c_{n}.$$

Sei $H$ das Hamilton-Operator

$$i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial t}=H\psi .$$

Dann

$$i\hbar \frac{\partial c_{n}}{\partial t}=\sum_{l}H_{nl}c_{l}$$

mit $H_{nl}=\left\langle n\right\vert H\left\vert l\right\rangle$. Daher:

$$\begin{eqnarray*} i\hbar \frac{\partial }{\partial t}c_{n}c_{m}^{*} &=&i\hbar c_... ...^{*}\sum_{l}H_{nl}c_{l}-i\hbar c_{n}\sum_{l}H_{ml}^{*}c_{l}^{*}. \end{eqnarray*}$$

Man hat $H_{ml}^{*}=H_{lm}$, da $H$ Hermitisch. Dann:

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}c_{n}c_{m}^{*}=\sum_{l}\left( H_{nl}c_{l}c_{m}^{*}-c_{n}c_{l}^{*}H_{lm}\right) .$$ (23)

Für einen beliebegen Operator $A$ folgt dann

$$\begin{eqnarray*} i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\langle A\right\rangle... ...}^{*}A_{mn}H_{nl}-\sum_{n,l}% \sum_{m}c_{n}c_{l}^{*}H_{lm}A_{mn} \end{eqnarray*}$$

Alle Summationsindizes können umbennant werden, so dass folgt

$$\begin{eqnarray*} i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\langle A\right\rangle... ...t) \\ &\equiv &\left\langle \left[ H,A\right] _{-}\right\rangle \end{eqnarray*}$$

(man kann auch sagen dass $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}A=\left[H,A\right] _{-}$$).