Die Dichtematrix

Jetzt betrachten wir eine Gesamtheit von nichtwechselwirkenden Systemen (Kopien), von gleicher Beschaffenheit, die sich unter gleichen makroskopischen Bedingungen entwickeln: wir betrachten jetzt einen mikrokanonischen Fall, in dem jedes System einem anderen mikroskopischen Anfangsbedingung genügt. Für jede Kopie nimmt dann $c_{n}c_{m}^{*}$ einen anderen Wert an. Dann gilt

$$\left\langle \left\langle A\right\rangle \right\rangle \equi... ...{m}^{*}\right\rangle _{stat}\equiv \sum_{m,n}A_{mn}\rho _{nm}$$

Die Matrix $\rho _{nm}$ (entsprechenden Operator $\rho$) nennt man Dichtematrix (statistische Operator). Die vorherige Gleichung kann man wie folgt umschreiben:

$$\bar{A}=\mbox{Sp}\left( A\rho \right) .$$

Die Zeitentwichkung der Dichtematrix folgt aus Gl.(23): Mittelt man die Gl über dem Ensemble, so erhält man

$$\begin{eqnarray*} i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\rho _{nm} &=&i\hbar \frac{... ... _{lm}-\rho _{nl}H_{lm}\right) \equiv \left[ H,\rho \right] _{-} \end{eqnarray*}$$

Diese Gleichung wird als quantenmechanische Analogie zur Liouville-Gleichung angesehen. Statistischer Operator in Koordinatendarstellung:

$$\rho (x,x^{\prime })=\sum_{m,n}\phi _{n}(x)\rho _{nm}\phi _{m}^{*}(x^{\prime }).$$

Wenn die Dichtematrix nur die Fkt. der Energie ist, d.h. $\rho =\rho (H)$, dann ist $\left[ H,\rho \right] =0$ und $\dot{\rho}=0$. Die Dichtematrix ist diagonal in der Darstellung in der $H$ diagonal ist, so dass

$$\rho _{nm}=p_{n}\delta _{mn}.$$

In diesem Fall kann $p_{n}$ als Wahrscheinlichkeit angesehen werden, dass das System sich in einem reinem Zustand $n$ befindet, und

$$\rho =\left\vert n\right\rangle p_{n}\left\langle n\right\vert .$$

Eigenschaften der Dichtematrix:

$\bullet$ Hermitisch: $\rho =\rho ^{+}$ (klar aus der Definition)

$\bullet$ $\mbox{Sp}\rho =\sum_{n}\left\langle c_{n}c_{n}^{*}\right\rangle =\left\langle \underbrace{\sum_{n}c_{n}c_{n}^{*}}_{=1}\right\rangle =1$.

$\bullet$ Nicht-negativ definiert, $\left\langle \phi \right\vert \rho \left\vert \phi \right\rangle \geq 0$.