Die thermodynamische Wechselwirkungsdarstellung

Die Störungstheoretische Rechnungen sind ein wichtig Bestandteil der Quantenmechanik, wobei die Eigenfunktionen/Werte eines Komplexen Hamilton-Operators anhand der bekannten Näherungen aus der entsprechenden Eigenschaften der bekannten, exakt lösbaren oder einfacheren Modellen bestimmt werden können.

$$\hat{H}=\hat{H}_{0}+\hat{H}_{1}$$

wobei $\hat{H}_{0}$ als ''freie'' Anteil ist, dessen Eigenwertproblem als gelöst anzusehen ist, und den Rest $\hat{H}_{1}$ ist als Störung anzusehen.

Ausgehend aus der Bloch-Gleichung betrachten wir einen noch nicht normierten Operator $\hat{z}(\beta )=\exp (-\beta \hat{H})$, so dass $Z=\mbox{Sp}\hat{z}$. Dieser Operator gehorcht der DGl

$$\frac{\partial }{\partial \beta }\hat{z}=-(\hat{H}_{0}+\hat{H}_{1})\hat{z}.$$ (25)

Ansatz: $\hat{z}(\beta )=\exp (-\beta \hat{H}_{0})\hat{y}(\beta )$. Es gilt:

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial \beta }\hat{z} &=&e^{-\beta \hat{H}_... ...+e^{-\beta \hat{H}_{0}}\frac{\partial \hat{y}}{\partial \beta }. \end{eqnarray*}$$

Vergleich mit Gl.(25) ergibt:

$$e^{-\beta \hat{H}_{0}}\frac{\partial \hat{y}}{\partial \beta }=-\hat{H}% _{1}e^{-\beta \hat{H}}.$$

Daher

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \hat{y}}{\partial \beta } &=&-\left( e^{\beta \... ...a \hat{H}_{0}}\hat{H}_{1}e^{-\beta \hat{H}_{0}}\right) \hat{y}. \end{eqnarray*}$$

Das entspricht einer Art Wechselwirkungsdarstellung: für den Operator $% \hat{A}$

$$\tilde{A}(\beta )=e^{\beta \hat{H}_{0}}\hat{A}e^{-\beta \hat{H}_{0}}$$

(vgl. mit Quantenmechanik $\beta \leftrightarrow \frac{i}{\hbar }t$):

$$\frac{\partial \hat{y}}{\partial \beta }=-\tilde{H}_{1}(\beta )\hat{y}(\beta ).$$

Diese Gl. kann durch Iteration gelöst werden:

$$\hat{y}(\beta )=\hat{1}+\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\hat{y}^{(n)}(\beta )$$ (26)

mit $y^{(n)}(\beta )=\int_{0}^{\beta }dx_{1}\int_{0}^{x_{1}}dx_{2}...\int_{0}^{x_{n-1}}dx_{n}\tilde{H}_{1}(x_{1})% \tilde{H}_{1}(x_{2})...\tilde{H}_{1}(x_{n})$ (mit $\beta \geq x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{n}$). Eine kompakte Darstellung gelingt mit der Hilfe des Ordnungsoperators $\mathrm{T}$:

$$\mathrm{T}\left[ A(x_{1})B(x_{2})\right] =\left\{ \begin{ar... ..._{2} \\ B(x_{2})A(x_{1}) & \mbox{sonnst} \end{array}\right. :$$

$\hat{y}^{(n)}(\beta )=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\beta }dx_{1}\int_{0}^{\beta }dx_{2... ...left[ \tilde{H}_{1}(x_{1})\tilde{% H}_{1}(x_{2})...\tilde{H}_{1}(x_{n})\right]$. Eingesetzt in (26) ergibt das

$$e^{-\beta \hat{H}}=e^{-\beta \hat{H}_{0}}y(\beta )=e^{-\beta... ...rm{T\exp }\left( -\int_{0}^{\beta }dx\tilde{H}_{1}(x)\right) .$$

(Für den Spezialfall, wenn $\hat{H}_{0}$ und $\hat{H}_{1}$ kommutieren, bekommt man klarerweise $\tilde{H}_{1}=\hat{H}_{1}$ und $e^{-\beta \hat{H}% }=e^{-\beta \hat{H}_{0}}e^{-\beta \hat{H}_{1}}$.)