1. Einleitung

S. K. Donaldson führte Anfang der 80er Jahre eine auf eichtheoretischen Methoden beruhende Methode zur Untersuchung $4$ -dimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten ein [Don83]. Dabei wird einer solchen Mannigfaltigkeit eine Teilmenge des Lösungsraums der Yang-Mills-Gleichung bezüglich der Eichgruppe $SU (2)$ als Invariante zur Seite gestellt bzw. aus dieser eine Invariante abgeleitet. In Kombination mit einem Resultat von M. Freedman [Fre82], welches ein Jahr zuvor veröffentlicht wurde, konnte daraus gefolgert werden, dass viele topologische $4$ -Mannigfaltigkeiten nicht mit einer differenzierbaren Struktur versehen werden können. Etwa ein Jahrzehnt danach erkannte E. Witten [Wit94], dass Überlegungen zu supersymmetrischen $𝒩︀ = 2$ Yang-Mills-Theorien, welche er zusammen mit N. Seiberg im Jahr 1994 veröffentlicht hatte [SW94a, SW94b], dabei helfen konnten ähnliche Ergebnisse zu erzielen. Die Gleichungen, die er aufstellte, führten im Vergleich zur Theorie von S. K. Donaldson zu einer deutlich einfacheren Theorie, da sie eine abelsche Eichtheorie verwendeten, und sie werden heute als Seiberg-Witten-Gleichungen bezeichnet. Sie kombinieren die Dirac-Gleichung für ein masseloses, positiv-chirales Dirac-Spinorfeld mit einer quadratischen Gleichung für ein $𝑈 (1)$ -Eichfeld an das der Dirac-Spinor gekoppelt wird. Die Menge der Lösungen dieser Gleichungen bis auf Eichtransformationen bezeichnen wir als den Modulraum der Seiberg-Witten-Gleichungen. Die Studie dessen ist interessant, da mit ihr die Konstruktion der Seiberg-Witten-Invariante einhergeht, eine ganzzahlige Invariante, die feiner ist als eine topologische und insbesondere von der auf der Basis-Mannigfaltigkeit gewählten glatten Struktur abhängt.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, dem Seiberg-Witten-Modulraum einer kompakten, einfach zusammenhängenden, Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit $𝑀$ mit $𝑏_{+} (𝑀) > 0$ eine Struktur als endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit zu geben und die Dimension dieser Mannigfaltigkeit zu berechnen. Dabei benutzen wir eine verallgemeinerte Version des Satzes vom regulären Wert für unendlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die uns die gesuchte Dimension in Form des Fredholm-Index des positiven Dirac-Operators und der Euler-Charakteristik eines gewissen zu $𝑀$ gehörigen elliptischen Komplexes liefert. Für die Berechnung des Fredholm-Index des Dirac-Operators nutzen wir einen Spezialfall des Atiyah-Singer-Indexsatzes, der den Index und damit die Dimension des Modulraums in Abhängigkeit von topologischen Invarianten von $𝑀$ und den Vektorbündeln, bezüglich derer der Dirac-Operator definiert ist, liefert.

Zuerst werden wir in Kapitel 2 Begriffe wie den eines Hauptfaserbündels, einer Reduktion der Strukturgruppe und den eines induzierten Zusammenhangs auf einem assoziierten Vektorbündel einführen. Da bei der Formulierung der Seiberg-Witten-Gleichungen eine abelsche Eichtheorie auftritt, achten wir insbesondere auf die in diesem Fall eintretenden Vereinfachungen. Anschließend können wir in Kapitel 3 den Begriff einer Spin- bzw. ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur sowie den Dirac-Operator einer semi-Riemannschen Spin- bzw. ${Spin}^{ℂ}$ -Mannigfaltigkeit einführen. Das Kapitel 4 beschäftigt sich mit den Seiberg-Witten-Gleichungen. Zuerst wird der Begriff eines linearen Differentialoperators zwischen Schnitten in Vektorbündeln und des Hauptsymbols eines solchen erklärt. Anschließend stellen wir den Begriff eines elliptischen Komplexes vor und erläutern die Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators einer Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit. Dann lassen sich die Seiberg-Witten-Gleichungen formulieren. Anschließend folgt eine vorbereitende Diskussion des Begriffs einer Banach-Mannigfaltigkeit und der Fredholm-Abbildungen mit Rückgriff auf den Begriff eines elliptischen Komplexes. In diesem Abschnitt berechnen wir die nötigen Indizes, die wir zur Dimensionsberechnung benötigen. Die nachfolgenden Abschnitte legen die Dimensionsberechnung des Modulraums mit Hilfe des Satzes vom regulären Wert dar.

2. Eichtheorie

Ziel dieses Kapitels ist es, die nötigen Begriffe der mathematischen Eichtheorie einzuführen, damit in Kapitel 3 die Grundbegriffe der Spingeometrie und darauf aufbauend in Kapitel 4 die Seiberg-Witten-Gleichungen beschrieben werden können. Wir definieren den Begriff eines Hauptfaserbündels und eines Zusammenhangs in einem Hauptfaserbündel sowie in dazu assoziierten Vektorbündeln. Vorausgesetzt werden die Begriffe einer Mannigfaltigkeit, eines Vektorbündels, eines Tensorprodukts von Vektorbündeln und der einer Differentialform mit Werten in einem Vektorraum. Diese können in Literatur zur Differentialgeometrie, z. B. [Lee12], nachgelesen werden. Wenn nicht anders gekennzeichnet, folgen die Definitionen denen aus [Bau14].

2.1. Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Zuerst führen wir den Begriff einer Lie-Gruppe ein. Dies sind die punktweisen Symmetrien, unter denen die Lösungsräume von Eichtheorien invariant sind.

Definition 2.1.1 Eine Lie-Gruppe ist eine Mannigfaltigkeit $𝐺$ , die gleichzeitig eine Gruppe ist, mit der Eigenschaft, dass die Abbildung auf das Inverse und die Multiplikation glatt sind.

Eine Vielzahl bekannter Gruppen sind Lie-Gruppen. Im Folgenden finden sich einige wichtige Beispiele.

Beispiel 2.1.2

Jeder endlich-dimensionale reelle oder komplexe Vektorraum mit der Addition von Vektoren als Gruppenoperation bildet eine Lie-Gruppe, da die Abbildung auf das Inverse und die Addition linear bzw. bilinear und somit glatt sind.
Die Gruppen $GL (𝑛, ℝ)$ und $GL (𝑛, ℂ)$ mit den kanonischen Strukturen als Untermannigfaltigkeiten von $ℝ^{𝑛^{2}}$ bzw. $ℝ^{2 𝑛^{2}}$ sind Lie-Gruppen, da die Multiplikation und die Abbildung auf das Inverse in jedem Eintrag polynomiell und somit glatt sind.
Aus dem nächsten Lemma folgt, dass die Sphäre $𝑆^{1} ≔ {𝑧 \in ℂ | | 𝑧 | = 1}$ zusammen mit der komplexen Multiplikation als abgeschlossene Untergruppe der Lie-Gruppe $GL (1, ℂ)$ eine Lie-Gruppe bildet.

Lie-Gruppen können auf verschiedene Arten konstruiert werden. Insbesondere werden wir mit dem folgenden Lemma in Kapitel 3 die sogenannten Spin- und ${Spin}^{ℂ}$ -Gruppen konstruieren.

Lemma 2.1.3

Jede abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe ist selbst wieder eine Lie-Gruppe.
Sind $𝐺, 𝐻$ Lie-Gruppen, so ist ihr Produkt $𝐺 \times 𝐻$ als Produktmannigfaltigkeit zusammen mit der komponentenweisen Multiplikation wieder eine Lie-Gruppe.
Ist $𝑁 \subset 𝐺$ eine abgeschlossene Untergruppe des Zentrums einer Lie-Gruppe $𝐺$ , d. h. alle Elemente in $𝑁$ kommutieren mit allen Elementen in $𝐺$ , dann besitzt die Menge aller Linksnebenklassen
$𝐺 / 𝑁 ≔ {{𝑔 𝑛 | 𝑛 \in 𝑁} | 𝑔 \in 𝐺}$
eine eindeutige Struktur als Lie-Gruppe, sodass die Projektionsabbildung $𝜋 : 𝐺 \to 𝐺 / 𝑁$ ein glatter Gruppenhomomorphismus und eine Submersion wird.

Beweis: Siehe Satz 1.21 und Satz 1.24 in [Bau14].

Beispiel 2.1.4 Beispiele abgeschlossener Untergruppen von Lie-Gruppen sind $𝑂 (𝑛), SO (𝑛), 𝑈 (𝑛)$ und $SU (𝑛)$ als Untergruppen von $GL (𝑛, ℝ)$ bzw. $GL (𝑛, ℂ)$ , $SO (𝑟, 𝑠)$ als Untergruppe von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ und die Spin-Gruppe, welche wir in Kapitel 3 einführen werden, als Untergruppe der invertierbaren Elemente der sogenannten Clifford-Algebra. Ein Beispiel für eine Lie-Gruppe, die als Quotient entsteht, ist der Torus $𝑇^{2} = ℝ^{2} / ℤ^{2}$ aber auch die ${Spin}^{ℂ}$ -Gruppe, welche wir auch in Kapitel 3 einführen werden.

Definition 2.1.5 Seien $𝐺, 𝐻$ Lie-Gruppen. Ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist ein Gruppenhomomorphismus $𝜙 : 𝐺 \to 𝐻$ , welcher gleichzeitig eine glatte Abbildung ist. Wenn $𝜙$ zusätzlich ein Diffeomorphismus ist, heißen $𝐺$ und $𝐻$ isomorph.

Beispiel 2.1.6 Die Lie-Gruppen $𝑈 (1)$ und $𝑆^{1}$ sind isomorph. In der mathematischen Literatur wird meist die Schreibweise $𝑆^{1}$ bevorzugt, da ein Element $𝑧 \in 𝑆^{1}$ auf natürliche Weise als Endomorphismus eines komplexen Vektorraums per Multiplikation betrachtet werden kann. In der physikalischen Literatur wird andererseits meist die Schreibweise $𝑈 (1)$ bevorzugt.

Über Lie-Gruppen-Homomorphismen lässt sich außerdem das folgende bemerkenswerte Lemma formulieren, welches wir zum Beispiel in Kapitel 3 benutzen werden, um zu zeigen, dass eine dort definierte Darstellung tatsächlich glatt ist.

Lemma 2.1.7 Wenn $𝐺, 𝐻$ Lie-Gruppen sind und $𝜙 : 𝐺 \to 𝐻$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, dann ist $𝜙$ schon glatt, also ein Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Beweis: Siehe Satz 1.9. in [Bau14].

Wir führen nun den Begriff der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ein, welchen wir beispielsweise benötigen werden, um den Begriff einer Zusammenhangsform auf einem Hauptfaserbündel einführen zu können, welche eine Differentialform mit Werten in der Lie-Algebra sein wird. Zuerst benötigen wir die folgenden Abbildungen.

Definition 2.1.8 Sei $𝐺$ eine Lie-Gruppe. Die Gruppenmultiplikation induziert für alle $𝑎 \in 𝐺$ die Links- und Rechtstranslation mit $𝑎$ , d. h.

𝐿_{𝑎} : 𝐺 ∋ 𝑔 \mapsto 𝑎 𝑔 \in 𝐺 und 𝑅_{𝑎} : 𝐺 ∋ 𝑔 \mapsto 𝑔 𝑎 \in 𝐺 .

Die Inversen zu $𝐿_{𝑎}$ bzw. $𝑅_{𝑎}$ sind $𝐿_{𝑎^{- 1}}$ bzw. $𝑅_{𝑎^{- 1}}$ . Aus der Definition einer Lie-Gruppe folgt insbesondere, dass diese Abbildungen Diffeomorphismen sind. Somit können wir die folgende Definition aufstellen.

Bemerkung 2.1.9 Die Abbildung $𝔤 ∋ 𝑋 \mapsto 𝑋_{𝑒} \in 𝑇_{𝑒} 𝐺$ ist bijektiv. Die inverse Abbildung ordnet jedem Tangentialvektor $𝑋_{𝑒} \in 𝑇_{𝑒} 𝐺$ an $𝑒 \in 𝐺$ das linksinvariant-verschobende Vektorfeld zu, d. h.

𝑇_{𝑒} 𝐺 ∋ 𝑋_{𝑒} \mapsto (𝑎 \mapsto 𝑑 𝐿_{𝑎} 𝑋_{𝑒}) \in 𝔤 .

Es ist daher nützlich, $𝔤$ mit dem Tangentialraum $𝑇_{𝑒} 𝐺$ an der Identität $𝑒 \in 𝐺$ zu identifizieren. Die Menge $𝑇_{𝑒} 𝐺$ besitzt jedoch keine natürliche Algebrastruktur, weshalb der kanonische zugrunde liegende Vektorraum der Lie-Algebra die linksinvarianten Vektorfelder sind.

Wir benötigen außerdem die adjungierte Darstellung einer Lie-Gruppe auf ihrer Lie-Algebra. Diese werden wir zum Beispiel zur Charakterisierung des Transformationsverhaltens sogenannter Zusammenhangsformen unter Eichtransformationen im späteren Verlauf dieses Kapitels verwenden, um den Seiberg-Witten-Modulraum in Kapitel 4 besser verstehen zu können.

Definition 2.1.10 Sei $𝐺$ eine Lie-Gruppe und $𝔤$ ihre Lie-Algebra. Für $𝑎 \in 𝐺$ bezeichnen wir mit $Ψ_{𝑎} : 𝐺 ∋ 𝑔 \mapsto 𝑎 𝑔 𝑎^{- 1} \in 𝐺$ die Konjugation mit a und mit

{Ad}_{𝑎} ≔ {𝑑 (Ψ_{𝑎})}_{𝑒} \in GL (𝔤)

die adjungierte Darstellung von $𝐺$ .

Da wir uns in Kapitel 4 mit einer abelschen Eichtheorie beschäftigen, sind die Vereinfachungen relevant, die in diesem Fall auftreten.

Bemerkung 2.1.11 Wenn $𝐺$ abelsch ist, dann ist die Lie-Klammer $[\cdot, \cdot]$ auf $𝔤$ trivial und für alle $𝑎 \in 𝐺$ gilt $Ψ_{𝑎} = {id}_{𝐺}$ und damit auch ${Ad}_{𝑎} = {id}_{𝔤}$ .

Jeder Lie-Gruppe kann außerdem eine sogenannte Lie-Gruppen Exponentialabbildung zugeordnet werden. Um diese Abbildung definieren zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma 2.1.12 Sei $𝐺$ eine Lie-Gruppe und $𝔤$ ihre Lie-Algebra. Die maximale Integralkurve zu $𝑋 \in 𝔤$ durch $𝑒 \in 𝐺$ ist auf ganz $ℝ$ definiert.

Beweis: Siehe [Bau14].

Definition 2.1.13 Die Lie-Gruppen Exponentialabbildung von $𝐺$ ist definiert als Auswertung zum Zeitpunkt $𝑡 = 1$ der maximalen Integralkurve $𝜙_{𝑋}$ vom linksinvarianten Vektorfeld $𝑋 \in 𝔤$ durch $𝑒 \in 𝐺$ , d. h.

exp : 𝔤 ∋ 𝑋 \mapsto 𝜙_{𝑋} (1) \in 𝐺 .

Sofern der Kontext klar ist, nennen wir diese Abbildung auch nur Exponentialabbildung.

Die Lie-Gruppen Exponentialabbildung unterscheidet sich von der zu einer Metrik gehörenden geodätischen Exponentialabbildung. Für manche, zum Beispiel alle kompakten, Lie-Gruppen existieren jedoch sogenannte biinvariante Metriken mit der Eigenschaft, dass die Lie-Gruppen Exponentialabbildung mit der zu dieser Metrik gehörenden geodätischen Exponentialabbildung übereinstimmt (siehe [Lee18]).

Wir können nun ein weiteres Standardresultat über Lie-Gruppen-Homomorphismen formulieren, welches wir zum Beispiel in Lemma 3.3.11 nutzen werden, um zu zeigen, dass eine dort definierte Darstellung ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Lemma 2.1.14 Wenn $𝐺, 𝐻$ Lie-Gruppen sind, $𝜙 : 𝐺 \to 𝐻$ ein Lie-Gruppen-Homomorphismus und $𝔤$ die Lie-Algebra von $𝐺$ ist, dann gilt für alle $𝑋 \in 𝔤$

𝜙 (exp (𝑡 𝑋)) = exp (𝑡 {(𝑑 𝜙)}_{𝑒} (𝑋)) .

Im Fall einer Matrix-Lie-Gruppe, also einer Lie-Gruppe, die eine Untergruppe von $GL (𝑛, ℂ)$ ist, vereinfachen sich die zuvor eingeführten Strukturen wie folgt.

Bemerkung 2.1.15 Sei $𝐺 \subset GL (𝑛, ℂ)$ eine Lie-Gruppe. Die Lie-Algebra $𝔤$ von $𝐺$ kann als Untervektorraum von $Mat (𝑛, ℂ)$ aufgefasst werden, und die Algebrastruktur von $𝔤$ ist genau durch den Kommutator zwischen Matrizen gegeben, d. h.

\forall 𝐴, 𝐵 \in 𝔤 : [𝐴, 𝐵] = 𝐴 \cdot 𝐵 - 𝐵 \cdot 𝐴 \in 𝔤 .

Außerdem stimmt die Exponentialabbildung in diesem Fall mit dem üblichen Matrixexponential überein:

exp : 𝔤 ∋ 𝐴 \mapsto \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} \frac{𝐴^{𝑘}}{𝑘!} \in 𝐺 .

Für einen Beweis siehe [Bau14].

Im Sinne der vorherigen Bemerkung wird die Algebrastruktur der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe in der Physik häufig auch als Kommutationsrelationen bezeichnet. Auch wird eine Basis der Lie-Algebra oft informell als eine Menge von Generatoren der Lie-Gruppe bezeichnet und die Bilder der Generatoren (und Linearkombinationen dieser) unter der Lie-Gruppen Exponentialabbildung als von den Generatoren erzeugt. Ein besonderes Beispiel für die Physik ist dabei die sogenannte Lorentzgruppe, d. h. die spezielle Invarianzgruppe der Standard-Bilinearform $𝜂_{1, 3}$ mit Signatur $(1, 3)$ auf $ℝ^{4}$ . Das nächste Beispiel beschäftigt sich mit dieser Lie-Gruppe.

Beispiel 2.1.16 Sei $SO (1, 3) \subset GL (𝑛, ℝ)$ die Lorentz-Gruppe und $𝔰𝔬 (1, 3)$ ihre Lie-Algebra. Vermöge der Identifikation von $𝔰𝔬 (1, 3)$ mit einem Untervektorraum von $Mat (4, ℝ)$ ist eine Menge von Generatoren gegeben durch

\begin{aligned} 𝐽_{1} & ≔ (\begin{matrix}  \end{matrix} \end{aligned}

−1

),𝐽2≔(

−1

),𝐽3≔(

−1

),𝐾1≔(

),𝐾2≔(

),𝐾3≔(

Die Generatoren erfüllen außerdem für $𝑖, 𝑗, 𝑘 \in {1, 2, 3}$ die Kommutationsrelationen

[𝐽_{𝑖}, 𝐽_{𝑗}] = \sum_{𝑘 = 1}^{3} 𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘} 𝐽_{𝑘}, [𝐽_{𝑖}, 𝐾_{𝑗}] = \sum_{𝑘 = 1}^{3} 𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘} 𝐾_{𝑘}, [𝐾_{𝑖}, 𝐾_{𝑗}] = - \sum_{𝑘 = 1}^{3} 𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘} 𝐽_{𝑘} .

Dabei ist $𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘}$ die eindeutige antisymmetrische Abbildung mit $𝜀_{123} ≔ 1 \in ℝ$ bzw. $𝜀_{132} = - 1$ . Unter der Exponentialabbildung erzeugen die Generatoren $𝐽_{1}, 𝐽_{2}, 𝐽_{3}$ räumliche Drehungen und die Generatoren $𝐾_{1}, 𝐾_{2}, 𝐾_{3}$ sogenannte boosts in die unterschiedlichen Raumrichtungen.

Abschließend führen wir die zu einer Lie-Gruppe gehörende Maurer-Cartan-Form ein. Mit dieser werden wir in Kapitel 4 das Transformationsverhalten von Zusammenhangsformen unter Eichtransformationen beschreiben.

Definition 2.1.17 Sei $𝐺$ eine Lie-Gruppe und $𝔤$ ihre Lie-Algebra. Die Maurer-Cartan-Form von $𝐺$ ist die Abbildung

𝜇_{𝐺} : 𝑇 𝐺 \to 𝑇_{𝑒} 𝐺 ≅ 𝔤, 𝜇_{𝐺} (𝑌) ≔ 𝑑 𝐿_{𝑎^{- 1}} 𝑌 für 𝑌 \in 𝑇_{𝑎} 𝐺, 𝑎 \in 𝐺,

welche einem Tangentialvektor an $𝐺$ dessen linksinvariante Fortsetzung zuordnet.

2.2. Hauptfaserbündel

Sei im Folgenden immer $𝐺$ eine Lie-Gruppe und $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit. Faserbündel notieren wir als 4-Tupel $(𝐸, 𝜋, 𝐵; 𝐹)$ , wobei $𝜋 : 𝐸 \to 𝐵$ die Projektion und $𝐹$ der Fasertyp ist. Wenn die Projektion klar ist, kürzen wir $(𝐸, 𝜋, 𝐵; 𝐹)$ mit $𝐵$ ab.

Wir möchten nun den Begriff eines Hauptfaserbündels einführen. Dies ist die Gesamtmenge aller Referenzpunkte, die eine beobachtende Person einnehmen kann.

Definition 2.2.1 Eine glatte Rechts- bzw. Linkswirkung $𝜙 : 𝐺 \times 𝑃 \to 𝑃$ von $𝐺$ auf einer Mannigfaltigkeit $𝑃$ heißt einfach transitiv, wenn für alle $𝑝_{1}, 𝑝_{2} \in 𝑃$ genau ein $𝑔 \in 𝐺$ mit $𝜙 (𝑔, 𝑝_{1}) = 𝑝_{2}$ existiert.

Definition 2.2.2 Ein $𝐺$ -Hauptfaserbündel ( $𝐺$ -HFB) ist ein Faserbündel $(𝑃, 𝜋, 𝑀; 𝐺)$ , dessen Fasertyp eine Lie-Gruppe ist, sodass eine glatte Rechtswirkung von $𝐺$ auf $𝑃$ gegeben ist, die fasertreu und einfach transitiv in jeder Faser operiert.

Abbildung 2: Rechts-
wirkung von

𝐺

auf

𝑃

$𝐺$ wird auch Strukturgruppe des $𝐺$ -HFB oder im physikalischen Kontext auch Symmetriegruppe genannt. Für $𝑝 \in 𝑃$ und $𝑔 \in 𝐺$ notieren wir die Rechtswirkung mit $𝑝 \cdot 𝑔 \in 𝑃$ oder auch nur mit $𝑝 𝑔 \in 𝑃$ . Wie im Abschnitt zu Lie-Gruppen lassen sich auch für $𝐺$ -HFB einige wichtige Beispiele anführen. Zuerst benötigen wir jedoch das folgende Lemma zur Konstruktion von Hauptfaserbündeln.

Lemma 2.2.3 Sei $𝑃$ eine Menge, $𝜋 : 𝑃 \to 𝑀$ eine Abbildung, ${𝑈_{𝑖} | 𝑖 \in 𝐼}$ eine offene Überdeckung von $𝑀$ zusammen mit Abbildungen $𝜑_{𝑖} : 𝜋^{- 1} (𝑈_{𝑖}) \to 𝑈_{𝑖} \times 𝐺$ , die ${pr}_{1} \circ 𝜑_{𝑖} = 𝜋 |_{𝜋^{- 1} (𝑈_{𝑖})}$ erfüllen. Alle Abbildungen

𝜑_{𝑖} \circ 𝜑_{𝑗}^{- 1} : (𝑈_{𝑖} \cap 𝑈_{𝑗}) \times 𝐺 \to (𝑈_{𝑖} \cap 𝑈_{𝑗}) \times 𝐺

seien von der Form $𝜑_{𝑖} \circ 𝜑_{𝑗}^{- 1} (𝑥, 𝑔) = (𝑥, 𝑔_{𝑖 𝑗} 𝑔)$ mit glatten $𝑔_{𝑖 𝑗} : 𝑈_{𝑖} \cap 𝑈_{𝑗} \to 𝐺$ . Dann existiert genau eine Struktur als glatte Mannigfaltigkeit auf $𝑃$ , sodass $(𝑃, 𝜋, 𝑀; 𝐺)$ ein Faserbündel mit Bündelkarten $𝜑_{𝑖}$ wird. Durch die Rechtswirkung von $𝐺$ auf die zweite Komponente in $𝑈_{𝑖} \times 𝐺$ kann die Rechtswirkung

𝑝 \cdot 𝑔 ≔ 𝜑_{𝑖}^{- 1} (𝜑_{𝑖} (𝑝) \cdot 𝑔) für 𝑝 \in 𝜋^{- 1} (𝑈_{𝑖}), 𝑔 \in 𝐺

von $𝐺$ auf $𝑃$ definiert werden, mit welcher $(𝑃, 𝜋, 𝑀; 𝐺)$ ein $𝐺$ -HFB wird.

Beweis: Siehe Satz 3.4 und Satz 4.5 in [Sch24].

In der Auswahl der nun folgenden Beispiele beschränken wir uns auf die für die Definition einer Spin-Struktur in Kapitel 3 benötigten Beispiele .

Beispiel 2.2.4

Das Basenbündel $GL (𝑀)$ von $𝑇𝑀$ ist das $GL (𝑛, ℝ)$ -HFB, dessen Faser über $𝑥 \in 𝑀$
${GL (𝑀)}_{𝑥} ≔ {𝑏_{𝑥} | 𝑏_{𝑥} ist Basis von 𝑇_{𝑥} 𝑀}$
aus der Menge der Basen von $𝑇_{𝑥} 𝑀$ besteht. Wir definieren die Menge
$GL (𝑀) ≔ {⋃^{̇}}_{𝑥 \in 𝑀} {GL (𝑀)}_{𝑥}$
und die Abbildung $𝜋 : GL (𝑀) ∋ 𝑏_{𝑥} \mapsto 𝑥 \in 𝑀$ . Ein Atlas ${(𝑈_{𝑖}, 𝑥_{𝑖})}$ von $𝑀$ induziert Abbildungen $𝜑_{𝑖} : 𝜋^{- 1} (𝑈_{𝑖}) \to 𝑈_{𝑖} \times GL (𝑛, ℝ)$ , sodass die Abbildungen $𝜑_{𝑖} \circ 𝜑_{𝑗}^{- 1}$ durch $𝑑 (𝑥_{𝑖} \circ 𝑥_{𝑗}) : ℝ^{𝑛} \to ℝ^{𝑛}$ gegeben sind und somit glatt sind. Gemäß Lemma 2.2.3 ist $(GL (𝑀), 𝜋, 𝑀; GL (𝑛, ℝ))$ ein $GL (𝑛, ℝ)$ -HFB mit der Rechtswirkung gegeben durch
$𝑏 \cdot 𝐴 ≔ (\sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑏_{𝑗} 𝐴^{𝑗 1}, \dots, \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑏_{𝑗} 𝐴^{𝑗 𝑛}) \in GL (𝑀) für alle 𝐴 \in GL (𝑛, ℝ), 𝑏 \in GL (𝑀) .$
Wenn $(𝐸, 𝜋, 𝑀, 𝑉)$ ein $ℂ$ -Vektorbündel von Rang $𝑛$ über $𝑀$ ist, können wir das $GL (𝑛, ℂ)$ -HFB definieren, dessen Faser ${GL (𝐸)}_{𝑥}$ über $𝑥 \in 𝑀$ aus den Basen von $𝐸_{𝑥}$ besteht. Ein Bündelatlas von $𝐸$ induziert Abbildungen $𝜑_{𝑖} : 𝜋^{- 1} (𝑈_{𝑖}) \to 𝑈_{𝑖} \times GL (𝑛, ℂ)$ , sodass die Abbildungen $𝜑_{𝑖} \circ 𝜑_{𝑗}^{- 1}$ durch glatte $𝑔_{𝑖, 𝑗} : 𝑈_{𝑖} \cap 𝑈_{𝑗} \to GL (𝑛, ℂ)$ gegeben sind. Gemäß Lemma 2.2.3 ist $GL (𝑀) ≔ \cup_{𝑥 \in 𝑀} {GL (𝑀)}_{𝑥}$ mit der Rechtswirkung
$𝑏 \cdot 𝐴 ≔ (\sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑏_{𝑗} 𝐴^{𝑗 1}, \dots, \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑏_{𝑗} 𝐴^{𝑗 𝑛}) \in GL (𝐸) für alle 𝐴 \in GL (𝑛, ℂ), 𝑏 \in GL (𝐸)$
ein $GL (𝑛, ℂ)$ -HFB, das Basenbündel $GL (𝐸)$ von $𝐸$ .
Wenn eine Metrik $𝑔$ der Signatur $(𝑟, 𝑠)$ auf $𝑀$ gegeben ist, kann das Orthonormalbasenbündel
$𝑂 (𝑀, 𝑔) ≔ {𝑏 \in GL (𝑀) | 𝑏 ist 𝑔 -Orthonormalbasis} \subset GL (𝑀)$
definiert werden. Eine $𝑔$ -Orthonormalbasis über $𝑥 \in 𝑀$ ist dabei eine Basis $𝑏 \in {GL (𝑀)}_{𝑥}$ , sodass $𝑔 (𝑏_{𝑖}, 𝑏_{𝑖}) \in {\pm 1}$ gilt und die Metrik auf dem Spann der ersten $𝑟$ -Basisvektoren negativ definit ist. Die Strukturgruppe dieses Bündels ist die orthonormale Gruppe $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ .
Wenn eine Metrik $𝑔$ der Signatur $(𝑟, 𝑠)$ auf $𝑀$ gegeben, $𝑀$ orientierbar und eine Orientierung vorgegeben ist, kann das spezielle Orthonormalbasenbündel
$SO (𝑀, 𝑔) ≔ {𝑏 \in 𝑂 (𝑀, 𝑔) | 𝑏 ist positiv orientiert} \subset 𝑂 (𝑀, 𝑔)$
definiert werden. Die Strukturgruppe dieses Bündels ist die spezielle orthonormale Gruppe $SO (𝑟, 𝑠)$ .

Wenn in der Situation des vierten Beispiels die Metrik $𝑔$ auf $𝑀$ die Signatur $(1, 3)$ trägt, entspricht die physikalische Interpretation der $SO (1, 3)$ -Wirkung auf den Fasern der Transformation zwischen Bezugssystemen mittels Lorentztransformationen.

Wir benötigen außerdem den Begriff einer Eichtransformation eines $𝐺$ -HFB, welcher ein Spezialfall eines Isomorphismus zwischen $𝐺$ -HFB ist. Für die Definition des Seiberg-Witten-Modulraums in Kapitel 4 ist der Begriff einer Eichtransformation wesentlich, da der Lösungsraum der Seiberg-Witten-Gleichungen invariant unter Eichtransformationen ist. Eine solche Eichinvarianz des Lösungsraums ist in physikalischen Theorien ein häufig vorkommendes Prinzip.

Definition 2.2.5 Seien $(𝑃, 𝜋_{𝑃}, 𝑀; 𝐺)$ und $(𝑄, 𝜋_{𝑄}, 𝑀; 𝐺)$ zwei $𝐺$ -HFB. Eine Abbildung $𝑓 : 𝑃 \to 𝑄$ heißt HFB-Isomorphismus, wenn $𝑓$ ein fasertreuer Diffeomorphismus ist, der zusätzlich $𝐺$ -äquivariant ist, d. h.

𝑓 (𝑝 \cdot 𝑔) = 𝑓 (𝑝) \cdot 𝑔 \forall 𝑝 \in 𝑃, 𝑔 \in 𝐺 .

Definition 2.2.6 Eine Eichtransformation von $𝑃$ ist ein HFB-Isomorphismus $𝑓 : 𝑃 \to 𝑃$ . Mit anderen Worten: eine Eichtransformation ist ein fasertreuer Diffeomorphismus $𝑓 : 𝑃 \to 𝑃$ , welcher $𝐺$ -äquivariant ist, d. h.

𝑓 (𝑝 \cdot 𝑔) = 𝑓 (𝑝) \cdot 𝑔 \forall 𝑝 \in 𝑃, 𝑔 \in 𝐺 .

Wir bezeichnen mit $𝒢︀ (𝑃)$ die Gruppe der Eichtransformationen von $𝑃$ . Da die Rechtswirkung von $𝐺$ auf $𝑃$ einfach-transitiv in jeder Faser ist, können wir außerdem jeder Eichtransformation $𝑓 \in 𝒢︀ (𝑃)$ bijektiv ein Element $𝜎_{𝑓}$ in der Menge

{𝜎 : 𝑃 \to 𝐺 glatt | \forall 𝑔 \in 𝐺 : 𝜎 (𝑝 𝑔) = 𝑔^{- 1} 𝜎 (𝑝) 𝑔}

durch die Bedingung $𝑓 (𝑝) = 𝑝 \cdot 𝜎_{𝑓} (𝑝)$ für alle $𝑝 \in 𝑃$ zuordnen.

Abschließend führen wir den Begriff einer Reduktion der Strukturgruppe eines Hauptfaserbündels ein, welcher zur Definition des Begriffs einer Spin-Struktur in Kapitel 3 benötigt wird.

Definition 2.2.7 Sei $(𝑃, 𝜋, 𝑀; 𝐺)$ ein $𝐺$ -HFB über $𝑀$ , $𝐻$ eine weitere Lie-Gruppe sowie $𝜆 : 𝐻 \to 𝐺$ ein Lie-Gruppen-Homomorphismus. Eine $𝜆$ -Reduktion von $𝑃$ ist ein Tupel $(𝑄, 𝐹)$ , sodass

$𝑄$ ein $𝐻$ -Hauptfaserbündel über $𝑀$ ist und
$𝐹 : 𝑄 \to 𝑃$ eine fasertreue, $𝜆$ -äquivariante Abbildung ist, d. h. es gilt
$𝐹 (𝑞 \cdot ℎ) = 𝐹 (𝑞) \cdot 𝜆 (ℎ) \forall 𝑞 \in 𝑄, ℎ \in 𝐻 .$

Wir sagen auch, dass die Strukturgruppe des $𝐺$ -Hauptfaserbündels entlang $𝜆$ von $𝐺$ auf $𝐻$ reduziert wird. Wenn der Kontext klar ist, bezeichnen wir eine $𝜆$ -Reduktion auch als $𝐻$ -Struktur auf $𝑃$ .

Beispiel 2.2.8

Wenn $𝑔$ eine semi-Riemannsche Metrik der Signatur $(𝑟, 𝑠)$ auf $𝑀$ ist und $𝑂 (𝑀, 𝑔)$ das Orthonormalbasenbündel zu $(𝑀, 𝑔)$ ist, dann definiert die Inklusion
$𝐹 : 𝑂 (𝑀, 𝑔) ∋ 𝑏 \mapsto 𝑏 \in GL (𝑀)$
eine Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels $GL (𝑀)$ von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ auf $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ .
Wenn $𝑀$ zusätzlich eine Orientierung trägt und $SO (𝑀, 𝑔)$ das spezielle Orthonormalbasenbündel zu $(𝑀, 𝑔)$ ist, dann definiert die Inklusion
$SO (𝑀, 𝑔) ∋ 𝑏 \mapsto 𝑏 \in GL (𝑀)$
eine Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels $GL (𝑀)$ von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ auf $SO (𝑟, 𝑠)$ .

Bemerkung 2.2.9 Ist andersherum $(𝑄, 𝐹)$ eine Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels $GL (𝑀)$ von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ auf $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ , so definieren wir die Basen in $GL (𝑀)$ , die im Bild

𝐹 (𝑄) = {𝐹 (𝑞) \in GL (𝑀) | 𝑞 \in 𝑄}

von $𝐹$ liegen, als Orthonormalbasen. Dies liefert eine wohldefinierte Bündelmetrik, da zwei verschiedene Orthonormalbasen $𝐹 (𝑞_{1}), 𝐹 (𝑞_{2})$ über eine orthonormale Transformation verbunden sind, was aus

𝑞_{1} = 𝑞_{2} 𝐴 \Rightarrow 𝐹 (𝑞_{1}) = 𝐹 (𝑞_{2}) 𝐴 mit 𝐴 \in 𝑂 (𝑟, 𝑠), 𝑞_{1}, 𝑞_{2} \in 𝑄

folgt. In diesem Sinne ist die Wahl einer semi-Riemannschen Metrik auf $𝑀$ äquivalent zur Wahl einer Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels $GL (𝑀)$ von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ auf $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ .

Ein weiteres Beispiel ist der Begriff der Spin- bzw. ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit, den wir in Kapitel 3 einführen möchten.

In den nächsten Abschnitten werden wir dem Begriff eines Hauptfaserbündels weitere Strukturen hinzufügen. Insbesondere interessieren wir uns dafür, wie diese Strukturen unter Eichtransformationen transformieren.

2.3. Assoziierte Faser-, Vektor- und Hauptfaserbündel

Sei weiterhin $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit und $𝐺$ eine Lie-Gruppe. Sei außerdem $(𝑃, 𝜋, 𝑀; 𝐺)$ ein $𝐺$ -HFB über $𝑀$ .

Nachdem wir nun die Begriffe der Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel eingeführt haben, können wir zu einem Hauptfaserbündel gewisse Faserbündel definieren, deren Punkte explizit unabhängig von der Wahl eines Referenzpunktes im Hauptfaserbündel sind. Dies sind die assoziierten Faserbündel.

Definition 2.3.1 Sei $𝑁$ eine Mannigfaltigkeit und $𝜌$ eine Linkswirkung von $𝐺$ auf $𝑁$ . Definiere auf dem Produkt $𝑃 \times 𝑁$ die Äquivalenzrelation

(𝑝, 𝑛) \sim (𝑝 𝑔, 𝜌 (𝑔^{- 1}, 𝑛)) für 𝑝 \in 𝑃, 𝑛 \in 𝑁, 𝑔 \in 𝐺 .

Den Quotienten bezüglich dieser Relation notieren wir als

𝑃 \times_{𝜌} 𝑁 ≔ (𝑃 \times 𝑁) / \sim .

Setze $\hat{𝜋} : 𝑃 \times_{𝜌} 𝑁 ∋ [(𝑝, 𝑦)] \mapsto 𝜋 (𝑝) \in 𝑀$ , wobei $𝜋 : 𝑃 \to 𝑀$ die Projektion in $𝑃$ ist. Dann existiert genau eine Struktur auf $𝑃 \times_{𝜌} 𝑁$ , sodass $(𝑃 \times_{𝜌} 𝑁, \hat{𝜋}, 𝑀; 𝑁)$ ein Faserbündel mit Fasertyp $𝑁$ wird. Dies bezeichnen wir als das zu $𝑃$ und der Wirkung von $𝐺$ auf $𝑁$ assoziierte Faserbündel.

Beweis: Siehe Satz 2.7 in [Bau14].

Bevor wir ein erstes Beispiel angeben können, betrachten wir den Fall, dass der Fasertyp eines assoziierten Faserbündels ein Vektorraum oder eine Lie-Gruppe ist. In diesen Fällen zeichnet sich das assoziierte Faserbündel dadurch aus, dass es die zusätzliche Struktur als Vektorbündel bzw. als Hauptfaserbündel trägt. Aus diesem Grund ist beispielsweise das Spinorbündel in Kapitel 3 ein Vektorbündel.

Definition 2.3.2

Wenn $𝑉$ ein reeller oder komplexer Vektorraum ist und $𝜌_{𝑉}$ eine Darstellung von $𝐺$ auf $𝑉$ ist, dann definiert
$𝜌 (𝑔, 𝑣) ≔ 𝜌_{𝑉} (𝑔) 𝑣$
eine Linkswirkung von $𝐺$ auf $𝑉$ . Auf dem assoziierten Faserbündel $𝑃 \times_{𝜌} 𝑉$ definieren wir für alle $𝑥 \in 𝑀$ und $𝑝 \in 𝑃_{𝑥}$ eine Vektorraumstruktur auf der Faser über $𝑥$ , sodass die Abbildung
${(𝑃 \times_{𝜌} 𝑉)}_{𝑥} ∋ [(𝑝, 𝑣)] \mapsto 𝑣 \in 𝑉$
ein Vektorraumisomorphismus wird. Die so definierte Vektorraumstruktur auf ${(𝑃 \times_{𝜌} 𝑉)}_{𝑥}$ ist unabhängig von der Wahl des Punktes $𝑝$ , da $𝜌 (𝑔)$ für $𝑔 \in 𝐺$ eine lineare Abbildung ist. Das so definierte Vektorbündel nennen wir das zu $𝑃$ und der Darstellung von $𝐺$ auf $𝑉$ assoziierte Vektorbündel und wir schreiben
$𝑃 \times_{𝜌_{𝑉}} 𝑉 ≔ 𝑃 \times_{𝜌} 𝑉 .$
Wenn $𝐻$ eine Lie-Gruppe und $𝜆 : 𝐺 \to 𝐻$ ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist, dann definiert
$𝜌_{𝜆} (𝑔, ℎ) ≔ 𝜆 (𝑔) ℎ \forall 𝑔 \in 𝐺, ℎ \in 𝐻$
eine Linkswirkung von $𝐺$ auf $𝐻$ . Auf dem assoziierten Faserbündel $𝑃 \times_{𝜌_{𝜆}} 𝐻$ definieren wir die Rechtswirkung
$(𝑃 \times_{𝜌_{𝜆}} 𝐻) \times 𝐻 ∋ ([(𝑝, ℎ)], ℎ^{'}) \mapsto [(𝑝, ℎ \cdot ℎ^{'})] \in 𝑃 \times_{𝜌_{𝜆}} 𝐻 .$
Diese Wirkung ist fasertreu und einfach transitiv in jeder Faser und somit bildet $𝑃 \times_{𝜌_{𝜆}} 𝐻$ ein $𝐻$ -HFB. Dies nennen wir das zu $𝑃$ und $𝜆$ assoziierte Hauptfaserbündel und schreiben
$𝑃 \times_{𝜆} 𝐻 ≔ 𝑃 \times_{𝜌_{𝜆}} 𝐻 .$

Wir wollen als Beispiel für den Begriff eines assoziierten Vektorbündels das Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit betrachten. Hierfür führen wir den Begriff eines Vektorbündelisomorphismus als Spezialfall eines Vektorbündelhomomorphismus ein. Wir werden diesen Begriff außerdem bei der Definition der Clifford-Multiplikation in Kapitel 3 benötigen.

Definition 2.3.3 Seien $(𝑋, 𝜋_{𝑋}, 𝑀; 𝑉), (𝑌, 𝜋_{𝑌}, 𝑀; 𝑊)$ zwei Vektorbündel über $𝑀$ . Eine glatte Abbildung $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ heißt Vektorbündelhomomorphismus, wenn $𝑓$ fasertreu und eingeschränkt auf jede Faser linear ist. Wenn $𝑓$ zusätzlich bijektiv ist, heißt $𝑓$ Vektorbündelisomorphismus.

Beispiel 2.3.4 Sei $GL (𝑀)$ das Basenbündel von $𝑇𝑀$ und $𝜌_{std}$ die Standard-Darstellung von $GL (𝑛, ℝ)$ auf $ℝ^{𝑛}$ . Dann sind die Vektorbündel

GL (𝑀) \times_{𝜌_{std}} ℝ^{𝑛} und 𝑇𝑀

isomorph. Um dies einzusehen, definieren wir einen Vektorbündelisomorphismus durch

𝑓 : GL (𝑀) \times_{𝜌_{std}} ℝ^{𝑛} \to 𝑇𝑀, 𝑓 ([(𝑏_{1}, \dots, 𝑏_{𝑛}, 𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛})]) = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑣_{𝑖} 𝑏_{𝑖} = 𝑏 \cdot 𝑣 .

Ist $𝐴 \in GL (𝑛, ℝ)$ , so gilt $(𝑏, 𝑣) \sim (𝑏 𝐴, 𝐴^{- 1} 𝑣)$ und $𝑏 𝐴 \cdot 𝐴^{- 1} 𝑣 = 𝑏 \cdot 𝑣$ und somit ist $𝑓$ wohldefiniert. Die Abbildung $𝑓$ ist außerdem surjektiv und hat eingeschränkt auf jede Faser einen trivialen Kern, da $(𝑏_{1}, \dots, 𝑏_{𝑛})$ eine Basis ist. Somit ist $𝑓$ ein Vektorbündelisomorphismus.

Um in Kapitel 3 die Clifford-Multiplikation definieren zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma 2.3.5 Sei $𝜌$ eine Darstellung von $𝐺$ auf einem Vektorraum $𝑉$ , $𝐻$ eine weitere Lie-Gruppe, $𝜆 : 𝐻 \to 𝐺$ ein Lie-Gruppen-Homomorphismus und $(𝑄, 𝐹)$ eine $𝜆$ -Reduktion von $𝑃$ . Dann definiert $𝜌 \circ 𝜆$ eine Darstellung von $𝐻$ auf $𝑉$ und die zugehörigen assoziierten Vektorbündel sind isomorph, d. h.

𝑃 \times_{𝜌} 𝑉 ≅ 𝑄 \times_{𝜌 \circ 𝜆} 𝑉 .

Beweis: Ein Faserbündelisomorphismus ist gegeben durch

𝜙 : 𝑄 \times_{𝜌 \circ 𝜆} 𝑉 ∋ [(𝑞, 𝑣)] \mapsto [(𝐹 (𝑞), 𝑣)] \in 𝑃 \times_{𝜌} 𝑉 .

Die Abbildung $𝜙$ ist wohldefiniert, da $𝐹$ $𝜆$ -äquivariant ist und somit

𝜙 ([(𝑞 ℎ, 𝜌 ({𝜆 (ℎ)}^{- 1}) 𝑣)]) = [(𝐹 (𝑞) 𝜆 (ℎ), 𝜌 ({𝜆 (ℎ)}^{- 1}) 𝑣)] = [(𝐹 (𝑞), 𝑣)] \forall ℎ \in 𝐻, 𝑞 \in 𝑄, 𝑣 \in 𝑉

gilt. Die Abbildung ist außerdem nach Definition linear auf jeder Faser. Sie ist zusätzlich fasertreu (da $𝐹$ fasertreu ist) und glatt (da $𝐹$ glatt ist). Um zu zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist, wählen wir ein beliebiges Element $[(𝑝, 𝑣)] \in 𝑃 \times_{𝜌} 𝑉$ und ein beliebiges Element $𝑞 \in 𝑄$ . Dann gibt es ein $𝑔 \in 𝐺$ mit $𝐹 (𝑞) = 𝑝 𝑔$ und somit gilt

𝜙 ([(𝑞, 𝜌 (𝑔^{- 1}) 𝑣)]) = [(𝐹 (𝑞), 𝜌 (𝑔^{- 1}) 𝑣)] = [(𝐹 (𝑞) 𝑔^{- 1}, 𝑣)] = [(𝑝, 𝑣)] .

Nun bleibt zu zeigen, dass die Abbildung injektiv ist. Seien $𝑞_{1}, 𝑞_{2} \in 𝑄, 𝑣_{1}, 𝑣_{2} \in 𝑉$ mit $𝜙 ([(𝑞_{1}, 𝑣_{1})]) = 𝜙 ([(𝑞_{2}, 𝑣_{2})])$ . Es existiert ein $ℎ \in 𝐻$ mit $𝑞_{1} ℎ = 𝑞_{2}$ . Dann gilt mit dem Ergebnis aus Gl. (2.1):

[(𝐹 (𝑞_{1}), 𝑣_{1})] = [(𝐹 (𝑞_{1}) 𝜆 (ℎ), 𝜌 ({𝜆 (ℎ)}^{- 1}) 𝑣_{1})] = [(𝐹 (𝑞_{2}), 𝜌 ({𝜆 (ℎ)}^{- 1}) 𝑣_{1})] = [(𝐹 (𝑞_{2}), 𝑣_{2})] .

Demnach gilt $𝑣_{2} = 𝜌 ({𝜆 (ℎ)}^{- 1}) 𝑣_{1}$ und somit auch

[(𝑞_{1}, 𝑣_{1})] = [(𝑞_{1} ℎ, 𝜌 ({𝜆 (ℎ)}^{- 1}) 𝑣_{1})] = [(𝑞_{2}, 𝑣_{2})] .

Insgesamt ist $𝜙$ linear auf jeder Faser, bijektiv und somit tatsächlich ein Vektorbündelisomorphismus. $□$

2.4. Zusammenhänge und Krümmung in Hauptfaserbündeln

Sei weiterhin $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit, $𝐺$ eine Lie-Gruppe, $𝔤$ ihre Lie-Algebra und $𝑃$ ein $𝐺$ -Hauptfaserbündel über $𝑀$ .

Für die Diskussion in Kapitel 4 benötigen wir den Begriff eines Zusammenhangs auf einem Hauptfaserbündel. Später betrachten wir die durch einen solchen Zusammenhang induzierten Zusammenhänge auf assoziierten Vektorbündeln. Diese werden insbesondere zur Definition des Dirac-Operators in Kapitel 3 benötigt, der in den Seiberg-Witten-Gleichungen eine zentrale Rolle spielt.

Definition 2.4.1

An jedem Punkt $𝑝 \in 𝑃$ definieren wir den vertikalen Tangentialraum $𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃$ als den Teilraum des Tangentialraums an $𝑝 \in 𝑃$ , der tangential an die Faser $𝑃_{𝜋 (𝑝)}$ ist, d. h.
$𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃 ≔ ker (𝑑 𝜋_{𝑝}) = {𝑋 \in 𝑇_{𝑝} 𝑃 | d 𝜋 (𝑋) = 0} ≅ 𝑇_{𝑝} (𝑃_{𝜋 (𝑝)}) .$
Solche $𝑋 \in 𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃$ nennen wir vertikal.
Die Rechtswirkung von $𝐺$ auf $𝑃$ induziert für alle $𝑝 \in 𝑃$ einen Isomorphismus $𝔤 ≅ 𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃$ mit
$𝔤 ∋ 𝑋 \mapsto {\tilde{𝑋}}_{𝑝} ≔ \frac{d}{d 𝑡} |_{𝑡 = 0} (𝑝 exp (𝑡 𝑋)) \in 𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃 .$
Wir nennen $\tilde{𝑋} : 𝑝 \mapsto {\tilde{𝑋}}_{𝑝}$ das vertikale Vektorfeld zu $𝑋 \in 𝔤$ .
Die Wahl eines weiteren Unterraums $𝑇_{𝑝}^{ℎ} 𝑃$ , der den vertikalen Tangentialraum $𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃$ zu $𝑇_{𝑝} 𝑃$ ergänzt, d. h.
$𝑇_{𝑝} 𝑃 = 𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃 \oplus 𝑇_{𝑝}^{ℎ} 𝑃,$
nennen wir einen horizontalen Tangentialraum an $𝑝 \in 𝑃$ .
Ein Zusammenhang auf $𝑃$ ist eine glatt-variierende Wahl $ℋ︀$ von solchen horizontalen Tangentialräumen auf ganz $𝑃$ , die $𝐺$ -invariant ist, d. h.
${(𝑅_{𝑔})}_{*} {ℋ︀}_{𝑝} = {ℋ︀}_{𝑝 𝑔} .$
Glatt-variierend bedeutet dabei, lokal durch eine Familie von (glatten) Vektorfeldern aufgespannt zu sein. Untervektorbündel vom Tangentialbündel bezeichnen wir als Distributionen und bezeichnen einen Zusammenhang demnach auch als horizontale Distribution.

Es ist nützlich eine solche Wahl von horizontalen Tangentialräumen mit einer gewissen Lie-Algebra-wertigen 1-Form zu identifizieren. Aus dieser 1-Form kann anschließend die Krümmungsform abgeleitet werden, welche in den Seiberg-Witten-Gleichungen auftreten wird.

Definition 2.4.2 Eine Zusammenhangs 1-Form oder auch nur Zusammenhangsform auf dem Hauptfaserbündel $(𝑃, 𝜋, 𝑀; 𝐺)$ ist eine 1-Form

𝐴 \in Ω^{1} (𝑃, 𝔤) = Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes (𝑀 \times 𝔤)),

mit Werten in der Lie-Algebra $𝔤$ von $𝐺$ , sodass gilt

${(𝑅_{𝑔})}^{*} 𝐴 = {Ad}_{𝑔^{- 1}} \circ 𝐴$ für alle $𝑔 \in 𝐺$ , und
$𝐴 (\tilde{𝑋}) = 𝑋$ für alle vertikalen Vektorfelder $\tilde{𝑋}$ , definiert wie in Definition 2.4.1.

Die Menge der Zusammenhangsformen auf $𝑃$ bezeichnen wir mit $𝒜︀ (𝑃)$ .

Bemerkung 2.4.3 Die Angabe eines Zusammenhangs auf $𝑃$ ist äquivalent zur Angabe einer Zusammenhangsform im folgenden Sinne.

Wenn $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ ist, definieren wir einen Zusammenhang auf $𝑃$ durch
$ℋ︀ ≔ ker (𝐴) .$
Wenn $ℋ︀$ ein Zusammenhang auf $𝑃$ ist, definieren wir eine Zusammenhangsform durch
$𝐴 |_{𝑇_{𝑝} 𝑃} ≔ {pr}_{𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃} : 𝑇_{𝑝} 𝑃 \to 𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃 ≅ 𝔤 .$
Dabei ist $𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃 ≅ 𝔤$ der Isomorphismus aus Definition 2.4.1.

Wir wollen nun folgern, dass auf jedem $𝐺$ -HFB eine Zusammenhangsform existiert. Insbesondere ist dies in Kapitel 4 relevant, da wir dort eine „Basis-Zusammenhangsform“ voraussetzen werden. Zuerst benötigen wir den trivialen Zusammenhang im trivialen $𝐺$ -HFB.

Beispiel 2.4.4 Wenn $𝑃$ das triviale $𝐺$ -HFB über $𝑀$ ist, d. h. $(𝑃 = 𝑀 \times 𝐺, {pr}_{1}, 𝑀; 𝐺)$ , dann ist der triviale Zusammenhang auf $𝑃$ und die triviale Zusammenhangsform auf $𝑃$ gegeben durch

ℋ︀ = 𝑇 𝑀 \oplus {0} \subset 𝑇 𝑃 und 𝐴 = {pr}_{2}^{*} 𝜇_{𝐺} .

Dabei ist $𝜇_{𝐺}$ die Maurer-Cartan-Form aus Definition 2.1.17. Dies definiert einen wohldefinierten Zusammenhang. Für den Beweis siehe [Sch24].

Mit dieser Definition können wir nun die folgende Proposition zur Existenz einer Zusammenhangsform auf $𝑃$ festhalten.

Proposition 2.4.5 Auf $𝑃$ existiert mindestens eine Zusammenhangsform, d. h. $𝒜︀ (𝑃) \neq \emptyset$ .

Beweis: Sei

{(𝑈_{𝑖}, 𝜓_{𝑖}) | 𝑖 \in 𝐼}

ein lokal endlicher Bündelatlas von

𝑃

. Über jedem

𝑈_{𝑖}

kann bezüglich

𝜓_{𝑖}

der triviale Zusammenhang aus Beispiel 2.4.4 gewählt werden. Bezeichne diesen mit

𝐴_{𝑖}

und wähle eine Teilung der Eins

{(𝑓_{𝑖})}_{𝑖 \in 𝐼}

bezüglich

{𝑈_{𝑖}}

. Definiere dann

𝐴 ≔ \sum_{𝑖 \in 𝐼} 𝑓_{𝑖} 𝐴_{𝑖}

. Es folgt, dass

𝐴

eine Zusammenhangsform auf

𝑃

ist.

□

Wir werden nun den Begriff der Krümmung eines Zusammenhangs auf einem Hauptfaserbündel einführen, welcher einerseits bei der Definition der Seiberg-Witten-Gleichungen benötigt wird und andererseits in der Physik als Feldstärke einer Eichtheorie interpretiert wird.

Definition 2.4.6 Sei $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ und ${pr}_{ℋ︀} : 𝑇 𝑃 \to ℋ︀$ die Projektion auf die gemäß Bemerkung 2.4.3 zu $𝐴$ gehörige horizontale Distribution $ℋ︀$ .

Sei $𝑉$ ein Vektorraum. Das absolute Differential ist
$𝐷_{𝐴} : Ω^{𝑘} (𝑃, 𝑉) ∋ 𝜔 \mapsto 𝑑 𝜔 (\underset{𝑘 + 1}{\underset{⏟}{{pr}_{ℋ︀} \cdot, \dots, {pr}_{ℋ︀} \cdot}}) \in Ω^{𝑘 + 1} (𝑃, 𝑉) .$
Die Krümmungsform zu $𝐴$ ist
$𝐹^{𝐴} ≔ 𝐷_{𝐴} 𝐴 \in Ω^{2} (𝑃, 𝔤) .$

Satz 2.4.7 Sei $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ und $[\cdot, \cdot] : 𝔤 \times 𝔤 \to 𝔤$ die Lie-Klammer von $𝐺$ . Für die Krümmungsform $𝐹^{𝐴}$ zu $𝐴$ gilt die sogenannte Strukturgleichung:

𝐹^{𝐴} (𝑋, 𝑌) = 𝑑 𝐴 (𝑋, 𝑌) + [𝐴 (𝑋), 𝐴 (𝑌)] \forall 𝑝 \in 𝑃, 𝑋, 𝑌 \in 𝑇_{𝑝} 𝑃 .

Beweis: Siehe Satz 3.15 in [Bau14].

Wieder können wir für den Fall einer abelschen Eichtheorie die resultierenden Vereinfachungen festhalten.

Korollar 2.4.8 Wenn $𝐺$ abelsch ist, dann folgt aus Bemerkung 2.1.11 und der Strukturgleichung:

𝐹^{𝐴} = 𝑑 𝐴 .

2.5. Kontravariante Darstellungen und die lokale Krümmungsform

Sei wieder $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit, $𝐺$ eine Lie-Gruppe, $𝔤$ ihre Lie-Algebra, $(𝑃, 𝜋, 𝑀, 𝐺)$ ein $𝐺$ -HFB über $𝑀$ und $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ . Sei außerdem $𝑉$ ein reeller oder komplexer Vektorraum und $𝜌 : 𝐺 \to GL (𝑉)$ eine Darstellung von $𝐺$ auf $𝑉$ .

Die Punkte in den assoziierten Faserbündeln aus Abschnitt 2.3 sind explizit unabhängig von der Wahl eines von einer beobachtenden Person eingenommenen Referenzpunktes. Wir möchten jedoch einer solchen koordinatenfreien Darstellung in diesem Kapitel wieder eine koordinatenabhängige Darstellung zuordnen.

Definition 2.5.1 Eine $𝑘$ -Form $𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑃, 𝑉)$ heißt

horizontal, falls $𝜔$ auf vertikalen Vektoren verschwindet, d. h.
$𝜔_{𝑝} (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑖}, \dots, 𝑋_{𝑘}) = 0 falls 𝑋_{𝑖} \in 𝑇_{𝑝}^{𝑣} 𝑃 .$
vom Typ $𝜌$ oder $𝜌$ -äquivariant, falls für alle $𝑔 \in 𝐺$ gilt
${(𝑅_{𝑔})}^{*} 𝜔 = 𝜌 (𝑔^{- 1}) \circ 𝜔 .$

Wir bezeichnen die Menge der $𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑃, 𝑉)$ , welche beide Bedingungen erfüllen, mit

Ω_{hor}^{𝑘} {(𝑃, 𝑉)}^{(𝐺, 𝜌)} .

Elemente in $Ω_{hor}^{𝑘} {(𝑃, 𝑉)}^{(𝐺, 𝜌)}$ nennen wir lokale Darstellungen.

Beispiel 2.5.2 Die Zusammenhangsform $𝐴$ auf $𝑃$ ist nach Definition vom Typ $Ad$ .

Satz 2.5.3 Sei $𝐸 ≔ 𝑃 \times_{𝜌} 𝑉$ das zu $𝑃$ und der Wirkung $𝜌$ von $𝐺$ auf $𝑉$ assoziierte Vektorbündel und $𝜋 : 𝑃 \to 𝑀$ die Projektion in $𝑃$ . Es existiert eine kanonische Zuordnung

𝜙 : Ω^{𝑘} (𝑀, 𝐸) \tilde{\to} Ω_{hor}^{𝑘} {(𝑃, 𝑉)}^{(𝐺, 𝜌)},

welche definiert ist durch die Eigenschaft, dass für alle $𝑥 \in 𝑀, 𝑝 \in 𝑃_{𝑥}, 𝑌_{1}, \dots, 𝑌_{𝑘} \in 𝑇_{𝑝} 𝑃$ gilt:

[(𝑝, {𝜙 (𝜔)}_{𝑝} (𝑌_{1}, \dots, 𝑌_{𝑘}))] = 𝜔_{𝑥} (𝑑 𝜋 (𝑌_{1}), \dots, 𝑑 𝜋 (𝑌_{𝑘})) .

Beweis: Siehe Satz 10.1. in [Sch24] oder Satz 3.5 in [Bau14].

Proposition 2.5.4 Wenn $𝛼 \in Ω^{𝑘} (𝑃, 𝑉)$ von Typ $𝜌$ ist, dann gilt dies auch für $𝑑 𝛼$ und $𝐷_{𝐴} 𝛼$ .

Beweis: Siehe Proposition 9.4. in [Sch24].

Korollar 2.5.5 Die Krümmungsform zu $𝐴$ ist nach Proposition 2.5.4 horizontal und vom Typ $Ad$ , d. h. es gilt

𝐹^{𝐴} \in Ω_{hor}^{2} {(𝑃, 𝔤)}^{(𝐺, Ad)} .

Definition 2.5.6 Das adjungierte Bündel ist

Ad 𝑃 ≔ 𝑃 \times_{Ad} 𝔤 .

Definition 2.5.7 Sei $𝜙$ der Isomorphismus aus Satz 2.5.3 (hier mit $𝐸 = Ad 𝑃$ ). Dann definieren wir

Ω^{𝐴} ≔ 𝜙^{- 1} (𝐹^{𝐴}) \in Ω^{2} (𝑀, Ad 𝑃) .

Dies nennen wir die lokale Krümmungsform zu $𝐹^{𝐴}$ (bzw. zu $𝐴$ ).

Bemerkung 2.5.8 Die Differenz zweier Zusammenhänge auf $𝑃$ ist nach Definition horizontal und vom Typ $Ad$ . Ist andererseits $𝜔 \in Ω_{hor}^{1} {(𝑃, 𝔤)}^{(𝐺, Ad)}$ , so ist

\tilde{𝐴} ≔ 𝐴 + 𝜔

eine Zusammenhangsform auf P. Die Menge der Zusammenhangsformen auf $𝑃$ ist folglich ein affiner Unterraum von $Ω^{1} (𝑃, 𝔤)$ (aufgefasst als $ℝ$ -Vektorraum), aufgespannt durch den Vektorraum $Ω_{hor}^{1} {(𝑃, 𝔤)}^{(𝐺, Ad)}$ . In diesem Sinne lässt sich die Menge der Zusammenhänge $𝒜︀ (𝑃)$ auf $𝑃$ nach Wahl einer Basis-Zusammenhangsform mit $Ω^{1} (𝑀, Ad 𝑃)$ identifizieren.

Satz 2.5.9 Für $𝜔 \in Ω_{hor}^{𝑘} {(𝑃, 𝑉)}^{(𝐺, 𝜌)}$ gilt

𝐷_{𝐴} 𝜔 (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘 + 1}) = 𝑑 𝜔 (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘 + 1}) + \frac{1}{𝑘!} \sum_{𝜎 \in 𝑆_{𝑘 + 1}} sgn (𝜎) 𝜌_{*} (𝐴 (𝑋_{𝜎 (1)})) (𝜔 (𝑋_{𝜎 (2)}, \dots, 𝑋_{𝜎 (𝑘 + 1)})) .

Beweis: Siehe [Sch24].

2.6. Induzierte Zusammenhänge auf assoziierten Vektorbündeln

Sei wieder $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit, $𝐺$ eine Lie-Gruppe, $𝔤$ ihre Lie-Algebra, $𝑃$ ein $𝐺$ -HFB über $𝑀$ , $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ und $𝜌$ eine Darstellung von $𝐺$ auf einem reellen oder komplexen Vektorraum $𝑉$ . Sei außerdem $𝐸 ≔ 𝑃 \times_{𝜌} 𝑉$ das zu $𝑃$ und $𝜌$ assoziierte Vektorbündel.

Aus der Wahl eines Zusammenhangs auf einem Hauptfaserbündel leiten wir nun die daraus resultierende natürliche Wahl einer Ableitung auf jedem assoziierten Vektorbündel ab. Insbesondere benötigen wir diesen, um den Dirac-Operator in Kapitel 3 definieren zu können.

Definition 2.6.1 Sei eine Abbildung $𝑑_{𝐴} : Ω^{𝑘} (𝑀, 𝐸) \to Ω^{𝑘 + 1} (𝑀, 𝐸)$ definiert durch das kommutative Diagramm

Definition 2.6.2 Der durch $𝐴$ induzierte Zusammenhang auf $𝐸$ ist

\nabla_{𝑋}^{𝐴} 𝜑 ≔ (𝑑_{𝐴} 𝜑) (𝑋) \forall 𝜑 \in Γ (𝐸), 𝑋 \in Γ (𝑇𝑀) .

Proposition 2.6.3 $\nabla^{𝐴}$ ist ein Zusammenhang auf $𝐸$ .

Beweis: Siehe [Sch24].

Um in Kapitel 3 den Dirac-Operator auf das positive und negative Spinorbündel einschränken zu können, benötigen wir die folgende lokale Darstellung des induzierten Zusammenhangs auf $𝐸$ .

Lemma 2.6.4 Sei $𝑠 : 𝑈 \to 𝑃$ ein lokaler Schnitt in $𝑃$ , $𝜑 \in Γ (𝐸)$ und $𝑤 : 𝑈 \to 𝑉$ definiert durch

𝜑 |_{𝑈} = [(𝑠, 𝑤)] .

Dann gilt für den durch $𝐴$ induzierten Zusammenhang

(\nabla_{𝑋}^{𝐴} 𝜑) |_{𝑈} = [(𝑠, 𝑋 (𝑤) + 𝜌_{*} (𝐴 (𝑑 𝑠 (𝑋))) 𝑤)] \forall 𝑋 \in Γ (𝑇𝑀) .

Beweis: Siehe [Sch24].

Lemma 2.6.5 Wenn $𝑓 : 𝑃 \to 𝑃$ eine Eichtransformation ist, dann ist $𝑓^{*} 𝐴$ wieder eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ . Dies nennen wir den transformierten Zusammenhang zu $𝑓$ und $𝐴$ . Für diesen gilt

\begin{aligned} 𝑓^{*} 𝐴 & = {Ad}_{𝜎_{𝑓}^{- 1}} \circ 𝐴 + 𝜎_{𝑓}^{*} 𝜇_{𝐺}, \\ 𝐹^{𝑓^{*} 𝐴} & = 𝑓^{*} 𝐹^{𝐴} = {Ad}_{𝜎_{𝑓}^{- 1}} \circ 𝐹^{𝐴} . \end{aligned}

Dabei ist ${Ad}_{𝑔} : 𝔤 \to 𝔤$ für $𝑔 \in 𝐺$ die adjungierte Darstellung von $𝐺$ wie in Definition 2.1.10 und $𝜇_{𝐺}$ die Maurer-Cartan-Form von $𝐺$ wie in Definition 2.1.17.

Beweis: Siehe Satz 3.22 in [Bau14].

Für die Berechnung der Dimension des Modulraums der Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen werden wir in Proposition 4.6.9 annehmen, dass die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit einfach-zusammenhängend ist und somit für Eichtransformationen ein globaler Logarithmus existiert. Die in diesem Fall auftretenden Vereinfachungen beschreibt das folgende Lemma.

Lemma 2.6.6 Sei $𝐺 = 𝑆^{1}$ , $𝑓 : 𝑃 \to 𝑃$ eine Eichtransformation, $𝜎_{𝑓} : 𝑃 \to 𝑆^{1}$ definiert durch $𝑓 (𝑝) = 𝑝 \cdot 𝜎_{𝑓 (𝑝)}$ und $exp : 𝔤 ≅ 𝑖 ℝ \to 𝑆^{1}$ die Exponentialabbildung von $𝑆^{1}$ wie in Definition 2.1.13. Es existiere außerdem für $𝜎_{𝑓}$ ein globaler Logarithmus, d. h. eine glatte Abbildung $𝑢 : 𝑃 \to 𝑖 ℝ$ mit $𝜎_{𝑓} = exp \circ 𝑢$ . Dann gilt für den transformierten Zusammenhang

𝑓^{*} 𝐴 = 𝐴 + 𝑑 𝑢 .

Beweis: Seien $𝑝 \in 𝑃, 𝑋 \in 𝑇_{𝑝} 𝑃, 𝑣 ≔ 𝑑 𝑢_{𝑝} (𝑋)$ und $𝑎 ≔ 𝑢 (𝑝) \in 𝑖 ℝ$ . Dann gilt mit Gl. (2.2) und der Definition der Maurer-Cartan-Form (siehe Definition 2.1.17) sowie Bemerkung 2.1.11

\begin{aligned} 𝑓^{*} 𝐴 (𝑋) - 𝐴 (𝑋) & = (𝜎_{𝑓}^{*} 𝜇_{𝐺}) (𝑋) = {(𝑑 (𝐿_{exp (𝑎)}))}^{- 1} (𝑑 𝜎_{𝑓} (𝑋)) \\ = 𝑑 {(𝐿_{{exp (𝑎)}^{- 1}})}_{exp (𝑎)} (𝑑 {(exp \circ 𝑢)}_{𝑝} (𝑋)) = 𝑑 {(𝐿_{{exp (𝑎)}^{- 1}})}_{exp (𝑎)} (𝑑 {exp}_{𝑎} (𝑣)) \\ = {𝑑 (𝐿_{{exp (𝑎)}^{- 1}} \circ exp)}_{𝑎} (𝑣) = {\frac{d}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} ({exp (𝑎)}^{- 1} exp (𝑎 + 𝑡 𝑣)) . \end{aligned}

Die Behauptung folgt nun daraus, dass die Exponentialabbildung der Lie-Gruppe $𝑆^{1}$ ein Gruppenhomomorphismus ist und somit gilt ${exp (𝑎)}^{- 1} exp (𝑎 + 𝑡 𝑣) = exp (𝑡 𝑣)$ . $□$

Da wir in Kapitel 4 eine abelsche Eichtheorie betrachten, sind wir auch an dieser Stelle an den Vereinfachungen interessiert, die in diesem Fall auftreten.

Bemerkung 2.6.7 Sei $𝐺$ abelsch und seien die Abbildungen

\begin{aligned} 𝜙 : Ω^{𝑘} (𝑀, Ad) & \to Ω_{hor}^{𝑘} {(𝑃, 𝔤)}^{(𝐺, id)} \\ 𝑑_{𝐴} : Ω^{𝑘} (𝑀, Ad 𝑃) & \to Ω^{𝑘 + 1} (𝑀, Ad 𝑃) \end{aligned}

definiert wie in Satz 2.5.3 bzw. Definition 2.6.1. Dann gelten die folgenden Aussagen.

Das adjungierte Bündel $Ad 𝑃$ ist trivial, d. h.
$Ad 𝑃 ≅ 𝑀 \times 𝔤 .$
Die Abbildung $𝜙$ ist gegeben durch $𝜙 = 𝜋^{*}$ , wobei $𝜋 : 𝑃 \to 𝑀$ die Projektion in $𝑃$ ist.
Die Abbildung $𝑑_{𝐴}$ reduziert sich zu $𝑑_{𝐴} 𝜔 = 𝑑 𝜔$ für alle $𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑀, 𝔤)$ .
Wenn $𝑓 \in 𝒢︀ (𝑃)$ eine Eichtransformation ist, dann existiert eine glatte Funktion $𝜎 : 𝑀 \to 𝐺$ mit
$𝑓 (𝑝) = 𝑝 \cdot (𝜋^{*} 𝜎) (𝑝) .$
Die Krümmungsform $𝐹^{𝐴} \in Ω^{2} (𝑃, 𝔤)$ und die lokale Krümmungsform $Ω^{𝐴} \in Ω^{2} (𝑀, 𝔤)$ sind invariant unter Eichtransformationen.

Beweis: Die erste Aussage folgt sofort aus

{Ad}_{𝑎} = {id}_{𝔤}

für alle

𝑎 \in 𝐺

. Die zweite Aussage folgt aus der ersten und aus der Definition von

𝜙

. Die dritte, vierte und fünfte Aussage folgen wieder aus

{Ad}_{𝑎} = {id}_{𝔤}

für alle

𝑎 \in 𝔤

, sowie aus Satz 2.5.9 und Lemma 2.6.5.

□

2.7. Chern- und Pontrjagin Klassen

Sei wieder $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit, $𝐺$ eine Lie-Gruppe, $𝔤$ ihre Lie-Algebra, $𝑃$ ein $𝐺$ -HFB über $𝑀$ , $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃$ und $𝐹^{𝐴} \in Ω_{hor}^{2} {(𝑃, 𝔤)}^{(𝐺, Ad)}$ die zu $𝐴$ gehörige Krümmungsform.

Um in Kapitel 4 mit Hilfe des Atiyah-Singer-Indexsatzes den Index des Dirac-Operators einer ${Spin}^{ℂ}$ -Mannigfaltigkeit formulieren zu können, benötigen wir die Begriffe der Chern- und Pontrjagin-Klassen.

Definition 2.7.1 Wir betrachten die kommutative Algebra der symmetrischen, $Ad$ -invarianten Abbildungen $𝑆_{Ad}^{*} (𝔤) ≔ ⨁_{𝑘 \in ℕ_{0}} 𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ , wobei

𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤) ≔ {𝑓 : 𝔤 \times \dots \times 𝔤 \to ℂ | 𝑓 mutlilin., symmetrisch, Ad -invariant} .

Die Multiplikation ist dabei für $𝑓 \in 𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤), ℎ \in 𝑆_{Ad}^{ℓ} (𝔤)$ gegeben durch

(𝑓 \cdot ℎ) (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘 + ℓ}) ≔ \frac{1}{(𝑘 + ℓ)!} \sum_{𝜎 \in 𝑆 (𝑘 + ℓ)} 𝑓 (𝑋_{𝜎 (1)}, \dots, 𝑋_{𝜎 (𝑘)}) \cdot ℎ (𝑋_{𝜎 (𝑘 + 1)}, \dots, ℎ_{𝜎 (𝑘 + 𝑙)})

und lineare Fortsetzung.

Definition 2.7.2 Für $𝑓 \in 𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ ist

𝑓 (\underset{𝑘 -mal}{\underset{⏟}{𝐹^{𝐴} \land \dots \land 𝐹^{𝐴}}}) ≔ 𝑓 \circ 𝐹^{𝐴} \land \dots \land 𝐹^{𝐴} \in Ω_{hor}^{2 𝑘} {(𝑃, ℂ)}^{(𝐺, id)}

horizontal und $Ad$ -invariant und kann somit gemäß Satz 2.5.3 mit einer Form

𝑓 (𝐹^{𝐴} \land \dots \land 𝐹^{𝐴}) \in Ω^{2 𝑘} (𝑀, ℂ)

auf $𝑀$ identifiziert werden, welche wir wieder mit demselben Namen bezeichnen.

Es kann nun gezeigt werden (siehe zum [Bau14]), dass für $𝑓 \in 𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ die Kohomologie-Klasse

[𝑓 (𝐹^{𝐴} \land \dots \land 𝐹^{𝐴})] \in Ω_{dR}^{2 𝑘} (𝑀, ℂ)

unabhängig von der Wahl der Zusammenhangsform $𝐴$ auf $𝑃$ ist. Somit ergibt sich folgende Definition.

Definition 2.7.3 Die additive Fortsetzung der Abbildung

𝑊_{𝑃} : 𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤) ∋ 𝑓 \mapsto [𝑓 (𝐹^{𝐴} \land \dots \land 𝐹^{𝐴})] \in 𝐻_{dR}^{2 𝑘} (𝑀, ℂ)

zu einer Abbildung $𝑊_{𝑃} : 𝑆_{Ad}^{*} (𝔤) \to 𝐻_{dR}^{*} (𝑀, ℂ)$ heißt Weil-Homomorphismus zu $𝑃$ .

Um die Chern-Klassen eines komplexen Vektorbündels zu definieren, benötigen wir außerdem den Begriff eines homogenen Polynoms.

Definition 2.7.4 Eine Abbildung $𝑞 : 𝔤 \to ℂ$ heißt homogenes Polynom von Grad $𝑘$ , wenn sie bezüglich einer Basis von $𝔤$ als eine Linearkombination von Produkten von Koeffizientenfunktionen geschrieben werden kann und außerdem gilt

𝑞 (𝜆 𝑋) = 𝜆^{𝑘} 𝑞 (𝑋) \forall 𝑋 \in 𝔤, 𝜆 \in ℝ .

Wir schreiben $𝑃_{Ad}^{*} (𝔤) ≔ ⨁_{𝑘 \in ℕ_{0}} 𝑃_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ für die kommutative Algebra der homogenen, $Ad$ -invarianten Polynome, wobei $𝑃_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ der $ℂ$ -Vektorraum der homogenen, $Ad$ -invarianten Polynome von Grad $𝑘$ ist. Die Multiplikation auf $𝑃_{Ad}^{*} (𝔤)$ ist durch die Multiplikation von Polynomen gegeben.

Proposition 2.7.5 Die Abbildung

𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤) ∋ 𝑓 \mapsto 𝑞_{𝑓} ≔ (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘} \mapsto 𝑓 (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘})) \in 𝑃_{Ad}^{𝑘} (𝔤)

ist ein Algebrenisomorphismus von $ℂ$ -Algebren.

Beweis: Siehe Bemerkung 14.9 in [Sch24].

Definition 2.7.6 Für ein homogenes Polynom $𝑞 \in 𝑃_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ schreiben wir

𝑊_{𝑃} (𝑞) ≔ 𝑊_{𝑃} (𝑓_{𝑞}) \in 𝐻_{dR}^{2 𝑘} (𝑀, ℂ) .

Dabei ist $𝑓_{𝑞} \in 𝑆_{Ad}^{𝑘} (𝔤)$ die gemäß Proposition 2.7.5 zu $𝑞$ gehörige symmetrische, $Ad$ -invariante Abbildung.

Wir können nun die zu einem komplexen Vektorbündel gehörigen Chern-Klassen definieren.

Definition 2.7.7 Sei $(𝑃, 𝜋, 𝑀; GL (𝑚, ℂ))$ ein $GL (𝑚, ℂ)$ -HFB über $𝑀$ und $𝔤𝔩 (𝑚, ℂ) \subset Mat (𝑚, ℂ)$ die Lie-Algebra von $GL (𝑚, ℂ)$ . Wir definieren Polynome $𝑞_{0}, \dots, 𝑞_{𝑚} : 𝔤𝔩 (𝑚, ℂ) \to ℂ$ durch

det (𝜆 {id}_{𝑚} - \frac{𝑋}{2 𝜋 𝑖}) ≕ \sum_{𝑘 = 0}^{𝑚} 𝑞_{𝑘} (𝑋) 𝜆^{𝑚 - 𝑘} \forall 𝑋 \in 𝔤𝔩 (𝑚, ℂ) .

Die $𝑘$ -te Chern-Klasse von $𝑃$ ist dann

𝑐_{𝑘} (𝑃) ≔ 𝑊_{𝑃} (𝑞_{𝑘}) \in 𝐻_{dR}^{2 𝑘} (𝑀, ℂ) .

Wenn $𝐸$ ein komplexes Vektorbündel ist, schreiben wir auch $𝑐_{𝑘} (𝐸) ≔ 𝑐_{𝑘} (GL (𝐸))$ , wobei $GL (𝐸)$ das zu $𝐸$ gehörige Basenbündel wie in Beispiel 2.2.4 ist.

Definition 2.7.8 Sei $(𝐸, 𝜋, 𝑀; 𝐹)$ ein reelles Vektorbündel über $𝑀$ . Die $𝑘$ -te Pontrjagin-Klasse von $𝐸$ ist

𝑝_{𝑘} (𝐸) ≔ {(- 1)}^{𝑘} 𝑐_{2 𝑘} (𝐸 \otimes ℂ) \in 𝐻_{dR}^{4 𝑘} (𝑀, ℂ) .

Die totale Pontrjagin-Klasse von $𝐸$ ist

𝑝 (𝐸) ≔ 1 + 𝑝_{1} (𝐸) + 𝑝_{2} (𝐸) + \dots \in 𝐻_{dR}^{*} (𝑀, ℂ) .

3. Spin-Geometrie mit semi-Riemannscher Signatur

Anknüpfend an Begriffe aus Kapitel 2 definieren wir in diesem Kapitel den Begriff einer Spin- bzw. ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur sowie den Dirac-Operator einer semi-Riemannschen Spin- bzw. ${Spin}^{ℂ}$ -Mannigfaltigkeit, damit wir anschließend in Kapitel 4 die Seiberg-Witten-Gleichungen formulieren können. Vorausgesetzt wird der Begriff einer quadratischen Form auf einem Vektorraum und der einer Überlagerung. Die Definitionen folgen denen aus [Sch25] und erweitern sie um die Diskussion des semi-Riemannschen Falls.

3.1. Motivation

Die Fundamentalgruppe von $SO (𝑛)$ mit $𝑛 \geq 3$ ist $ℤ_{2}$ . Daher ist die universelle Überlagerung von $SO (𝑛)$ mit $𝑛 \geq 3$ eine zweifache Überlagerung, genannt $Spin (𝑛)$ :

1 \to ℤ_{2} ↪︎ Spin (𝑛) \overset{𝜋}{↠} SO (𝑛) \to 1 .

Die Überlagerungsabbildung $𝜋 : Spin (𝑛) \to SO (𝑛)$ ist eine Darstellung, die zwei Elemente auf die Identität abbildet, und sie ist somit nicht injektiv. Für die Gruppe $Spin (𝑛)$ existieren jedoch weitere Darstellungen, insbesondere injektive, die wir Spin-Darstellungen nennen. Es ist interessant zu fragen, wann eine Reduktion der Strukturgruppe des Tangentialbündels einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mittels der Spin-Darstellung von $SO (𝑛)$ auf die Spin-Gruppe $Spin (𝑛)$ möglich ist, da sich in diesem Fall der sogenannte Dirac-Operator als eine Art „Wurzel“ des Laplace-Operators definieren lässt. Der Dirac-Operator lässt sich auch im semi-Riemannschen Fall definieren und ist auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten wichtig, da sein zugehöriges Eigenwertproblem in der Physik Spin- $\frac{1}{2}$ -Fermionfelder vor der Zweitquantisierung beschreibt.

3.2. Clifford-Algebren

Wir werden nun die Tensoralgebra über einem Vektorraum einführen, um damit die Clifford-Algebra und anschließend die Pin- und Spin-Gruppe zu einem quadratischen Raum konstruieren zu können.

Definition 3.2.1 Ein quadratischer Raum ist ein Tupel $(𝑉, 𝑞)$ bestehend aus einem Vektorraum $𝑉$ über einem Körper $𝕂$ und einer quadratischen Form $𝑞 : 𝑉 \to 𝕂$ auf $𝑉$ . Im Fall $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ nennen wir $(𝑉, 𝑞)$ einen reellen bzw. komplexen quadratischen Raum.

Definition 3.2.2 Sei $𝑉$ ein $𝕂$ -Vektorraum. Die Tensoralgebra über $𝑉$ ist

Τ (𝑉) ≔ ⨁_{𝑛 \in ℕ} 𝑉^{\otimes 𝑛} mit 𝑉^{\otimes 𝑛} ≔ \underset{𝑛 -mal}{\underset{⏟}{𝑉 \otimes \dots \otimes 𝑉}}, 𝑉^{\otimes 0} ≔ 𝕂,

zusammen mit dem Tensorprodukt als Multiplikation. Elemente in dieser Algebra sind endliche Summen reiner Tensoren, d. h.

\begin{matrix} 𝑇 (𝑉) = {𝜆, 𝑣, 𝑣 \otimes 𝑤, 𝑣 \otimes 𝑤 \otimes 𝑢 + 𝑢 \otimes 𝑣, \dots | 𝑣, 𝑤, 𝑢, \dots \in 𝑉, 𝜆 \in 𝕂} \\ mit (𝑣 \otimes 𝑤 + 𝑢) \cdot 𝑣 = 𝑣 \otimes 𝑤 \otimes 𝑣 + 𝑢 \otimes 𝑣 \in 𝑇 (𝑉) für 𝑣, 𝑤, 𝑢 \in 𝑇 (𝑉) . \end{matrix}

In einem gewissen Sinne ist $𝑇 (𝑉)$ die „größte“ von $𝑉$ generierte Algebra über $𝕂$ . Das Ziel sei nun, aus der Tensoralgebra eines quadratischen Raumes $(𝑉, 𝑞)$ eine Algebra zu konstruieren, die $𝑉$ enthält und in der die Relation $𝑣 \cdot 𝑣 = - 𝑞 (𝑣)$ für alle $𝑣 \in 𝑉$ gilt.

Definition 3.2.3 Sei $(𝑉, 𝑞)$ ein quadratischer Raum, $𝑇 (𝑉)$ die Tensoralgebra über $𝑉$ und $𝐼 (𝑉, 𝑞) \subset 𝑇 (𝑉)$ das zweiseitige Ideal in $𝑇 (𝑉)$ , welches aus endlichen Summen von Elementen der Form

𝑦 \otimes (𝑣 \otimes 𝑣 + 𝑞 (𝑣) \cdot {id}_{𝑇 (𝑉)}) \otimes 𝑧 mit 𝑦, 𝑧 \in 𝑇 (𝑉), 𝑣 \in 𝑉

besteht. Die Clifford-Algebra zu $(𝑉, 𝑞)$ ist

Cl (𝑉, 𝑞) ≔ 𝑇 (𝑉) / 𝐼 (𝑉, 𝑞) .

Lemma 3.2.4 Sei $(𝑉, 𝑞)$ ein reeller oder komplexer quadratischer Raum und $Cl (𝑉, 𝑞)$ die zu $(𝑉, 𝑞)$ gehörende Clifford-Algebra.

Die Einbettung von $𝑉$ in die Clifford-Algebra
$𝛾 ≔ 𝜋 \circ 𝑖 : 𝑉 \to 𝑇 (𝑉) \to Cl (𝑉, 𝑞)$
ist injektiv. Wir werden daher ab nun $𝑉 \overset{𝛾}{\subset} Cl (𝑉, 𝑞)$ identifizieren.
Sei ${𝑒_{1}, \dots, 𝑒_{𝑛}} \subset 𝑉$ eine Basis von $𝑉$ . Dann ist
${𝑒_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑗_{𝑘}} | 𝑘 \in {1, \dots, 𝑛}, 1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛} \cup {1}$
eine Basis von $Cl (𝑉, 𝑞)$ .
Wenn $𝑝 : 𝑉 \times 𝑉 \to 𝕂$ die zu $𝑞$ gehörige symmetrische Bilinearform ist, definiert durch $𝑝 (𝑣, 𝑣) ≔ 𝑞 (𝑣)$ für alle $𝑣 \in 𝑉$ , dann gilt für alle $𝑥, 𝑦 \in Cl (𝑉, 𝑞)$
$𝑥 \cdot 𝑦 + 𝑥 \cdot 𝑦 = - 2 𝑝 (𝑥, 𝑦) .$

Beweis: Siehe Lemma 1.3 und Korollar 1.4 in [Sch25].

Definition 3.2.5 Sei $𝑞_{𝑟, 𝑠} (𝑥) ≔ - 𝑥_{1}^{2} - \dots - 𝑥_{𝑟}^{2} + 𝑥_{𝑟 + 1}^{2} + \dots + 𝑥_{𝑟 + 𝑠}^{2}$ die quadratische Standardform mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ auf $ℝ^{𝑟 + 𝑠}$ und $𝑞_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ ihre Fortsetzung auf $ℂ^{𝑟 + 𝑠}$ definiert durch

𝑞_{𝑟, 𝑠}^{ℂ} (𝑎 + 𝑖 𝑏) ≔ 𝑞 (𝑎) + 𝑖 𝑞 (𝑏) .

Dann schreiben wir

{Cl}_{𝑟, 𝑠} ≔ Cl (ℝ^{𝑟 + 𝑠}, 𝑞_{𝑟, 𝑠}) und {Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ} ≔ Cl (ℂ^{𝑟 + 𝑠}, 𝑞_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}) .

Die Algebra ${Cl}_{𝑟, 𝑠}$ ist somit eine reelle Algebra mit $ℝ^{𝑟 + 𝑠} \subset {Cl}_{𝑟, 𝑠}$ in der die Relationen $𝑒_{𝑖}^{2} = - 1$ für $𝑖 \leq 𝑟$ und $𝑒_{𝑖}^{2} = 1$ für $𝑖 > 𝑟$ gelten.

Beispiel 3.2.6 Die reelle Clifford-Algebra ${Cl}_{0, 1} = Cl (ℝ, 𝑞_{0, 1})$ , d. h. die Clifford-Algebra der reellen Zahlen (als reeller Vektorraum) und der quadratischen Form $𝑥 \mapsto 𝑥^{2}$ , ist als Algebra isomorph zur Algebra der komplexen Zahlen zusammen mit der komplexen Multiplikation:

{Cl}_{0, 1} = Cl (ℝ, 𝑥 \mapsto 𝑥^{2}) ≅ (ℂ, \cdot) .

Dies können wir wie folgt einsehen. Gemäß Lemma 3.2.4 ist ${1, 𝑒_{1}}$ eine Basis von $Cl (ℝ, 𝑥 \mapsto 𝑥^{2})$ . Somit definieren wir eine lineare Abbildung $𝑓 : {Cl}_{0, 1} \to ℂ$ durch

\begin{aligned} 𝑓 (1) & ≔ 1 \in ℂ, \\ 𝑓 (𝑒_{1}) & ≔ 𝑖 \in ℂ und lineare Fortsetzung. \end{aligned}

Die so definierte Abbildung ist ein Vektorraum-Isomorphismus. Sie ist sogar ein Algebren-Isomorphismus, denn es gilt

\begin{aligned} 𝑓 (1 \cdot 𝑒_{1}) = 𝑓 (𝑒_{1}) = 𝑓 (1) \cdot 𝑓 (𝑒_{1}), 𝑓 (𝑒_{1} \cdot 𝑒_{1}) & = 𝑓 (- 1) = - 1, \\ 𝑓 (1 \cdot 1) = 1 = 𝑓 (1) \cdot 𝑓 (1), 𝑓 (𝑒_{1}) \cdot 𝑓 (𝑒_{1}) & = 𝑖 \cdot 𝑖 = - 1 . \end{aligned}

Für die spätere Definition der Spin-Darstellung benötigen wir die wie folgt lautende universelle Eigenschaft der Clifford-Algebra.

Beispiel 3.2.7 Die reelle Clifford-Algebra ${Cl}_{0, 2}$ ist als Algebra isomorph zu den Quaternionen $ℍ$ mit der quaternionischen Multiplikation. Für einen Beweis siehe [Sch24].

Lemma 3.2.8 Sei $Cl (𝑉, 𝑞)$ die Clifford-Algebra zu einem quadratischen Raum $(𝑉, 𝑞)$ und $𝛾 : 𝑉 \to Cl (𝑉, 𝑞)$ die Einbettung von $𝑉$ in $Cl (𝑉, 𝑞)$ wie in Lemma 3.2.4. Wenn $𝐴$ eine weitere $𝕂$ -Algebra und $𝛿 : 𝑉 \to 𝐴$ eine lineare Abbildung ist, die für alle $𝑣 \in 𝑉$ die Bedingung $𝛿 (𝑣) \cdot 𝛿 (𝑣) = - 𝑞 (𝑣) {id}_{𝐴}$ erfüllt, dann existiert ein eindeutiger Algebrenhomomorphismus $𝑓 : Cl (𝑉, 𝑞) \to 𝐴$ mit $𝛿 = 𝑓 \circ 𝛾$ .

Beweis: Nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra existiert genau ein Algebrenhomomorphismus

\tilde{𝑓} : 𝑇 (𝑉) \to 𝐴

mit

𝛿 = \tilde{𝑓} \circ 𝑖

. Da

\tilde{𝑓} |_{𝐼 (𝑉, 𝑞)} = 0

gilt, kann

\tilde{𝑓}

auf

𝑇 (𝑉) / 𝐼 (𝑉, 𝑞)

fortgesetzt werden zu einer Abbildung

𝑓

mit

\tilde{𝑓} = 𝑓 \circ 𝜋

. Es folgt

𝛿 = 𝑓 \circ 𝛾

. Nach der universellen Eigenschaft von Quotienten ist

𝑓

eindeutig.

□

Nachdem wir im nächsten Abschnitt die Pin- und Spin-Gruppen eingeführt haben, wollen wir eine gewisse doppelte Überlagerung der (speziellen) orthogonalen Gruppe definieren. Für diesen Zweck benötigen wir die folgende Abbildung.

Definition 3.2.9 Sei $(𝑉, 𝑞)$ ein reeller oder komplexer quadratischer Raum, $Cl (𝑉, 𝑞)$ die Clifford-Algebra zu $(𝑉, 𝑞)$ und ${𝑒_{1}, \dots, 𝑒_{𝑛}}$ eine Basis von $𝑉$ . Seien für alle $𝑘 \in {1, \dots, 𝑛}$ und $1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛$ die Abbildungen

𝛼 (𝑒_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑗_{𝑘}}) ≔ {(- 1)}^{𝑘} 𝑒_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑗_{𝑘}} und 𝛼 (1) = 1

definiert. Durch lineare Fortsetzung entsteht ein Algebrenautomorphismus auf ganz $Cl (𝑉, 𝑞)$ .

3.3. Darstellungen der Pin- und Spin-Gruppe

Sei wieder $Cl (𝑉, 𝑞)$ die Clifford-Algebra zu einem quadratischen Raum $(𝑉, 𝑞)$ . Sei außerdem die quadratische Form $𝑞 : 𝑉 \to 𝕂$ nicht-entartet.

Wir werden nun die Pin- und Spin-Gruppe als multiplikative Untergruppe der Clifford-Algebra einführen. Anschließend werden wir im Fall $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ eine Abbildung von der Pin-Gruppe in die Invarianzgruppe der quadratischen Form $𝑞 : 𝑉 \to 𝕂$ definieren und zu dieser Abbildung bemerken, dass sie eine doppelte Überlagerung ist.

Bemerkung 3.3.1 Die Clifford-Algebra $Cl (𝑉, 𝑞)$ ist eine unitäre, assoziative Algebra. In $Cl (𝑉, 𝑞)$ existiert außerdem für alle $𝑣 \in 𝑉 \subset Cl (𝑉, 𝑞)$ das multiplikative Inverse

𝑣^{- 1} = - \frac{𝑣}{𝑞 (𝑣)} .

Somit existieren die folgenden Gruppen.

Definition 3.3.2

Die Pin- bzw. die Spin-Gruppe zu $(𝑉, 𝑞)$ ist die folgende multiplikative Untergruppe von $Cl (𝑉, 𝑞)$
$\begin{aligned} Pin (𝑉, 𝑞) & ≔ {𝑣_{1} \cdot \dots \cdot 𝑣_{𝑘} | 𝑘 \in ℕ, \forall 𝑖 : 𝑣_{𝑖} \in 𝑉, 𝑞 (𝑣_{𝑖}) \in {\pm 1}}, \\ Spin (𝑉, 𝑞) & ≔ {𝑣_{1} \cdot \dots \cdot 𝑣_{2 𝑘} | 𝑘 \in ℕ_{,} \forall 𝑖 : 𝑣_{𝑖} \in 𝑉, 𝑞 (𝑣_{𝑖}) \in {\pm 1}} \subset Pin (𝑉, 𝑞) . \end{aligned}$
Die Invarianzgruppe von $𝑞$ ist
$𝑂 (𝑉, 𝑞) ≔ {𝐴 : 𝑉 \to 𝑉 linear | \forall 𝑣 \in 𝑉 : 𝑞 (𝐴 𝑣) = 𝑞 (𝑣)} .$
Die spezielle Invarianzgruppe von $𝑞$ ist
$SO (𝑉, 𝑞) ≔ {𝐴 \in 𝑂 (𝑉, 𝑞) | det (𝐴) = 1} .$

Wie angekündigt, werden wir nun feststellen, dass mit dieser Definition der Pin- und Spin-Gruppe im Fall $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ eine elegante Konstruktion einer doppelten Überlagerung der soeben definierten (speziellen) Invarianzgruppe von $𝑞$ einhergeht. Es sei jedoch gesagt, dass die Invarianzgruppe von $𝑞$ im Fall $𝕂 = ℂ$ nicht die Interpretation als die zu einer Norm gehörigen orthogonalen Gruppe zulässt, da sie in diesem Fall nicht reell-wertig ist und somit nicht das Quadrat einer Norm sein kann.

Definition 3.3.3 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $Pin (𝑉, 𝑞)$ die Pin-Gruppe zu $(𝑉, 𝑞)$ . Sei außerdem $𝛼 : Cl (𝑉, 𝑞) \to Cl (𝑉, 𝑞)$ der Algebrenhomomorphismus aus Definition 3.2.9. Dann definieren wir die Abbildung

\begin{aligned} 𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) & \to End (Cl (𝑉, 𝑞)) \\ 𝑣 & \mapsto (𝑥 \mapsto 𝛼 (𝑣) \cdot 𝑥 \cdot 𝑣^{- 1}) . \end{aligned}

Die Einschränkung dieser Abbildung auf die Untergruppe $Spin (𝑉, 𝑞) \subset Pin (𝑉, 𝑞)$ bezeichnen wir wieder mit $𝜌$ .

Bemerkung 3.3.4 Die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to End (Cl (𝑉, 𝑞))$ bzw. ihre Einschränkung auf $Spin (𝑉, 𝑞)$ ist ein Gruppenhomomorphismus, da $𝛼$ ein Algebrenhomomorphismus und die Abbildung auf das Inverse in $Pin (𝑉, 𝑞)$ bzw. $Spin (𝑉, 𝑞)$ ein Antialgebrenhomomorphismus ist.

Um das Bild der so definierten Abbildung auf die Invarianzgruppe $𝑂 (𝑉, 𝑞)$ von $𝑞$ einschränken zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma 3.3.5 Sei weiterhin $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $𝛼 : Cl (𝑉, 𝑞) \to Cl (𝑉, 𝑞)$ der Algebrenhomomorphismus aus Definition 3.2.9. Sei außerdem $𝑝 : 𝑉 \times 𝑉 \to 𝕂$ die zu $𝑞$ gehörige symmetrische Bilinearform, definiert durch $𝑞 (𝑣) = 𝑝 (𝑣, 𝑣)$ für alle $𝑣 \in 𝑉$ . Dann gilt in $Cl (𝑉, 𝑞)$ für $𝑣, 𝑥 \in 𝑉$ mit $𝑞 (𝑣) \neq 0$

𝛼 (𝑣) \cdot 𝑥 \cdot 𝑣^{- 1} = 𝑥 - 2 \frac{𝑝 (𝑣, 𝑥)}{𝑞 (𝑣)} \cdot 𝑣 \in 𝑉 .

Dies entspricht der Reflektion von $𝑥$ an der bezüglich $𝑝$ orthogonalen Hyperebene ${𝑣}^{⟂}$ .

Beweis: Für $𝑣 \in 𝑉$ mit $𝑞 (𝑣) \neq 0$ gilt $𝑣^{- 1} = - \frac{𝑣}{𝑞 (𝑣)}$ und $𝛼 (𝑣) = - 𝑣$ . Somit gilt gemäß Lemma 3.2.4

𝛼 (𝑣) \cdot 𝑥 \cdot 𝑣^{- 1} = \frac{1}{𝑞 (𝑣)} 𝑣 \cdot 𝑥 \cdot 𝑣 = \frac{1}{𝑞 (𝑣)} (- 𝑥 \cdot 𝑣 - 2 𝑝 (𝑣, 𝑥)) \cdot 𝑣 = 𝑥 - 2 \frac{𝑝 (𝑣, 𝑥)}{𝑞 (𝑣)} \cdot 𝑣 .

$□$

Somit können wir aus der Eigenschaft, dass $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to End (Cl (𝑉, 𝑞))$ ein Gruppenhomomorphismus ist, folgendes Korollar schließen.

Korollar 3.3.6 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to End (Cl (𝑉, 𝑞))$ der Gruppenhomomorphismus aus Definition 3.3.3. Für $𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑘} \in 𝑉$ mit $𝑞 (𝑣_{𝑖}) \in {\pm 1}$ für alle $𝑣_{𝑖} \in {𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑘}}$ entspricht

𝜌 (𝑣_{1} \cdot \dots \cdot 𝑣_{𝑘})) |_{𝑉} = 𝜌 (𝑣_{1}) |_{𝑉} \circ \dots \circ 𝜌 (𝑣_{𝑘}) |_{𝑉}

der Hintereinanderausführung von $𝑘$ -Spiegelungen an den bezüglich $𝑝$ orthogonalen Hyperebenen ${𝑣_{𝑘}}^{⟂}$ bis ${𝑣_{1}}^{⟂}$ . Insbesondere können wir $𝜌$ als eine Abbildung der folgenden Form auffassen:

𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞) .

Lemma 3.3.7 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ . Dann besitzen $Cl (𝑉, 𝑞)$ und $End (𝑉)$ als endlich-dimensionale reelle bzw. komplexe Vektorräume eine Topologie und auf $Pin (𝑉, 𝑞) \subset Cl (𝑉, 𝑞)$ sowie $𝑂 (𝑉, 𝑞) \subset End (𝑉)$ wird jeweils die Teilraumtopologie induziert. Bezüglich diesen Topologien ist die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ stetig.

Beweis: Siehe [LM89].

Insgesamt ist es das Ziel, diese (bisher nur stetige) Abbildung als Lie-Gruppen-Homomorphismus aufzufassen, um später eine Reduktion der Strukturgruppe des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit anhand dieser Abbildung definieren zu können (siehe Definition 2.2.7). In diesem Sinne müssen wir die Pin- und Spin-Gruppe zunächst als Lie-Gruppen auffassen. Dies wird sich aus der Identifikation dieser Gruppen als abgeschlossene Untergruppen der folgenden Lie-Gruppe ergeben.

Lemma 3.3.8 Im Fall $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ bildet die Menge der beidseitig invertierbaren Elemente ${Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ in $Cl (𝑉, 𝑞)$ („Einheiten“) mit der glatten Struktur als Untermannigfaltigkeit von $Cl (𝑉, 𝑞)$ eine Lie-Gruppe.

Beweis: Siehe [Sch25].

Beweis: Seien $𝐿_{𝑎} : Cl (𝑉, 𝑞) \to Cl (𝑉, 𝑞)$ bzw. $𝑅_{𝑎} : Cl (𝑉, 𝑞) \to Cl (𝑉, 𝑞)$ die Links- bzw. Rechtsmultiplikation mit $𝑎 \in Cl (𝑉, 𝑞)$ . Die Menge ${Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ der Einheiten in $Cl (𝑉, 𝑞)$ ist offen in $Cl (𝑉, 𝑞)$ , denn sie ist Schnittmenge der von links bzw. von rechts invertierbaren Elemente und diese Mengen sind offen, da

𝐿_{𝑎} ist invertierbar \Leftrightarrow det (𝐿_{𝑎}) \neq 0 (genauso für 𝑅_{𝑎}) .

Somit bildet ${Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ eine Untermannigfaltigkeit von $Cl (𝑉, 𝑞)$ . Die Multiplikation in ${Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ ist glatt, da sie Einschränkung einer bilinearen Abbildung auf $Cl (𝑉, 𝑞)$ ist. Durch die Wahl einer submultiplikativen Norm $‖ \cdot ‖$ auf $Cl (𝑉, 𝑞)$ , kann durch Abschätzung der Potenzreihe mittels der Submultiplikativität der Norm gezeigt werden, dass die Abbildung

{𝑎 \in Cl (𝑉, 𝑞) | ‖ 𝑎 ‖ < 1} ∋ 𝑎 \mapsto \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} 𝑎^{𝑘} = {(1 - 𝑎)}^{- 1}

glatt ist. Also ist die Abbildung auf das Inverse

inv : {Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times} ∋ 𝑎 \mapsto 𝑎^{- 1} \in {Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}

glatt um $1 \in {Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ . Sie ist daher auch glatt um alle $𝑎 \in {Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ , da sie sich als folgende Komposition ergibt:

inv : 𝑅_{𝑎} \circ \underset{glatt um 1}{\underset{⏟}{inv}} \circ 𝐿_{𝑎^{- 1}} .

$□$

Schließlich bleibt für die Auffassung der Pin- und Spin-Gruppe als Lie-Gruppen mittels Lemma 2.1.3 zu zeigen, dass diese abgeschlossene Untergruppen der Einheiten ${Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ sind. Im Riemannschen Fall ( $𝑞$ positiv definit) ist $Pin (𝑉, 𝑞)$ bzw. $Spin (𝑉, 𝑞)$ das Bild kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen (der Multiplikation) und somit sogar kompakt und insbesondere abgeschlossen. Im Fall einer allgemeinen nicht-entarteten quadratischen Form $𝑞$ werden wir stattdessen aus dem Satz von Cartan-Dieudonné folgern, dass die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ bzw. ihre Einschränkung auf die Spin-Gruppe surjektiv ist und somit die Pin- bzw. Spin-Gruppe als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung abgeschlossen.

Satz 3.3.9 Wenn

\tilde{𝑞}

eine nicht-ausgeartete quadratische Form auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum

\tilde{𝑉}

über einem Körper der Charakteristik ungleich zwei ist, dann ist jedes Element der Invarianzgruppe

𝑂 (\tilde{𝑉}, \tilde{𝑞})

(definiert analog wie in Definition 3.3.2) eine Hintereinanderausführung von (maximal

dim (𝑉)

-)Reflektionen. Dies bezeichnen wir als das Theorem von Cartan-Dieudonné.

Beweis: Siehe [Art57].

Korollar 3.3.10 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $Pin (𝑉, 𝑞)$ , $Spin (𝑉, 𝑞)$ die Pin- bzw. Spin-Gruppe sowie $𝑂 (𝑉, 𝑞)$ , $SO (𝑉, 𝑞)$ die (spezielle) orthogonale Gruppe, jeweils zu $(𝑉, 𝑞)$ .

Die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ aus Definition 3.3.3 ist stetig und gemäß dem Satz von Cartan-Dieudonné surjektiv. Somit ist $Pin (𝑉, 𝑞)$ abgeschlossen. Da sich außerdem $𝐴 \in SO (𝑉, 𝑞)$ aus einer geraden Anzahl an Reflektionen zusammensetzt, folgt $𝜌^{- 1} (SO (𝑉, 𝑞)) = Spin (𝑉, 𝑞)$ und somit auch, dass $Spin (𝑉, 𝑞)$ abgeschlossen ist.
Die Gruppen $Pin (𝑉, 𝑞)$ und $Spin (𝑉, 𝑞)$ zu $(𝑉, 𝑞)$ sind als abgeschlossene Untergruppen der Lie-Gruppe ${Cl (𝑉, 𝑞)}^{\times}$ der Einheiten in $Cl (𝑉, 𝑞)$ wieder Lie-Gruppen und die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ bzw. ihre Einschränkung $𝜌 : Spin (𝑉, 𝑞) \to SO (𝑉, 𝑞)$ ist als stetiger Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen nach Lemma 2.1.7 glatt, also ein Lie-Gruppenhomomorphismus.

Schließlich lässt sich feststellen, dass die so gefundenen Darstellungen tatsächlich zweifache Überlagerungen sind. Dazu bemerken wir, dass die Abbildung ein lokaler Diffeomorphismus ist und dass ihr Kern aus zwei Elementen besteht.

Lemma 3.3.11 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $Pin (𝑉, 𝑞), Spin (𝑉, 𝑞), 𝑂 (𝑉, 𝑞), SO (𝑉, 𝑞)$ wie bisher. Dann gilt:

Der Kern von $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ ist ${\pm 1} \subset Spin (𝑉, 𝑞)$ .
Die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ sowie ihre Einschränkung $𝜌 : Spin (𝑉, 𝑞) \to SO (𝑉, 𝑞)$ ist ein lokaler Diffeomorphismus.

Beweis:

Sei $𝑢 \in Pin (𝑉, 𝑞)$ mit $𝜌 (𝑢) = {id}_{𝑉}$ . Aus $𝜌^{- 1} (SO (𝑉, 𝑞)) = Spin (𝑉, 𝑞)$ folgt $𝑢 \in Spin (𝑉, 𝑞)$ . Sei ${𝑒_{1}, \dots, 𝑒_{𝑛}}$ eine $𝑞$ -Orthonormalbasis von $𝑉$ . Gemäß Lemma 3.2.4 lässt sich $𝑢$ wie folgt schreiben:
$𝑢 = \sum_{\begin{matrix} 𝑘 \in {1, \dots, 𝑛}, 𝑘 gerade \\ 1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛 \end{matrix}} \underset{\in 𝕂}{\underset{⏟}{𝑢_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑘}}}} 𝑒_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑗_{𝑘}} + \underset{\in 𝕂}{\underset{⏟}{𝑢_{0}}} .$
Außerdem folgt aus $𝑢 \in Spin (𝑉, 𝑞)$ , dass $𝛽 (𝑢) = 𝑢^{- 1}$ gilt. Somit folgt
$𝜌 (𝑢) (𝑦) = 𝑦 \Leftrightarrow 𝑢 𝑦 𝑢^{- 1} = 𝑦 \Leftrightarrow 𝑢 𝑦 = 𝑦 𝑢 \forall 𝑦 \in 𝑉 .$
Insbesondere gilt $𝑒_{𝑖} 𝑢 𝑒_{𝑖} = - 𝑞 (𝑒_{𝑖}) 𝑢$ für alle Basisvektoren $𝑒_{𝑖}$ . Für dieses Produkt gilt auch:
$\begin{aligned} 𝑒_{𝑖} 𝑢 𝑒_{𝑖} & = \sum_{\begin{matrix} 𝑘 \in {1, \dots, 𝑛}, 𝑘 gerade \\ 1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛 \end{matrix}} 𝑢_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑘}} 𝑒_{𝑖} 𝑒_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑗_{𝑘}} 𝑒_{𝑖} + 𝑒_{𝑖}^{2} 𝑢_{0} \\ = \sum_{\begin{matrix} 𝑘 \in {1, \dots, 𝑛}, 𝑘 gerade \\ 1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛 \end{matrix}} 𝑢_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑘}} 𝑒_{𝑖}^{2} {(- 1)}^{𝑘 - 1} 𝑒_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑗_{𝑘}} + 𝑒_{𝑖}^{2} 𝑢_{0} \\ = - 𝑞 (𝑒_{𝑖}) \overset{!}{=} - 𝑞 (𝑒_{𝑖}) 𝑢 . \end{aligned}$
Aus der letzten Zeile folgt, dass $𝑢_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑘}} = 0$ für alle $𝑘 \in {1, \dots, 𝑛}$ und somit $𝑢 \in 𝕂$ . Aus $𝑢 \in Pin (𝑉, 𝑞)$ folgt schließlich $𝑢 \in {\pm 1}$ . Die Inklusion ${\pm 1} \subset ker 𝜌$ ist klar.
Wir zeigen die Aussage für $Pin (𝑉, 𝑞)$ ; die Aussage für $Spin (𝑉, 𝑞)$ folgt analog. Zuerst zeigen wir, dass $𝜌$ ein lokaler Diffeomorphismus um $1 \in Pin (𝑉, 𝑞)$ ist. Sei dazu $𝔭𝔦𝔫 (𝑉, 𝑞)$ die Lie-Algebra der Lie-Gruppe $Pin (𝑉, 𝑞)$ und ${(𝑑 𝜌)}_{1}$ das Differential von $𝜌$ an $1 \in Pin (𝑉, 𝑞)$ , sowie $𝑋 \in 𝔭𝔦𝔫 (𝑉, 𝑞)$ . Dann gilt gemäß Lemma 2.1.14
$𝜌 (exp (𝑡 𝑋)) = exp (𝑡 \cdot {(𝑑 𝜌)}_{1} (𝑋)) .$
Wäre $𝑋 \in ker {(𝑑 𝜌)}_{1}$ mit $𝑋 \neq 0$ , würde die gesamte Integralkurve zu $𝑋$ im Kern von $𝜌$ liegen, was in Widerspruch zu 1. steht. Also gilt $ker {(𝑑 𝜌)}_{1} = 0$ und aus dem Umkehrsatz folgt, dass $𝜌$ ein lokaler Diffeomorphismus um $1 \in Pin (𝑉, 𝑞)$ ist. Da $𝜌$ ein Gruppenhomomorphismus ist, überträgt sich diese Eigenschaft auf ganz $Pin (𝑉, 𝑞)$ , denn um alle $𝑔 \in Pin (𝑉, 𝑞)$ lässt sich $𝜌$ darstellen als Abbildung:
$𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) ∋ ℎ 𝑔 \mapsto \underset{um 1 \in Pin (𝑉, 𝑞)}{\underset{⏟}{𝜌 (ℎ)}} \circ \underset{const.}{\underset{⏟}{𝜌 (𝑔)}} \in 𝑂 (𝑉, 𝑞) .$

$□$

Proposition 3.3.12 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ . Die Abbildung $𝜌 : Pin (𝑉, 𝑞) \to 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ aus Definition 3.3.3 bzw. ihre Einschränkung $𝜌 : Spin (𝑉, 𝑞) \to SO (𝑉, 𝑞)$ ist eine doppelte Überlagerung.

Beweis: Sei $𝐴 \in 𝑂 (𝑉, 𝑞)$ und $𝜌^{- 1} (𝐴) = {\pm 𝑢}$ . Wähle offene Umgebungen $𝑈, 𝑈^{'}$ von $𝑢$ und $- 𝑢$ , sodass $𝜌$ eingeschränkt auf $𝑈$ bzw. $𝑈^{'}$ ein Diffeomorphismus wird. Dann ist

𝑉 ≔ 𝜌 (𝑈) \cap 𝜌 (𝑈^{'})

eine offene Umgebung von $𝐴$ , sodass $𝜌^{- 1} (𝑉)$ eine disjunkte Vereinigung zweier offener Umgebungen ist, auf die eingeschränkt $𝜌$ jeweils ein Diffeomorphismus ist. Die Aussage für $𝜌 : Spin (𝑉, 𝑞) \to SO (𝑉, 𝑞)$ folgt analog. $□$

Wir haben nun das folgende Korollar gezeigt.

Korollar 3.3.13 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ . Dann sind die folgenden Sequenzen exakt:

\begin{aligned} 1 \to ℤ_{2} & ↪︎ Pin (𝑉, 𝑞) & \overset{𝜌}{↠} 𝑂 (𝑉, 𝑞) \to 1 \\ 1 \to ℤ_{2} & ↪︎ Spin (𝑉, 𝑞) & \overset{𝜌}{↠} SO (𝑉, 𝑞) \to 1 . \end{aligned}

Die so gefundenen Darstellungen der Pin-Gruppe und der Spin-Gruppe wirken trivial auf dem Element $- 1 \in Spin (𝑉, 𝑞) \subset Pin (𝑉, 𝑞)$ . Das Ziel ist es nun, eine Darstellung zu finden, die nicht trivial auf diesem Element wirkt, also injektiv ist, und wir werden solche Darstellungen Spin-Darstellungen nennen.

Definition 3.3.14 Sei wieder $𝑞_{𝑟, 𝑠} (𝑥) ≔ - 𝑥_{1}^{2} - \dots - 𝑥_{𝑟}^{2} + 𝑥_{𝑟 + 1}^{2} + \dots + 𝑥_{𝑟 + 𝑠}^{2}$ die quadratische Standardform mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ auf $ℝ^{𝑟 + 𝑠}$ . Die folgenden Gruppen nennen wir die Pin- bzw. Spin-Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ :

Pin (𝑟, 𝑠) ≔ Pin (ℝ^{𝑟 + 𝑠}, 𝑞_{𝑟, 𝑠}), Spin (𝑟, 𝑠) ≔ Spin (ℝ^{𝑟 + 𝑠}, 𝑞_{𝑟, 𝑠}) .

Um eine Spin-Darstellung der Gruppe $Spin (𝑟, 𝑠)$ zu finden, werden wir zuerst eine Algebrendarstellung der komplexen Clifford-Algebra ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ finden, die nicht-trivial auf dem Element $- 1$ wirkt, und diese dann auf $Spin (𝑟, 𝑠) \subset {Cl}_{𝑟, 𝑠} \otimes ℂ ≅ {Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ einschränken. Die Physik bezeichnet eine solche Darstellung von ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ im Fall $(𝑟 = 1, 𝑠 = 3)$ als Dirac- bzw. Gamma-Matrizen. Zur Konstruktion dieser Darstellung benötigen wir zunächst die wie folgt definierten Matrizen und ihre Eigenschaften.

Definition 3.3.15 Die Pauli-Matrizen sind

𝜎_{1} ≔ (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), 𝜎_{2} ≔ (\begin{matrix} 0 & - 𝑖 \\ 𝑖 & 0 \end{matrix}) und 𝜎_{3} ≔ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

Bemerkung 3.3.16 Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die Pauli-Matrizen eine Basis von $Mat (2, ℂ)$ . Sie antikommutieren paarweise, quadrieren jeweils zur Identität und es gilt

𝜎_{1} 𝜎_{2} = 𝑖 𝜎_{3} .

Bemerkung 3.3.17 Für $𝑖, 𝑗 \in {1, 2, 3}$ wirkt das Tensorprodukt zweier Pauli-Matrizen auf dem Tensorproduktraum $ℂ^{2} \otimes ℂ^{2}$ durch

𝜎_{𝑖} \otimes 𝜎_{𝑗} : ℂ^{2} \otimes ℂ^{2} ∋ 𝑣 \otimes 𝑤 \mapsto 𝜎_{𝑖} 𝑣 \otimes 𝜎_{𝑗} 𝑤 \in ℂ^{2} \otimes ℂ^{2} .

In der lexikographischen Basiswahl, d. h.

(𝑒_{1} \otimes 𝑒_{1}, 𝑒_{1} \otimes 𝑒_{2}, 𝑒_{2} \otimes 𝑒_{1}, 𝑒_{2} \otimes 𝑒_{2}),

entspricht diese Abbildung dem Kronecker-Produkt der Matrizen $𝜎_{𝑖}, 𝜎_{𝑗}$ der beiden Matrizen gegeben. Beispielsweise ist die Darstellungsmatrix für $𝑖 = 1, 𝑗 = 2$ in dieser Basis gegeben durch

𝜎_{1} \otimes 𝜎_{2} ≙ (\begin{matrix} 0 \cdot (\begin{matrix} 0 & - 𝑖 \\ 𝑖 & 0 \end{matrix}) & 1 \cdot (\begin{matrix} 0 & - 𝑖 \\ 𝑖 & 0 \end{matrix}) \\ 1 \cdot (\begin{matrix} 0 & - 𝑖 \\ 𝑖 & 0 \end{matrix}) & 0 \cdot (\begin{matrix} 0 & - 𝑖 \\ 𝑖 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 𝑖 \\ 0 & 0 & 𝑖 & 0 \\ 0 & - 𝑖 & 0 & 0 \\ 𝑖 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Dem $𝑛$ -fachen Tensorprodukt beliebiger $2 \times 2$ -Matrizen kann in diesem Sinne eine $2^{𝑛} \times 2^{𝑛}$ -Darstellungsmatrix zugeordnet werden.

Analog zu [Sch25], wo die Spin-Darstellung von ${Cl}_{0, 𝑠}$ beschrieben wurde, definieren wir nun die Spin-Darstellung von ${Cl}_{𝑟, 𝑠}$ . Das Finden einer Spin-Darstellung für allgemeine Signatur erfolgt analog, da die Isomorphieklasse von ${Cl}_{𝑟, 𝑠}$ nur von $𝑟 + 𝑠$ abhängt.

Proposition 3.3.18 Sei $𝑛 ≔ 𝑟 + 𝑠$ mit $𝑟, 𝑠 \in ℕ$ sowie ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ die komplexe Clifford-Algebra mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ wie in Definition 3.2.5. Seien außerdem $𝜎_{1}, 𝜎_{2}, 𝜎_{3}$ die Pauli-Matrizen und $𝐼_{2} \in Mat (2, ℂ)$ die $2 \times 2$ -Einheitsmatrix.

Fall $𝑛 = 2 𝑚$ gerade.
Sei eine lineare Abbildung $𝜑_{𝑛} : ℂ^{𝑛} \to Mat (2^{𝑚}, ℂ)$ gegeben durch
$\begin{aligned} 𝜑_{𝑛} : 𝑒_{2 𝑗 - 1} & \mapsto 𝑖 \underset{𝑗 - 1}{\underset{⏟}{𝜎_{1} \otimes \dots \otimes 𝜎_{1}}} \otimes 𝜎_{2} \otimes \underset{𝑚 - 𝑗}{\underset{⏟}{𝐼_{2} \otimes \dots \otimes 𝐼_{2}}} \\ 𝑒_{2 𝑗} & \mapsto 𝑖 \overset{⏞}{𝜎_{1} \otimes \dots \otimes 𝜎_{1}} \otimes 𝜎_{3} \otimes \overset{⏞}{𝐼_{2} \otimes \dots \otimes 𝐼_{2}} (𝑗 = 1, \dots, 𝑚) . \end{aligned}$
Fall $𝑛 = 2 𝑚 + 1$ ungerade.
Sei eine lineare Abbildung $𝜑_{𝑛} : ℂ^{𝑛} \to Mat (2^{𝑚}, ℂ) \oplus Mat (2^{𝑚}, ℂ)$ gegeben durch
$\begin{aligned} 𝜑_{𝑛} : 𝑒_{𝑗} & \mapsto (𝜑_{𝑛 - 1} (𝑒_{𝑗}), 𝜑_{𝑛 - 1} (𝑒_{𝑗})) (𝑗 = 1, \dots, 2 𝑚) \\ 𝑒_{2 𝑚 + 1} & \mapsto (𝑖 \underset{𝑚}{\underset{⏟}{𝜎_{1} \otimes \dots \otimes 𝜎_{1}}}, - 𝑖 \underset{𝑚}{\underset{⏟}{𝜎_{1} \otimes \dots \otimes 𝜎_{1}}}) . \end{aligned}$

Sei anschließend eine lineare Abbildung $𝜑_{𝑟, 𝑠}$ gegeben durch:

𝜑_{𝑟, 𝑠} : 𝑒_{𝑗} \mapsto {\begin{cases} 𝑖 𝜑_{𝑛} (𝑒_{𝑗}) & 𝑗 \leq 𝑟 \\ 𝜑_{𝑛} (𝑒_{𝑗}) & sonst \end{cases}

Durch multiplikative Fortsetzung auf ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ entsteht ein Algebren-Isomorphismus in eine Matrixalgebra bzw. in eine direkte Summe zweier Matrixalgebren.

Beweis: Sei $𝑛 = 2 𝑚$ gerade. Die Abbildung $𝜑_{𝑟, 𝑠}$ erfüllt die Voraussetzung der universellen Eigenschaft aus Lemma 3.2.8. Daher lässt sich $𝜑_{𝑟, 𝑠}$ (eindeutig) zu einem Algebrenhomomorphismus $𝜑_{𝑟, 𝑠} : {Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ} \to Mat (2^{𝑚}, ℂ)$ fortsetzen. Dieser ist surjektiv, denn für $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ wird auf die Elemente

𝜑_{𝑟, 𝑠} (𝑒_{2 𝑗 - 1} \cdot 𝑒_{2 𝑗}) = {\begin{cases} 𝑖 𝐸^{\otimes 𝑗 - 1} \otimes 𝜎_{1} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} & 𝑗 \leq 𝑟 \\ 𝐸^{\otimes 𝑗 - 1} \otimes 𝜎_{1} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} & 𝑗 = 𝑟 + 1 \\ - 𝑖 𝐸^{\otimes 𝑗 - 1} \otimes 𝜎_{1} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} & 𝑗 \geq 𝑟 + 1 \end{cases}

abgebildet. Durch Multiplikation dieser Elemente mit $𝑖$ bzw. $- 𝑖$ entstehen die Elemente

𝐸^{\otimes 𝑗 - 1} \otimes 𝜎_{1} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} .

Durch Multiplikation dieser Elemente untereinander entstehen die Elemente

𝜎_{1}^{\otimes 𝑗} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} .

Durch Multiplikation dieser Elemente mit $𝜑_{𝑟, 𝑠} (𝑒_{2 𝑗 - 1})$ bzw. $𝜑_{𝑟, 𝑠} (𝑒_{2 𝑗})$ und Multiplikation mit einer komplexen Zahl erhalten wir die Elemente

\begin{matrix} 𝐸^{\otimes 𝑗 - 1} \otimes 𝜎_{3} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} \\ und 𝐸^{\otimes 𝑗 - 1} \otimes 𝜎_{2} \otimes 𝐸^{\otimes 𝑚 - 𝑗} . \end{matrix}

Da die Pauli-Matrizen eine Basis von $Mat (2, ℂ)$ bilden, entstehen aus Gl. (3.1) und Gl. (3.2) ganz $Mat (2^{𝑚}, ℂ)$ . Aus der Surjektivität von $𝜑_{𝑟, 𝑠}$ als lineare Abbildung folgt auch die Injektivität, da ${dim}_{ℂ} (Mat (2^{𝑚}, ℂ)) = 2^{𝑛} = {dim}_{ℂ} ({Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ})$ gilt. Für den Fall $𝑛 = 2 𝑚 + 1$ ungerade siehe [Sch25]. $□$

Den Vektorraum, auf dem diese Tensorprodukte wirken, bezeichnen wir wie folgt.

Definition 3.3.19 Für $𝑚 \in ℕ$ und $𝑛 \in {2 𝑚, 2 𝑚 + 1}$ definieren wir den Raum der komplexen $𝑛$ -Spinoren durch

Δ_{𝑛} ≔ \underset{𝑚}{\underset{⏟}{ℂ^{2} \otimes \dots \otimes ℂ^{2}}} ≅ ℂ^{(2^{𝑚})} .

Definition 3.3.20 Sei ${Cl}_{𝑟, 𝑠}$ die reelle Clifford-Algebra mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ wie in Definition 3.2.5 und $Spin (𝑟, 𝑠)$ die Spin-Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ wie in Definition 3.3.14.

Die Spin-Darstellung von ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ ist der Algebrenhomomorphismus
$\begin{aligned} 𝜅_{𝑟, 𝑠} : {Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ} & \to End (Δ_{𝑛}) \\ 𝑎 & \mapsto {\begin{cases} 𝜑_{𝑟, 𝑠} (𝑎) & 𝑟 + 𝑠 gerade \\ {pr}_{1} \circ 𝜑_{𝑟, 𝑠} (𝑎) & 𝑟 + 𝑠 ungerade \end{cases} \end{aligned}$
Die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ ist die Einschränkung:
$𝜅 ≔ 𝜅_{𝑟, 𝑠} |_{Spin (𝑟, 𝑠)} : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛}) \subset End (Δ_{𝑛}) .$

Zuletzt möchten wir noch feststellen, dass diese Abbildung tatsächlich eine Darstellung ist und im Fall $𝑟 + 𝑠$ gerade, wie gefordert, injektiv ist. Auch für ungerade $𝑟 + 𝑠$ ist diese Darstellung injektiv, jedoch ist nur der Fall $(𝑟 = 0, 𝑠 = 4)$ für die Seiberg-Witten-Gleichungen relevant. Auch der für die Physik relevante Fall $(𝑟 = 1, 𝑠 = 3)$ ist gerade.

Korollar 3.3.21 Die Spin-Darstellung $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛})$ ist eine Darstellung (da sie durch einen Algebrenhomomorphismus gegeben ist), und für $𝑟 + 𝑠$ gerade ist sie treu (d. h. injektiv), da sie in diesem Fall durch einen Algebren-Isomorphismus gegeben ist. Sie ist außerdem stetig als Einschränkung einer linearen Abbildung und somit glatt als stetiger Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen gemäß Lemma 2.1.7.

3.4. Spin-Strukturen und der Dirac-Operator

Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine orientierte semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, $(𝑟, 𝑠)$ die Signatur von $𝑔$ und $SO (𝑀, 𝑔)$ das $SO (𝑟, 𝑠)$ -HFB der positiv orientierten $𝑔$ -Orthonormalbasen von $𝑇𝑀$ .

Wie in Bemerkung 2.2.9 beschrieben, entspricht die Fixierung der Riemannschen Metrik $𝑔$ auf $𝑀$ einer Reduktion der Strukturgruppe des zum Tangentialbündel gehörigen Basenbündels $GL (𝑀)$ von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ auf $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ . Es kann gezeigt werden, dass auch die Existenz einer Orientierung auf $𝑇𝑀$ äquivalent zur Existenz einer weiteren Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels $GL (𝑀)$ von $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ auf $SO (𝑟, 𝑠)$ ist. Nun möchten wir in diesem Abschnitt die Strukturgruppe von $𝑇𝑀$ entlang der im vorherigen Kapitel eingeführten Überlagerungsabbildung weiter auf die Strukturgruppe $Spin (𝑟, 𝑠)$ reduzieren.

Definition 3.4.1 Sei $𝜌 : Spin (𝑟, 𝑠) \to SO (𝑟, 𝑠)$ der Lie-Gruppen Homomorphismus aus Definition 3.3.3. Eine Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ ist ein $Spin (𝑟, 𝑠)$ -HFB $𝑃$ über $𝑀$ zusammen mit einer glatten Abbildung $𝐹 : 𝑃 \to SO (𝑀, 𝑔)$ , sodass $𝐹$

fasertreu und
$𝐹$ $𝜌$ -äquivariant ist, d. h. für alle $𝑝 \in 𝑃, 𝑢 \in Spin (𝑟, 𝑠)$ gilt
$𝐹 (𝑝 \cdot 𝑢) = 𝐹 (𝑝) \cdot 𝜌 (𝑢) .$

Mit anderen Worten: Eine Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ ist eine $𝜌$ -Reduktion $(𝑃, 𝐹)$ von $SO (𝑀, 𝑔)$ .

Während eine Reduktion der Strukturgruppe des Tangentialbündels von $GL (𝑟 + 𝑠, ℝ)$ auf $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ immer existiert, ist die Existenz einer Reduktion von $𝑂 (𝑟, 𝑠)$ auf $SO (𝑟, 𝑠)$ (Orientierbarkeit) im Allgemeinen nicht garantiert und bildet eine topologische Invariante. Genauso ist die Existenz einer Spin-Struktur nicht garantiert und eine topologische Invariante.

Insbesondere besitzt jede Mannigfaltigkeit mit trivialem Tangentialbündel (zum Beispiel jede Lie-Gruppe und jede zusammenziehbare Mannigfaltigkeit) eine Spin-Struktur. Dies ist zum Beispiel für den Minkowskiraum in der Physik relevant. Setzen wir nun die Existenz einer Spin-Struktur voraus, können wir das Spinorbündel und Schnitte darin definieren.

Definition 3.4.2 Sei $(𝑃, 𝐹)$ eine Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ und $Δ_{𝑛}$ der Raum der komplexen $𝑛$ -Spinoren. Sei außerdem $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛})$ die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ . Das Bündel

𝑆 ≔ 𝑃 \times_{𝜅} Δ_{𝑛} .

heißt Spinorbündel zur Spin-Struktur $(𝑃, 𝐹)$ . Schnitte $𝜑 \in Γ (𝑆)$ nennen wir Spinorfelder.

Um nun den Dirac-Operator definieren zu können, benötigen wir einen Zusammenhang im Spinorbündel. Dazu fixieren wir den Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla_{LC}$ zu $𝑔$ auf $𝑇𝑀$ , welcher einer Zusammenhangsform $𝐴$ auf dem Basenbündel $GL (𝑀)$ mit $\nabla_{LC} = \nabla^{𝐴}$ entspricht.

Bemerkung 3.4.3 Weil der Levi-Civita-Zusammenhang ein metrischer Zusammenhang ist (und somit $𝑔$ -Orthonormalbasen unter Parallelverschiebung $𝑔$ -Orthonormalbasen bleiben), schränkt sich $𝐴$ zu einer Zusammenhangsform auf $SO (𝑀, 𝑔)$ ein.

Definition 3.4.4 Sei $(𝑃, 𝐹)$ eine Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ und $𝐴$ die zum Levi-Civita-Zusammenhang auf $𝑇𝑀$ gehörige Zusammenhangsform auf $SO (𝑀, 𝑔)$ .

Wir definieren die folgende Zusammenhangsform auf $𝑃$ :
$𝐴_{𝑃} ≔ {(𝑑 𝜌_{1})}^{- 1} \circ 𝐹^{*} 𝐴 \in Ω^{1} (𝑃, 𝔰𝔭𝔦𝔫 (𝑟, 𝑠))$
Dabei ist $𝜌 : Spin (𝑟, 𝑠) \to SO (𝑟, 𝑠)$ die Darstellung aus Definition 3.3.3 und $𝔰𝔭𝔦𝔫 (𝑟, 𝑠)$ die Lie-Algebra von $Spin (𝑟, 𝑠)$ .
Den induzierten Zusammenhang $\nabla^{𝐴_{𝑃}}$ auf $𝑆$ nennen wir Spinorableitung und schreiben
$\nabla^{𝑆} ≔ \nabla^{𝐴_{𝑃}} .$

An verschiedenen Stellen werden wir die wie folgt definierte Bündelmetrik auf $𝑆$ benötigen.

Definition 3.4.5 Sei $(𝑃, 𝐹)$ eine Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ . Da die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ unitär ist (siehe [Sch25]), wird auf dem Spinorbündel $𝑆$ eine hermitesche Bündelmetrik durch

⟨ [(𝑝, 𝑤_{1})], [(𝑝, 𝑤_{2})] ⟩ ≔ ⟨ 𝑤_{1}, 𝑤_{2} ⟩

für alle $𝑝 \in 𝑃, 𝑤_{1}, 𝑤_{2} \in Δ_{𝑛}$ induziert.

Lemma 3.4.6 Sei $(𝑃, 𝐹)$ eine Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ . Da die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ unitär ist, ist $\nabla^{𝑆}$ metrisch bezüglich der hermiteschen Bündelmetrik $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ auf dem Spinorbündel $𝑆$ , d. h. es gilt

𝑋 (⟨ 𝜑, 𝜓 ⟩) = ⟨ \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜑, 𝜓 ⟩ + ⟨ 𝜑, \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜓 ⟩ \forall 𝜑, 𝜓 \in Γ (𝑆), 𝑋 \in Γ (𝑇𝑀) .

Beweis: Sei $𝑠 : 𝑈 \to 𝑃$ ein lokaler Schnitt in $𝑃$ und schreibe über $𝑈$

𝜑 = [(𝑠, 𝑤_{1})], 𝜓 = [(𝑠, 𝑤_{2})] .

Dann gilt mittels Lemma 2.6.4 und der Definition der Bündelmetrik auf dem Spinorbündel

\begin{aligned} ⟨ \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜑, 𝜓 ⟩ & ≝ ⟨ 𝑋 (𝑤_{1}) + 𝜅_{⋆} (𝐴_{𝑃} (𝑑 𝑠 (𝑋))) 𝑤_{1}, 𝑤_{2} ⟩, \\ ⟨ 𝜑, \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜓 ⟩ & ≝ ⟨ 𝑤_{1}, 𝑋 (𝑤_{2}) + 𝜅_{⋆} (𝐴_{𝑃} (𝑑 𝑠 (𝑋))) 𝑤_{2} ⟩ . \end{aligned}

Da die Spin-Darstellung $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to 𝑈 (Δ_{𝑛})$ unitär ist, liegt $𝜅_{⋆} (𝐴_{𝑃} (𝑑 𝑠 (𝑋)))$ in den schiefhermiteschen Endomorphismen von $Δ_{𝑛}$ und für die Summe der Ausdrücke gilt

⟨ \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜑, 𝜓 ⟩ + ⟨ 𝜑, \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜓 ⟩ = ⟨ 𝑋 (𝑤_{1}), 𝑤_{2} ⟩ + ⟨ 𝑤_{1}, 𝑋 (𝑤_{2}) ⟩ = 𝑋 (⟨ 𝑤_{1}, 𝑤_{2} ⟩) ≝ 𝑋 (⟨ 𝜑, 𝜓 ⟩) .

$□$

Der Dirac-Operator, den wir nun einführen möchten, soll als Differentialoperator erster Ordnung auf den Spinorfeldern operieren. Für einen Spinorfeld $𝜑 \in Γ (𝑆)$ ist $\nabla^{𝑆} 𝜑$ jedoch nicht wieder ein Spinorfeld. In physikalischer Sprache würde gesagt werden, dass $𝜕_{𝜇} 𝜑$ „einen Index trägt“ und mit den sogenannten Gamma-Matrizen „kontrahiert“ werden muss, damit ein Lorentzskalar entsteht. In diesem Sinne führen wir nun die sogenannte Clifford-Multiplikation ein.

Definition 3.4.7 Sei $𝑛 = 𝑟 + 𝑠$ sowie $𝜅_{𝑟, 𝑠} : {Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ} \to End (Δ_{𝑛})$ die Spin-Darstellung von ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ aus Definition 3.3.20. Die folgende Abbildung heißt Clifford-Multiplikation:

𝜇_{𝑟, 𝑠} : ℝ^{𝑛} \otimes Δ_{𝑛} ∋ 𝑣 \otimes 𝑤 \mapsto 𝑣 \cdot 𝑤 ≔ 𝜅_{𝑟, 𝑠} (𝑣) 𝑤 \in Δ_{𝑛} .

Bemerkung 3.4.8 Die Auswertungsabbildung

End (Δ_{𝑛}) \otimes Δ_{𝑛} \to Δ_{𝑛}

ist bilinear und somit glatt. Außerdem ist die Spin-Darstellung von ${Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ}$ glatt als lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen und somit ist $𝜇_{𝑟, 𝑠} : ℝ^{𝑛} \otimes Δ_{𝑛} \to Δ_{𝑛}$ glatt als Verknüpfung glatter Abbildungen.

Lemma 3.4.9 Sei $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛})$ die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ und $𝜌 : Spin (𝑟, 𝑠) \to SO (𝑟, 𝑠)$ die Darstellung aus Definition 3.3.3. Die Clifford-Multiplikation ist auf die folgende Weise $𝜅$ -äquivariant:

\forall 𝑥 \in ℝ^{𝑛}, 𝑤 \in Δ_{𝑛}, 𝑢 \in Spin (𝑟, 𝑠) : 𝑣 \cdot 𝑤 ≝ 𝜇_{𝑟, 𝑠} (𝑣 \otimes 𝑤) = {𝜅 (𝑢)}^{- 1} (𝜌 (𝑢) 𝑣 \cdot 𝜅 (𝑢) 𝑤) .

Beweis: Sei $𝜅_{𝑟, 𝑠} : {Cl}_{𝑟, 𝑠}^{ℂ} \to End (Δ_{𝑛})$ wie in Definition 3.3.20. Für $𝑢 \in Spin (𝑟, 𝑠)$ gilt: $𝜌 (𝑢) 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑢^{- 1}$ . Somit gilt:

\begin{aligned} (𝜌 (𝑢) 𝑣) \cdot (𝜅 (𝑢) 𝑤) & = 𝜅_{𝑟, 𝑠} (𝑢 𝑣 𝑢^{- 1}) (𝜅_{𝑟, 𝑠} (𝑢) 𝑤) \\ = 𝜅_{𝑟, 𝑠} (𝑢 𝑣 𝑢^{- 1} 𝑢) 𝑤 \\ = 𝜅_{𝑟, 𝑠} (𝑢) (𝜅 (𝑣) 𝑤) = 𝜅 (𝑢) (𝑣 \cdot 𝑤) . \end{aligned}

Durch Multiplikation mit ${𝜅 (𝑢)}^{- 1}$ entsteht die zu zeigende Aussage. $□$

Vermöge dem vorherigen Lemma möchten wir nun die Clifford-Multiplikation als einen Bündelhomomorphismus der Form $𝜇 : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ auffassen.

Definition 3.4.10 Sei $𝑆$ das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur $(𝑃, 𝐹)$ von $(𝑀, 𝑔)$ , $𝜌 : Spin (𝑟, 𝑠) \to SO (𝑟, 𝑠)$ die Darstellung aus Definition 3.3.3 und $𝜇_{𝑟, 𝑠} : ℝ^{𝑛} \otimes Δ_{𝑛} \to Δ_{𝑛}$ die Cliffod-Multiplikation wie in Definition 3.4.7. Wir fassen $𝑇𝑀 \otimes 𝑆$ mittels Lemma 2.3.5 wie folgt auf:

𝑇𝑀 \otimes 𝑆 ≅ (𝑃 \times_{𝜌} ℝ^{𝑛}) \otimes (𝑃 \times_{𝜅} Δ_{𝑛}) .

Definiere eine Abbildung $𝜇 : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ durch

𝜇 ([(𝑝, 𝑣)] \otimes [(𝑝, 𝑤)]) ≔ [(𝑝, 𝜇_{𝑟, 𝑠} (𝑣 \otimes 𝑤))] = [(𝑝, 𝑣 \cdot 𝑤)] \forall 𝑝 \in 𝑃, 𝑣 \in ℝ^{𝑛}, 𝑤 \in Δ_{𝑛} .

Wir geben auch dieser Abbildung den Namen Clifford-Multiplikation und den Buchstaben $𝜇$ .

Proposition 3.4.11 Die so definierte Abbildung $𝜇 : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ ist ein wohldefinierter Vektorbündelhomomorphismus von $ℂ$ -Vektorbündeln.

Beweis: Die Wohldefiniertheit folgt aus Lemma 3.4.9. Außerdem ist $𝜇$ nach Definition fasertreu und linear auf jeder Faser. Die Abbildung wird induziert von der gemäß Bemerkung 3.4.8 glatten Abbildung

(id, 𝜇_{𝑟, 𝑠}) : 𝑃 \times (ℝ^{𝑟 + 𝑠} \otimes Δ_{𝑛}) \to 𝑃 \times Δ_{𝑛}

und ist somit glatt. $□$

Für die Clifford-Multiplikation $𝜇 : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ gilt folgende Relation, welche wir benötigen, um in Kapitel 4 das Differential der Seiberg-Witten-Abbildung zu berechnen.

Lemma 3.4.12 Seien $𝜑, 𝜓 \in Γ (𝑆)$ zwei Schnitte im Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ , $𝑋, 𝑌 \in Γ (𝑇𝑀)$ zwei Vektorfelder auf $𝑀$ und $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ die Bündelmetrik auf $𝑆$ wie in Definition 3.4.5. Dann gilt

𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑 + 𝑌 \cdot 𝑋 \cdot 𝜑 = - 2 𝑔 (𝑋, 𝑌) 𝜑 .

Wenn die Signatur der Metrik auf $𝑀$ Riemannsch ist, dann ist die Clifford-Multiplikation zusätzlich schiefhermitesch, d. h. es gilt

⟨ 𝑋 \cdot 𝜑, 𝜓 ⟩ = - ⟨ 𝜑, 𝑋 \cdot 𝜓 ⟩ .

Beweis: Siehe Lemma 9.10 und Lemma 9.7 in [Sch25].

Nun nutzen wir die Clifford-Multiplikation und die Spinorableitung, um den Dirac-Operator einzuführen, welcher sowohl in der Physik als auch in den Seiberg-Witten-Gleichungen eine wichtige Rolle spielt.

Definition 3.4.13 Sei $𝑆$ das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ , $\nabla^{𝑆}$ die Spinorableitung wie in Definition 3.4.4 und $𝜑 \in Γ (𝑆)$ ein Spinorfeld. Dann definieren wir

𝜕 𝜑 ≔ \sum_{𝑖 = 1}^{𝑟 + 𝑠} 𝐸_{𝑖} \cdot \nabla_{𝐸_{𝑖}}^{𝑆} 𝜑 .

Dabei ist $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑟 + 𝑠})$ eine $𝑔$ -ONB von $𝑇𝑀$ am Auswertungspunkt.

Dies ist die Definition über eine $𝑔$ -ONB am Auswertungspunkt, wie sie in der Physik üblich ist. Wir werden nun zeigen, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der $𝑔$ -ONB ist.

Definition 3.4.14 Sei $𝑆$ das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur $(𝑃, 𝐹)$ von $(𝑀, 𝑔)$ , $\nabla^{𝑆} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆)$ die Spinorableitung, $#︎ : {𝑇𝑀}^{*} \otimes 𝑆 \to 𝑇𝑀 \otimes 𝑆$ der durch die Metrik auf $𝑀$ gegebene musikalische Isomorphismus und $𝜇 : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ die Clifford-Multiplikation. Der Operator

𝜕 ≔ 𝜇 \circ ♯ \circ \nabla^{𝑆} : Γ (𝑆) \overset{\nabla^{𝑆}}{\to} Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆) \overset{#︎}{\to} Γ (𝑇𝑀 \otimes 𝑆) \overset{𝜇}{\to} Γ (𝑆)

heißt Dirac-Operator.

Proposition 3.4.15 Der Operator aus Definition 3.4.14 stimmt mit dem aus Definition 3.4.13 überein, welche insbesondere unabhängig von der Wahl der $𝑔$ -ONB am Auswertungspunkt ist.

Beweis: Seien die Bezeichnungen wie in Definition 3.4.13 und $𝑋 \in Γ (𝑇𝑀)$ ein Vektorfeld auf $𝑀$ . Dann gilt

\begin{aligned} \nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜑 = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑟 + 𝑠} 𝑔 (𝑋, 𝐸_{𝑖}) \nabla_{𝐸_{𝑖}}^{𝑆} 𝜑 \Rightarrow 𝜇 (♯ (\nabla^{𝑆} 𝜑)) & = 𝜇 (♯ (\sum_{𝑖 = 0}^{𝑟 + 𝑠} 𝑔 (\cdot, 𝐸_{𝑖}) \nabla_{𝐸_{𝑖}}^{𝑆} 𝜑)) \\ = 𝜇 (\sum_{𝑖 = 0}^{𝑟 + 𝑠} 𝐸_{𝑖} \otimes \nabla_{𝐸_{𝑖}}^{𝑆} 𝜑) = \sum_{𝑖 = 0}^{𝑟 + 𝑠} 𝐸_{𝑖} \cdot \nabla_{𝐸_{𝑖}}^{𝑆} 𝜑 \end{aligned}

$□$

Motiviert durch die Klein-Gordan-Gleichung aus der Physik möchten wir gerne folgern, dass die zweifache Anwendung des Dirac-Operators (das „Quadrat“) mit einem Laplace-Operator assoziiert werden kann. Dazu benötigen wir den Bündel-Laplace-Operator.

Definition 3.4.16 Sei $𝑆$ das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ . Der zu der Spinorableitung $\nabla^{𝑆} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆)$ gehörige Bündel-Laplace-Operator ist

\begin{aligned} Δ^{𝑆} : Γ (𝑆) & \to Γ (𝑆) \\ 𝜑 & \mapsto \sum_{𝑗 = 1}^{𝑟 + 𝑠} (- \nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} \nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝜑 + \nabla_{\nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝜑) . \end{aligned}

Dabei ist $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑛})$ ein lokales $𝑔$ -ONB-Feld um den Auswertungspunkt.

Für die Wohldefiniertheit dieses Operators siehe Bemerkung 13.3 in [Sch25].

Proposition 3.4.17 Für den Dirac-Operator $𝜕 : Γ (𝑆) \to Γ (𝑆)$ gilt die Lichnerowicz-Formel

𝜕 𝜕 𝜑 = Δ^{𝑆} 𝜑 + \frac{1}{4} scal 𝜑, \forall 𝜑 \in Γ (𝑆) .

Dabei ist $scal : 𝑀 \to ℝ$ die zur Metrik $𝑔$ gehörende Skalarkrümmung.

Beweis: Siehe Satz 13.9 in [Sch25].

Wir möchten eine Aussage über die formale Selbstadjungiertheit des Dirac-Operators im Riemannschen Fall treffen. Für diesen Zweck definieren wir die folgende Bündelmetrik auf $Λ^{1} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆$ .

Definition 3.4.18 Sei $𝑆$ das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ . Auf dem Vektorbündel $Λ^{1} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆$ definieren wir für alle $𝜔_{1}, 𝜔_{2} \in {(Λ^{1} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆)}_{𝑥}$ und $𝑥 \in 𝑀$ die Bündelmetrik

⟨ 𝜔_{1}, 𝜔_{2} ⟩ ≔ \sum_{𝑗 = 1}^{𝑟 + 𝑠} ⟨ 𝜔_{1} (𝐸_{𝑗}), 𝜔_{2} (𝐸_{𝑗}) ⟩ .

Dabei ist $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑟 + 𝑠})$ eine $𝑔$ -ONB von $𝑇_{𝑥} 𝑀$ und die Bündelmetrik $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ auf der rechten Seite die Bündelmetrik auf $𝑆$ wie in Definition 3.4.5.

Mittels der so definierten Bündelmetrik können wir, im Falle einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die folgenden Eigenschaften festhalten.

Proposition 3.4.19 Sei die Signatur der Metrik auf $𝑀$ Riemannsch. Sei außerdem $𝑆$ das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ , $\nabla^{𝑆} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆)$ die Spinorableitung, $𝜕 : Γ (𝑆) \to Γ (𝑆)$ der Dirac-Operator und $Δ^{𝑆}$ der zu $\nabla^{𝑆}$ gehörige Bündel-Laplace-Operator. Dann gilt für alle $𝜑_{1}, 𝜑_{2}$ mit kompaktem Träger

\int_{𝑀} ⟨ 𝜕 𝜑_{1}, 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ 𝜑_{1}, 𝜕 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔}

und

\int_{𝑀} ⟨ Δ^{𝑆} 𝜑_{1}, 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ \nabla^{𝑆} 𝜑_{1}, \nabla^{𝑆} 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ 𝜑_{1}, Δ^{𝑆} 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔} .

Wir sagen, dass $𝜕$ und $Δ^{𝑆}$ zu sich selbst formal adjungiert sind.

Beweis: Sei $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑛})$ ein lokales $𝑔$ -ONB Feld um den Auswertungspunkt mit $\nabla_{𝐸_{𝑖}}^{LC} 𝐸_{𝑗} = 0$ für alle $1 \leq 𝑖, 𝑗 \leq 𝑛$ . Dann gilt gemäß Lemma 3.4.12 und Lemma 3.4.6

\begin{aligned} ⟨ 𝜕 𝜑_{1}, 𝜑_{2} ⟩ & = \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} ⟨ 𝐸_{𝑗} \cdot \nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝜑_{1}, 𝜑_{2} ⟩ = - \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} ⟨ \nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝜑_{1}, 𝐸_{𝑗} \cdot 𝜑_{2} ⟩ \\ = - \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} (𝐸_{𝑗} (⟨ 𝜑_{1}, 𝐸_{𝑗} \cdot 𝜑_{2} ⟩) - ⟨ 𝜑_{1}, \nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝐸_{𝑗} \cdot 𝜑_{2} ⟩) \\ = ⟨ 𝜑_{1}, 𝜕 𝜑_{2} ⟩ - \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝐸_{𝑗} (⟨ 𝜑_{1}, 𝐸_{𝑗} \cdot 𝜑_{2} ⟩) = ⟨ 𝜑_{1}, 𝜕 𝜑_{2} ⟩ - 𝛿 𝑏 . \end{aligned}

Dabei ist $𝛿 𝑏 = \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑏 (𝐸_{𝑗})$ das Codifferential der $1$ -Form $𝑏 \in Ω^{1} (𝑀, ℂ)$ , definiert durch

𝑏 : 𝑋 \mapsto ⟨ 𝜑_{1}, 𝑋 \cdot 𝜑_{2} ⟩ .

Dies zeigt Gl. (3.3). Für einen Beweis von Gl. (3.4) siehe Satz 13.6. in [Sch25]. $□$

In den Seiberg-Witten-Gleichungen tritt ein Schnitt im positiven Spinorbündel auf. Dies entspricht der Aufteilung des Spinorbündels in Spinorbündel positiver und negativer Chiralität. Diese Begriffe wollen wir nun definieren.

Lemma 3.4.20 Sei $𝑛 = 2 𝑚 = 𝑟 + 𝑠$ gerade und $Spin (𝑟, 𝑠)$ die Spin-Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ .

Das Element $𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} \in Spin (𝑟, 𝑠)$ liegt im Zentrum der Gruppe $Spin (𝑟, 𝑠)$ .
Für dieses Element gilt
${(𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛})}^{2} = {(- 1)}^{𝑠 - 𝑚} .$

Beweis: Für alle $1 \leq 𝑘, 𝑗 \leq 𝑛$ gilt

\begin{matrix} 𝑒_{𝑗} 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} = {(- 1)}^{𝑛 - 1} 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} 𝑒_{𝑗} = - 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} 𝑒_{𝑗} \\ \Rightarrow 𝑒_{𝑘} 𝑒_{𝑗} 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} = 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} 𝑒_{𝑘} 𝑒_{𝑗} . \end{matrix}

Für das Quadrat des Elements $𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛}$ gilt dann

\begin{aligned} {(𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛})}^{2} & = 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} \cdot 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛} = {(- 1)}^{𝑛 - 1} \cdot \dots \cdot {(- 1)}^{1} \cdot \underset{{(- 1)}^{𝑠}}{\underset{⏟}{𝑒_{1}^{2} \cdot \dots \cdot 𝑒_{𝑛}^{2}}} \\ = {(- 1)}^{\frac{𝑛 (𝑛 - 1)}{2}} {(- 1)}^{𝑠} = {(- 1)}^{(2 𝑚^{2} - 𝑚)} {(- 1)}^{𝑠} = {(- 1)}^{𝑠 - 𝑚} \end{aligned}

$□$

Definition 3.4.21 Sei $𝑛 = 𝑟 + 𝑠 = 2 𝑚$ gerade, $Spin (𝑟, 𝑠)$ die Spin-Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ und $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛})$ die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ . Der Chiralitätsoperator ist

𝜙 ≔ {(- 𝑖)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 (𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{2 𝑚}) : Δ_{𝑛} \to Δ_{𝑛} .

Proposition 3.4.22 Seien die Bezeichnungen wie zuvor und $𝑛 = 𝑟 + 𝑠$ weiterhin gerade.

Für alle $𝑢 \in Spin (𝑟, 𝑠)$ gilt
$𝜙 \circ 𝜅 (𝑢) = 𝜅 (𝑢) \circ 𝜙 .$
Der Chiralitätsoperator erfüllt $𝜙^{2} = {id}_{Δ_{𝑛}}$ und hat somit nur die Eigenwerte ${\pm 1}$ .

Beweis: Wir benutzen Lemma 3.4.20. Für die Abbildung $𝜙 \circ 𝜅 (𝑢)$ gilt:

\begin{aligned} 𝜙 \circ 𝜅 (𝑢) & = {(- 𝑖)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 (𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{2 𝑚}) 𝜅 (𝑢) = {(- 𝑖)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 (𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{2 𝑚} \cdot 𝑢) \\ = {(- 𝑖)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 (𝑢 \cdot 𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{2 𝑚}) = {(- 𝑖)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 (𝑢) 𝜅 (𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{2 𝑚}) = 𝜅 (𝑢) \circ 𝜙 . \end{aligned}

Für das Quadrat des Chiralitätsoperators gilt:

\begin{aligned} 𝜙^{2} & = {(- 1)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 ({(𝑒_{1} \cdot \dots \cdot 𝑒_{2 𝑚})}^{2}) \\ = {(- 1)}^{𝑠 - 𝑚} 𝜅 ({(- 1)}^{𝑠 - 𝑚}) = {id}_{Δ_{𝑛}} . \end{aligned}

$□$

Somit ergeben sich die folgenden Definitionen.

Definition 3.4.23 Sei $𝑛 = 𝑟 + 𝑠$ gerade und $Spin (𝑟, 𝑠)$ die Spin-Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ .

Die Eigenräume des Chiralitätsoperators $𝜙 : Δ_{𝑛} \to Δ_{𝑛}$ bezeichnen wir mit
$\begin{aligned} Δ_{𝑛}^{+} & ≔ {𝑤 \in Δ_{𝑛} | 𝜙 (𝑤) = 𝑤} \\ und Δ_{𝑛}^{-} & ≔ {𝑤 \in Δ_{𝑛} | 𝜙 (𝑤) = - 𝑤} . \end{aligned}$
Elemente von $Δ_{𝑛}^{+}$ heißen Spinoren positiver Chiralität und Elemente von $Δ_{𝑛}^{-}$ heißen Spinoren negativer Chiralität.
Die Einschränkung der Spin-Darstellung $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛})$ auf diese Unterräume
$\begin{aligned} 𝜅^{+} & : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛}^{+}) \\ und 𝜅^{-} & : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛}^{-}) \end{aligned}$
nennen wir die positive und die negative Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ .
Die Vektorbündel
$\begin{aligned} 𝑆^{+} & ≔ 𝑃 \times_{𝜅^{+}} Δ_{𝑛}^{+} \\ und 𝑆^{-} & ≔ 𝑃 \times_{𝜅^{-}} Δ_{𝑛}^{-} \end{aligned}$
bezeichnen wir als positives und negatives Spinorbündel. Sie können identifiziert werden mit den Untervektorbündeln
$\begin{aligned} 𝑆^{+} & ≅ {[(𝑝, 𝑤)] | 𝑝 \in 𝑃, 𝑤 \in Δ_{𝑛}^{+}} \subset 𝑆, \\ und 𝑆^{-} & ≅ {[(𝑝, 𝑤)] | 𝑝 \in 𝑃, 𝑤 \in Δ_{𝑛}^{-}} \subset 𝑆 . \end{aligned}$

Proposition 3.4.24 Wenn die Dimension $𝑛 = 𝑟 + 𝑠$ von $𝑀$ gerade ist, führt der Dirac-Operator $𝜕 : Γ (𝑆) \to Γ (𝑆)$ zu einer Spin-Struktur $(𝑃, 𝐹)$ von $(𝑀, 𝑔)$ , definiert wie in Definition 3.4.14, die positiven und negativen Spinorbündel ineinander über. Es ergibt sich der positive

𝜕^{+} ≔ 𝜕 |_{Γ (𝑆^{+})} : Γ (𝑆^{+}) \to Γ (𝑆^{-})

und der negative Dirac-Operator

𝜕^{-} ≔ 𝜕 |_{Γ (𝑆^{-})} : Γ (𝑆^{-}) \to Γ (𝑆^{+}) .

Beweis: Sei $𝜑 \in Γ (𝑆^{\pm})$ und $𝑠 : 𝑈 \to 𝑃$ ein lokaler Schnitt von $𝑃$ . Sei außerdem $𝑤 : 𝑈 \to Δ_{𝑛}^{\pm}$ definiert durch $𝜑 |_{𝑈} = [(𝑠, 𝑤)]$ und $𝑋 \in Γ (𝑇𝑀)$ ein Vektorfeld auf $𝑀$ . Dann gilt mit Lemma 2.6.4

(\nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜑) |_{𝑈} = [(𝑠, 𝑋 (𝑤) + 𝜅_{*} (\circ 𝐴 (𝑑 𝑠 (𝑋))) 𝑤)] .

Es folgt sofort $𝑋 (𝑤) : 𝑈 \to Δ_{𝑛}^{\pm}$ . Sei nun $𝔰𝔭𝔦𝔫 (𝑟, 𝑠)$ die Lie-Algebra von $Spin (𝑟, 𝑠)$ , $𝑌 \in 𝔰𝔭𝔦𝔫 (𝑟, 𝑠)$ , $𝛾 : ℝ \to Spin (𝑟, 𝑠)$ eine Kurve mit $\dot{𝛾} (0) = 𝑌$ und $𝜙 : Δ_{𝑛} \to Δ_{𝑛}$ der Chiralitätsoperator wie in Definition 3.4.21. Dann gilt

\begin{aligned} 𝜙 (𝜅_{*} (𝑌) 𝑤) & = {\frac{d}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} 𝜙 (𝜅 (𝛾 (𝑡)) 𝑤) \\ \overset{𝛾 (𝑡) \in Spin (𝑟, 𝑠)}{=} {\frac{d}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} 𝜅 (𝛾 (𝑡)) (𝜙 (𝑤)) \\ = {\frac{d}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} 𝜅 (𝛾 (𝑡)) 𝑤 = 𝜅_{*} (𝑌) 𝑤 . \end{aligned}

Insgesamt folgt $𝑋 (𝑤) + 𝜅_{*} (𝐴 (𝑑 𝑠 (𝑋))) 𝑤 \in Δ_{𝑛}^{\pm}$ und somit $\nabla_{𝑋}^{𝑆} 𝜑 \in 𝑆^{\pm}$ . Für $𝑣 \in ℝ^{𝑛}$ gilt außerdem

𝜙 (𝜅 (𝑣) 𝑤) = - 𝜅 (𝑣) (𝜙 (𝑤)) .

Und somit $𝑋 \cdot 𝜑 \in 𝑆^{\mp}$ . Somit gilt insgesamt

𝜕 𝜑 = \sum_{𝑗 = 1}^{𝑟 + 𝑠} 𝐸_{𝑗} \cdot \nabla_{𝐸_{𝑗}}^{𝑆} 𝜑 \in Γ (𝑆^{\mp}) .

Dabei ist $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑟 + 𝑠})$ eine $𝑔$ -ONB am Auswertungspunkt. $□$

Korollar 3.4.25 Sei $𝜑 \in Γ (𝑆^{\pm})$ ein Spinorfeld mit kompaktem Träger. Aus Proposition 3.4.19 folgt für den positiven und negativen Dirac-Operator

\int_{𝑀} ⟨ 𝜕^{\mp} 𝜕^{\pm} 𝜑, 𝜑 ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ 𝜕^{\pm} 𝜑, 𝜕^{\pm} 𝜑 ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ 𝜑, 𝜕^{\mp} 𝜕^{\pm} 𝜑 ⟩ {dvol}_{𝑔} .

Der positive und negative Dirac-Operator ist somit nicht formal selbstadjungiert. Außerdem folgt aus der Lichnerowicz-Formel (Proposition 3.4.17)

𝜕^{\mp} 𝜕^{\pm} 𝜑 = Δ^{𝑆} 𝜑 + \frac{1}{4} scal 𝜑 .

Dabei ist $Δ^{𝑆}$ der Bündel-Laplace-Operator zu der Spinorableitung $\nabla^{𝑆}$ und $scal$ die Skalarkrümmung zu der Metrik $𝑔$ .

3.5. Der Fall ${𝐒𝐩𝐢𝐧}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$

Sei wieder $(𝑀, 𝑔)$ eine orientierte, semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, $(𝑟, 𝑠)$ die Signatur von $𝑔$ und $Spin (𝑟, 𝑠)$ die Spin-Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ .

Wir möchten nun die Gruppe ${Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$ einführen. Die Diskussionen aus dem vorherigen Abschnitt lassen sich nahezu analog auf diese Gruppe übertragen. Mit diesen hier eingeführten Begriffen können wir dann in Kapitel 4 die Seiberg-Witten-Gleichungen einführen. Zunächst erinnern wir an Lemma 2.1.3 und daran, dass

Spin (𝑟, 𝑠) \times 𝑈 (1)

mit der komponentenweisen Multiplikation eine Lie-Gruppe bildet. Wir benötigen außerdem die folgende Untergruppe.

Lemma 3.5.1 In der Lie-Gruppe $Spin (𝑟, 𝑠) \times 𝑈 (1)$ bildet die Menge

{\pm (1, 1)} = {(1, 1), (- 1, - 1)}

eine abgeschlossene Untergruppe des Zentrums.

Beweis: Die Abgeschlossenheit ergibt sich daraus, dass die Menge diskret ist. Sie liegt außerdem im Zentrum von

Spin (𝑟, 𝑠) \times 𝑈 (1)

, da

𝑈 (1)

abelsch ist und

{\pm 1} \subset Spin (𝑟, 𝑠)

mit allen Elementen in

Spin (𝑟, 𝑠)

kommutiert.

□

Daher können wir die folgende Lie-Gruppe definieren.

Definition 3.5.2 Die ${𝑆𝑝𝑖𝑛}^{ℂ}$ -Gruppe mit Signatur $(𝑟, 𝑠)$ ist

{Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠) ≔ (Spin (𝑟, 𝑠) \times 𝑈 (1)) / {\pm (1, 1)} .

Elemente in dieser Gruppe notieren wir als Äquivalenzklassen in der Form

[(𝑢, 𝑧)] = [(- 𝑢, - 𝑧)] \in Spin (𝑟, 𝑠) \forall 𝑢 \in Spin (𝑟, 𝑠), 𝑧 \in 𝑈 (1) .

Nun möchten wir die Darstellungen der Spin-Gruppe auf die Gruppe ${Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$ erweitern.

Definition 3.5.3 Sei $𝜌 : Spin (𝑟, 𝑠) \to SO (𝑟, 𝑠)$ die Darstellung aus Definition 3.3.3 und $𝜅 : Spin (𝑟, 𝑠) \to GL (Δ_{𝑛})$ die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ . Wie definieren die Gruppenhomomorphismen

\begin{aligned} 𝜌^{ℂ} & : {Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠) ∋ [(𝑢, 𝑧)] \mapsto 𝜌 (𝑢) \in SO (𝑟, 𝑠), \\ 𝜅^{ℂ} & : {Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠) ∋ [(𝑢, 𝑧)] \mapsto 𝑧 \cdot 𝜅 (𝑢) \in GL (Δ_{𝑛}), \\ 𝑞 & : {Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠) ∋ [(𝑢, 𝑧)] \mapsto 𝑧^{2} \in 𝑆^{1} . \end{aligned}

Um diese Abbildung als Lie-Gruppen Homomorphismus auffassen zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma 3.5.4 Sei $𝐻$ eine Mannigfaltigkeit, $𝐺$ eine Lie-Gruppe und $𝑁 \subset 𝐺$ eine abgeschlossene Untergruppe des Zentrums von $𝐺$ . Die Menge der Nebenklassen $𝐺 / 𝑁$ besitzt gemäß Lemma 2.1.3 eine eindeutige glatte Struktur, sodass die Projektionsabbildung $𝜋 : 𝐺 \to 𝐺 / 𝑁$ eine glatte Submersion ist. Dann gilt

𝑓 : 𝐺 / 𝑁 \to 𝐻 glatt \Leftrightarrow 𝑓 \circ 𝜋 : 𝐺 \to 𝐻 glatt .

Beweis: Die Hinrichtung ist klar, da in diesem Fall $𝑓 \circ 𝜋$ glatt als Komposition glatter Abbildungen ist. Für die Rückrichtung werden wir den Fakt annehmen, dass die Projektionsabbildung $𝜋 : 𝐺 \to 𝐺 / 𝑁$ „lokale Schnitte“ besitzt, d. h. um jeden Punkt $[𝑎] \in 𝐺 / 𝑁$ existiert eine Umgebung $𝑊 \subset 𝐺 / 𝑁$ und eine glatte Abbildung $𝑠 : 𝑊 \to 𝐺$ mit $𝜋 \circ 𝑠 = {id}_{𝑊}$ . Der Beweis zu diesem Fakt kann z. B. in [Bau14], Satz 1.24 nachgelesen werden. Um alle $[𝑎] \in 𝐺 / 𝑁$ kann $𝑓 : 𝐺 / 𝑁 \to 𝐻$ demnach dargestellt werden als folgende Komposition

𝑓 |_{𝑊} = \underset{glatt}{\underset{⏟}{𝑓 \circ 𝜋}} \circ 𝑠 .

Diese Abbildung ist glatt als Komposition glatter Abbildungen. $□$

Korollar 3.5.5 Die Gruppenhomomorphismen $𝜌^{ℂ}, 𝜅^{ℂ}$ und $𝑞$ aus Definition 3.5.3 sind gemäß dem vorherigen Lemma glatt, also Lie-Gruppen-Homomorphismen.

Analog zum Begriff einer Spin-Struktur können wir nun den Begriff einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur definieren (nun bezüglich $𝜌^{ℂ}$ anstatt $𝜌$ ).

Definition 3.5.6 Sei $SO (𝑀, 𝑔)$ das $SO (𝑟, 𝑠)$ -HFB der positiv-orientierten Orthonormalbasen von $𝑇𝑀$ . Eine ${𝑆𝑝𝑖𝑛}^{ℂ}$ -Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ ist eine $𝜌^{ℂ}$ -Reduktion $(𝑃, 𝐹)$ von $SO (𝑀, 𝑔)$ .

Auch in diesem Fall ist die Existenz einer solchen Reduktion nicht garantiert und bildet eine topologische Invariante. Interessanterweise besitzt jede Riemannsche, orientierbare $4$ -Mannigfaltigkeit eine ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur [TV05].

Die Definition des Spinorbündels erfolgt analog zum Fall einer Spin-Struktur (nun mit $𝜅^{ℂ}$ anstatt $𝜅$ ). Um den Dirac-Operator einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur definieren zu können, benötigen wir eine Spinorableitung analog zu Definition 3.4.4, d. h. insbesondere möchten wir einen Zusammenhang auf dem ${Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$ -HFB $𝑃$ definieren. Diesen konstruieren wir wie folgt.

Definition 3.5.7 Sei $(𝑃, 𝐹)$ eine ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ .

Sei $𝑞 : {Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠) \to 𝑆^{1}$ der Lie-Gruppen-Homomorphismus aus Definition 3.5.3 und $𝜆_{𝑞}$ die Linkswirkung von ${Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$ auf $𝑆^{1}$ durch $𝜆_{𝑞} ([(𝑢, 𝑧)], 𝑤) ≔ 𝑞 ([(𝑢, 𝑧)]) \cdot 𝑤 = 𝑧^{2} \cdot 𝑤$ für alle $[(𝑢, 𝑧)] \in {Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠), 𝑤 \in 𝑆^{1}$ . Dann definieren wir das folgende $𝑆^{1}$ -HFB über $𝑀$
$𝑃_{1} ≔ 𝑃 \times_{𝜆_{𝑞}} 𝑆^{1} .$
Dies nennen wir das Determinantenlinienbündel zu der ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur $(𝑃, 𝐹)$ .
Wir definieren die Abbildung
${pr}_{1} : 𝑃 ∋ 𝑝 \mapsto [(𝑝, 1)] \in 𝑃_{1} .$

Definition 3.5.8 Sei $𝐴_{SO}$ der Zusammenhang auf $SO (𝑀, 𝑔)$ , welcher zum Levi-Civita-Zusammenhang von $(𝑀, 𝑔)$ gehört. Sei außerdem $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf dem Determinantenlinienbündel $𝑃_{1}$ , ${pr}_{1} : 𝑃 \to 𝑃_{1}$ die Projektion wie in Definition 3.5.7 und $𝜌 : Spin (𝑟, 𝑠) \to SO (𝑟, 𝑠)$ die Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ wie in Definition 3.3.3.

Wir definieren den folgenden Zusammenhang auf $𝑃$ :
$𝐴_{𝑃} ≔ ({(𝑑 𝜌_{1})}^{- 1} \circ 𝐹^{*} 𝐴_{SO}, \frac{1}{2} {pr}_{1}^{*} 𝐴) \in Ω^{1} (𝑃, 𝔰𝔭𝔦𝔫 (𝑟, 𝑠) \oplus 𝑖 ℝ) .$
Den induzierten Zusammenhang $\nabla^{𝐴_{𝑃}}$ auf dem Spinorbündel $𝑆$ nennen wir wieder Spinorableitung und schreiben
$\nabla^{𝑆} ≔ \nabla^{𝐴_{𝑃}} .$

Wieder können wir auf dem Spinorbündel eine hermitesche Bündelmetrik definieren. Auch im Fall einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur ist $\nabla^{𝑆}$ metrisch bezüglich dieser Bündelmetrik. Die Clifford-Multiplikation $𝜇_{𝑟, 𝑠} : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ wird vollkommen analog zum Fall einer Spin-Struktur definiert (nun mit $𝜌^{ℂ}, 𝜅^{ℂ}$ anstatt $𝜌, 𝜅$ ) und Lemma 3.4.12 gilt analog. Wir können nun den Dirac-Operator einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur definieren.

Definition 3.5.9 Sei $𝑆$ das Spinorbündel zu einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur von $(𝑀, 𝑔)$ , $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf dem Determinantenlinienbündel, $\nabla^{𝑆} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑆)$ die Spinorableitung, $#︎ : {𝑇𝑀}^{*} \otimes 𝑆 \to 𝑇𝑀 \otimes 𝑆$ der durch die Metrik auf $𝑀$ gegebene musikalische Isomorphismus und $𝜇 : 𝑇𝑀 \otimes 𝑆 \to 𝑆$ die Clifford-Multiplikation. Dann definieren wir

𝜕_{𝐴} ≔ 𝜇 \circ ♯ \circ \nabla^{𝑆} : Γ (𝑆) \overset{\nabla^{𝑆}}{\to} Γ ({𝑇𝑀}^{*} \otimes 𝑆) \overset{#︎}{\to} Γ (𝑇𝑀 \otimes 𝑆) \overset{𝜇}{\to} Γ (𝑆) .

Die Darstellung über eine $𝑔$ -ONB am Auswertungspunkt (Definition 3.4.13) gilt analog. Außerdem kann das „Quadrat“ dieses Operators wieder mit dem Bündel-Laplace-Operator $Δ^{𝑆} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑆)$ des Spinorbündels in Beziehung gesetzt werden. Dabei erhalten wir im Fall einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur folgenden zusätzlichen Krümmungsterm.

Proposition 3.5.10 Für den Dirac-Operator $𝜕_{𝐴} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑆)$ einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur gilt die Lichnerowicz-Formel:

𝜕_{𝐴} 𝜕_{𝐴} 𝜑 = Δ^{𝑆} 𝜑 + \frac{1}{4} scal 𝜑 + \frac{1}{2} Ω^{𝐴} \cdot 𝜑 \forall 𝜑 \in Γ (𝑆) .

Dabei ist $scal : 𝑀 \to ℝ$ die zur Metrik $𝑔$ gehörende Skalarkrümmung und $Δ^{𝑆} : Γ (𝑆) \to Γ (𝑆)$ der Bündel-Laplace-Operator zu $\nabla^{𝑆}$ , definiert analog zu Definition 3.4.16.

Beweis: Siehe Satz 13.9. in [Sch25].

Bemerkung 3.5.11 Der Dirac-Operator einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur ist formal selbstadjungiert und für den Bündel-Laplace-Operator $\nabla^{𝑆}$ und die Spinorableitung $\nabla^{𝑆}$ gilt

\int_{𝑀} ⟨ Δ^{𝑆} 𝜑_{1}, 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ \nabla^{𝑆} 𝜑_{1}, \nabla^{𝑆} 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} ⟨ 𝜑_{1}, Δ^{𝑆} 𝜑_{2} ⟩ {dvol}_{𝑔}

für alle Spinorfelder $𝜑_{1}, 𝜑_{2} \in Γ (𝑆)$ mit kompaktem Träger.

Lemma 3.5.12 Sei $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf dem Determinantenlinienbündel $𝑃_{1}$ sowie $𝜋 : 𝑃_{1} \to 𝑀$ die Projektion in $𝑃_{1}$ und $𝑎 \in Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ . Dann ist $𝐴 + 𝜋^{*} 𝑎$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃_{1}$ und es gilt

\nabla_{𝑋}^{{(𝐴 + 𝜋^{*} 𝑎)}_{𝑃}} 𝜑 = \nabla_{𝑋}^{𝐴_{𝑃}} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 (𝑋) 𝜑 \forall 𝜑 \in Γ (𝑆), 𝑋 \in Γ (𝑇𝑀) .

Beweis: Sei $𝑠 : 𝑈 \to 𝑃$ ein lokaler Schnitt in $𝑃$ und $𝑤 : 𝑈 \to Δ_{𝑛}$ definiert durch $𝜑 |_{𝑈} = [(𝑠, 𝑤)]$ . Dann gilt gemäß Lemma 2.6.4 über $𝑈$

\begin{aligned} \nabla_{𝑋}^{{(𝐴 + 𝜋^{*} 𝑎)}_{𝑃}} 𝜑 & = \nabla_{𝑋}^{𝐴_{𝑃}} 𝜑 + [(𝑠, \frac{1}{2} (𝜅_{*}^{ℂ} \circ (0, {pr}_{1}^{*} 𝜋^{*} 𝑎) (𝑑 𝑠 (𝑋))) 𝑤)] \\ = \nabla_{𝑋}^{𝐴_{𝑃}} 𝜑 + [(𝑠, \frac{1}{2} (𝜅_{*}^{ℂ} \circ (0, 𝑎 (𝑑 𝜋 𝑑 {pr}_{1} 𝑑 𝑠 (𝑋)))) 𝑤)] \\ = \nabla_{𝑋}^{𝐴_{𝑃}} 𝜑 + [(𝑠, \frac{1}{2} (𝜅_{*}^{ℂ} \circ (0, 𝑎 (𝑋))) 𝑤)] \\ = \nabla_{𝑋}^{𝐴_{𝑃}} 𝜑 + [(𝑠, \frac{1}{2} 𝑎 (𝑋) 𝑤)] = \nabla_{𝑋}^{𝐴_{𝑃}} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 (𝑋) 𝜑 \end{aligned}

Somit gilt dies auf ganz $𝑀$ . $□$

Korollar 3.5.13 Sei $𝑎 \in Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ und $𝜋 : 𝑃 \to 𝑃_{1}$ die Projektion wie in Definition 3.5.7. Dann ist $𝐴 + 𝜋^{*} 𝑎$ wieder eine Zusammenhangsform auf $𝑃_{1}$ und es gilt mittels Lemma 3.5.12

𝜕_{𝐴 + 𝜋^{*} 𝑎} 𝜑 = 𝜕_{𝐴} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑 .

Wie die Spin-Darstellung von $Spin (𝑟, 𝑠)$ ist auch die Spin-Darstellung von ${Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$ nicht irreduzibel und zerfällt in eine positiv- und negativ-chirale Spin-Darstellung, wodurch wir das positive und negative Spinorbündel definieren können.

Definition 3.5.14 Seien $Δ_{𝑛}^{+}, Δ_{𝑛}^{-}$ die Räume der positiven bzw. negativen Spinoren wie in Definition 3.4.23. Die Einschränkungen $𝜅_{\pm}^{ℂ}$ auf $Δ_{𝑛}^{\pm}$ nennen wir positive und negative Spin-Darstellungen. Die Vektorbündel

\begin{aligned} 𝑆^{+} & ≔ 𝑃 \times_{𝜅_{+}^{ℂ}} Δ_{𝑛}^{+} \\ und 𝑆^{-} & ≔ 𝑃 \times_{𝜅_{-}^{ℂ}} Δ_{𝑛}^{-} \end{aligned}

heißen positive und negative Spinorbündel.

Definition 3.5.15 Auch im Fall einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur schränkt sich der Dirac-Operator auf das positive und negative Spinorbündel ein und der positive und negative Dirac-Operator

𝜕_{𝐴}^{\pm} ≔ 𝜕_{𝐴} |_{Γ (𝑆^{\pm})} : Γ (𝑆^{\pm}) \to Γ (𝑆^{\mp})

ist wohldefiniert.

Beweis: Analog zu dem zu Proposition 3.4.24, nun mit ${Spin}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$ anstatt $Spin (𝑟, 𝑠)$ .

Die positiven und negativen Dirac-Operatoren sind wie in Korollar 3.4.25 zueinander formal adjungiert und Korollar 3.4.25 gilt analog im Fall einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur, nun mit Proposition 3.5.10 anstatt Proposition 3.4.17.

4. Der Index der Seiberg-Witten-Abbildung

Mit Hilfe der Grundbegriffe aus Kapitel 2 und Kapitel 3 werden wir nun die perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen einer Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit formulieren. Für den Fall einer einfach zusammenhängenden, kompakten Mannigfaltigkeit $𝑀$ mit $𝑏_{+} (𝑀) > 0$ werden wir der Menge der Lösungen dieser Gleichungen bis auf Eichtransformation eine Struktur als glatte Mannigfaltigkeit geben und die Dimension dieser Mannigfaltigkeit in Abhängigkeit von topologischen Invarianten von $𝑀$ berechnen.

4.1. Lineare Differentialoperatoren und das Hauptsymbol

Seien $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit, $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $(𝐸, 𝜋_{𝐸}, 𝑀; 𝕂^{𝑝}), (𝐹, 𝜋_{𝐹}, 𝑀; 𝕂^{𝑞})$ reelle oder komplexe Vektorbündel über $𝑀$ .

In diesem Abschnitt stellen wir den grundlegenden Begriff eines linearen Differentialoperators zwischen Schnitten in Vektorbündeln vor. Wenn $𝑃$ ein solcher Differentialoperator ist, definieren wir den zu $𝑃$ adjungierten Operator und das Hauptsymbol von $𝑃$ .

Definition 4.1.1 Ein linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung auf $𝑀$ ist eine lineare Abbildung $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ , sodass für alle $𝑥_{0} \in 𝑀$ eine Umgebung $𝑈 \subset 𝑀$ um $𝑥_{0}$ , eine Karte $𝑦 : 𝑈 \to 𝑈^{'}$ von $𝑀$ sowie Vektorbündelkarten $𝜑_{𝐸} : 𝜋_{𝐸}^{- 1} (𝑈) \to 𝑈 \times 𝕂^{𝑝}, 𝜑_{𝐹} : 𝜋_{𝐹}^{- 1} (𝑈) \to 𝑈 \times 𝕂^{𝑞}$ von $𝐸, 𝐹$ existieren, sodass $𝑃$ über $𝑈$ in der Form

𝑃 = \sum_{| 𝛼 | \leq 𝑚} 𝐴^{𝛼} (𝑥) \frac{𝜕^{| 𝛼 |}}{𝜕 𝑦^{𝛼}} : 𝐶^{\infty} (𝑈, 𝕂^{𝑝}) \to 𝐶^{\infty} (𝑈, 𝕂^{𝑞})

mit glatten Funktionen $𝐴^{𝛼} : 𝑈 \to Mat (𝑞, 𝑝, 𝕂)$ geschrieben werden kann, sodass ein $𝛼$ mit $| 𝛼 | = 𝑚$ und $𝐴^{𝛼} \neq 0$ existiert. Dabei ist $𝛼 = (𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛})$ ein $𝑛$ -Tupel nicht-negativer ganzer Zahlen, $| 𝛼 | ≔ 𝛼_{1} + \dots + 𝛼_{𝑛}$ und $𝜕^{| 𝛼 |} / 𝜕 𝑦^{𝛼} = 𝜕^{| 𝛼 |} / 𝜕 𝑦_{1}^{𝛼_{1}} \dots 𝑦_{𝑛}^{𝛼_{𝑛}}$ . Wenn der Kontext klar ist, bezeichnen wir $𝑃$ auch nur als lineareren Differentialoperator auf $𝑀$ .

Definition 4.1.2 Sei $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ ein linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung auf $𝑀$ . Seien außerdem auf $𝐸, 𝐹$ jeweils Bündelmetriken ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{𝐸}, {⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{𝐹}$ sowie auf $𝑀$ eine Riemannsche Metrik $𝑔$ und eine Orientierung gegeben. Dann existiert genau ein linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung $𝑃^{'} : Γ (𝐹) \to Γ (𝐸)$ , welchen wir den formal adjungierten Operator zu $𝑃$ nennen, mit

\int_{𝑀} {⟨ 𝑃 𝜑, 𝜓 ⟩}_{𝐹} {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} {⟨ 𝜑, 𝑃^{'} 𝜓 ⟩}_{𝐸} {dvol}_{𝑔}

für alle $𝜑 \in Γ (𝐸), 𝜓 \in Γ (𝐹)$ mit kompaktem Träger.

Beweis: Für einen Beweis der Existenz von $𝑃^{'}$ siehe [Tay23]. Wenn nun $𝑃^{″}$ noch ein linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung ist, der Gl. (4.1) erfüllt, dann folgt

0 = \int_{𝑀} ⟨ 𝜑, (𝑃^{″} - 𝑃^{'}) 𝜓 ⟩ {dvol}_{𝑔}

für alle $𝜑 \in Γ (𝐸), 𝜓 \in Γ (𝐹)$ mit kompaktem Träger. Wählt man $𝜑 = (𝑃^{″} - 𝑃^{'}) 𝜓$ , folgt

𝑃^{″} - 𝑃^{'} = 0 .

$□$

Beispiel 4.1.3 Der positive bzw. negative Dirac-Operator aus Kapitel 3 ist ein linearer Differentialoperator erster Ordnung (siehe z. B. [LM89]) und die beiden Operatoren sind gemäß Korollar 3.4.25 jeweils zueinander formal adjungiert.

Definition 4.1.4 Sei $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ ein linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung über $𝑀$ .

Das Hauptsymbol $𝜎 (𝑃)$ von $𝑃$ ordnet jedem $𝜉 \in 𝑇^{*} 𝑀$ mit $𝜉 \neq 0$ die lineare Abbildung
$𝜎 (𝑃) : 𝐸_{𝑥} ∋ 𝑒 \mapsto \frac{1}{𝑚!} (𝑃 (𝑓^{𝑚} \hat{𝑒})) (𝑥) \in 𝐹_{𝑥}$
zu. Dabei ist $𝑥$ der Fußpunkt von $𝜉$ , $𝑓 \in 𝐶^{\infty} (𝑀, ℝ)$ eine reellwertige Funktion mit $𝑓 (𝑥) = 0$ und ${𝑑 𝑓}_{𝑥} = 𝜉$ sowie $\hat{𝑒} \in Γ (𝐸)$ eine Fortsetzung von $𝑒$ mit $\hat{𝑒} (𝑥) = 𝑒$ .
Der Differentialoperator $𝑃$ heißt elliptisch, wenn $𝜎 (𝑃) (𝜉)$ für alle $𝜉 \in 𝑇_{𝑥}^{*} 𝑀$ mit $𝜉 \neq 0$ und $𝑥 \in 𝑀$ invertierbar ist.

Beispiel 4.1.5 Die positiven bzw. negativen Dirac-Operatoren in der Situation aus Definition 3.5.15 sind elliptisch, und ihr Hauptsymbol ist die Clifford-Multiplikation (siehe z. B. [LM89]).

Bemerkung 4.1.6 Seien $𝐸, 𝐹$ reelle oder komplexe Vektorbündel über $𝑀$ und $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ ein linearer Differentialoperator. Das Hauptsymbol von $𝑃$ hängt nur von Termen der höchsten Ordnung ab, d. h. wenn $𝑃^{'} : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ ein linearer Differentialoperator kleinerer Ordnung als $𝑚$ ist, dann gilt für das Hauptsymbol $𝜎 (𝑃 + 𝑃^{'}) = 𝜎 (𝑃)$ .

Beweis: Siehe [LM89].

4.2. Elliptische Komplexe und Selbstdualität

Definition 4.2.1 Sei $𝑀$ eine Mannigfaltigkeit und $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ . Ein elliptischer Komplex über $𝑀$ ist eine Sequenz

0 \to Γ (𝐸_{0}) \overset{𝑑_{0}}{\to} \dots \to Γ (𝐸_{𝑛 - 1}) \overset{𝑑_{𝑛 - 1}}{\to} Γ (𝐸_{𝑛}) \to 0

von Schnitten in $𝕂$ -Vektorbündeln $(𝐸_{𝑖})$ über $𝑀$ und zugehörigen linearen Differentialoperatoren $𝑑_{𝑖} : Γ (𝐸_{𝑖}) \to Γ (𝐸_{𝑖 + 1})$ , sodass $𝑑_{𝑖 + 1} \circ 𝑑_{𝑖} = 0$ gilt und mit der Eigenschaft, dass für alle $𝑥 \in 𝑀, 𝜉 \in 𝑇_{𝑥}^{*} 𝑀 \ {0}$ die zugehörige Sequenz von Hauptsymbolen

0 \to {(𝐸_{0})}_{𝑥} \overset{𝜎 (𝑑_{0}) (𝜉)}{\to} \dots \to {(𝐸_{𝑛 - 1})}_{𝑥} \overset{𝜎 (𝑑_{𝑛 - 1}) (𝜉)}{\to} {(𝐸_{𝑛})}_{𝑥} \to 0

exakt ist.

Theorem 4.2.2 Sei ein elliptischer Komplex $𝐸$ über einer kompakten, orientierten Mannigfaltigkeit $𝑀$ gegeben. Seien auf den dazugehörigen Vektorbündeln $𝐸_{0}, \dots, 𝐸_{𝑛}$ jeweils Bündelmetriken und auf $𝑀$ eine Riemannsche Metrik gegeben, sodass für $0 \leq 𝑖 < 𝑛$ die formalen Adjungierten $𝑑_{𝑖}^{*}$ zu den linearen Differentialoperatoren $𝑑_{𝑖} : Γ (𝐸_{𝑖}) \to Γ (𝐸_{𝑖 + 1})$ des Komplexes definiert werden können. Wir definieren die Operatoren

\begin{matrix} ∆_{𝑖} ≔ 𝑑_{𝑖}^{*} \circ 𝑑_{𝑖} + 𝑑_{𝑖 - 1} \circ 𝑑_{𝑖 - 1}^{*} : Γ (𝐸_{𝑖}) \to Γ (𝐸_{𝑖}) \forall 1 \leq 𝑖 < 𝑛 \\ und ∆_{0} ≔ 𝑑_{0}^{*} \circ 𝑑_{0}, ∆_{𝑛} ≔ 𝑑_{𝑛 - 1} \circ 𝑑_{𝑛 - 1}^{*} . \end{matrix}

Dann gelten die orthogonalen Aufspaltungen

Γ (𝐸_{𝑖}) = ker (Δ_{𝑖}) \oplus im (𝑑_{𝑖 - 1}) \oplus im (𝑑_{𝑖}^{*}) = ker (Δ_{𝑖}) \oplus im (Δ_{𝑖}) \forall 0 \leq 𝑖 \leq 𝑛 .

Außerdem ist die Einbettung $𝜑 : ker (Δ_{𝑖}) \to 𝐻^{𝑖} (𝐸)$ in die $𝑖$ -te Homologiegruppe

\begin{matrix} 𝐻^{𝑖} (𝐸) ≔ ker (𝑑_{𝑖}) / im (𝑑_{𝑖 - 1}) \forall 0 < 𝑖 \leq 𝑛 \\ und 𝐻^{0} (𝐸) ≔ ker (𝑑_{0}), 𝐻^{𝑛} (𝐸) ≔ Γ (𝐸_{𝑛}) / im (𝑑_{𝑛 - 1}) \end{matrix}

des Komplexes ein Vektorraumisomorphismus, d. h. insbesondere gilt

𝐻^{𝑖} (𝐸) ≅ ker (Δ_{𝑖}) \forall 0 \leq 𝑖 \leq 𝑛

und jede Homologiegruppe $𝐻^{𝑖} (𝐸)$ besitzt einen eindeutigen Repräsentanten, welcher im Kern von $Δ_{𝑖}$ liegt.

Beweis: Siehe Theorem 5.2 von Kapitel 4 in [Wel80] oder [Dan14].

Ein besonderes Beispiel für einen elliptischen Komplex ist der zu einer $𝑛$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit $𝑀$ gehörende de-Rham-Komplex:

0 \to Ω^{0} (𝑀) \overset{𝑑_{0}}{\to} Ω^{1} (𝑀) \overset{𝑑_{1}}{\to} \dots \overset{𝑑_{𝑛 - 2}}{\to} Ω^{𝑛 - 1} (𝑚) \overset{𝑑_{𝑛 - 1}}{\to} Ω^{𝑛} (𝑀) \to 0 .

Die Homologiegruppen dieses elliptischen Komplexes sind die de-Rham-Gruppen $𝐻_{dR}^{𝑘} (𝑀)$ . Durch eine Metrik auf einer orientierten Mannigfaltigkeit $𝑀$ können wir außerdem das Codifferential $𝛿_{𝑘} : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑘 - 1} (𝑀)$ als den formal zu $𝑑_{𝑘 - 1}$ adjungierten Operator und den Hodge-Laplace-Operator

\begin{matrix} ∆_{𝑘} = 𝑑_{𝑘 - 1} \circ 𝛿_{𝑘} + 𝛿_{𝑘 + 1} \circ 𝑑_{𝑘} \forall 1 \leq 𝑘 < 𝑛 \\ und Δ_{0} ≔ 𝛿_{1} \circ 𝑑_{0}, Δ_{𝑛} ≔ 𝑑_{𝑛 - 1} \circ 𝛿_{𝑛} \end{matrix}

definieren. Der Fakt, dass $𝑑_{𝑘 - 1}$ und $𝛿_{𝑘}$ formal zueinander adjungiert sind, liefert außerdem

⟨ Δ_{𝑘} 𝜔, 𝜔 ⟩ = ⟨ 𝛿_{𝑘} 𝜔, 𝛿_{𝑘} 𝜔 ⟩ + ⟨ 𝑑_{𝑘} 𝜔, 𝑑_{𝑘} 𝜔 ⟩ \geq 0 \forall 1 \leq 𝑘 < 𝑛

und somit gilt

Δ_{𝑘} 𝜔 = 0 \Leftrightarrow 𝛿_{𝑘} 𝜔 = 0 und 𝑑_{𝑘} 𝜔 = 0 .

Die Gleichungen auf der rechten Seite können als statische Maxwell’sche Gleichungen im Vakuumfall interpretiert werden.

Definition 4.2.3 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und $Δ_{𝑘} : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑘} (𝑀)$ der durch die Metrik induzierte Hodge-Laplace-Operator. Elemente im Kern von $Δ_{𝑘}$

{ℋ︀}^{𝑘} (𝑀) ≔ ker (Δ_{𝑘})

bezeichnen wir als harmonische Formen.

Gemäß dem Hodge-Theorem (Theorem 4.2.2) gilt auf einer kompakten, Riemannschen Mannigfaltigkeit

𝐻_{dR}^{𝑘} (𝑀) ≅ {ℋ︀}^{𝑘} (𝑀) und somit 𝑏_{𝑘} ≔ {dim}_{ℝ} 𝐻_{dR}^{𝑘} = {dim}_{ℝ} {ℋ︀}^{𝑘} (𝑀) .

Die Zahlen $𝑏_{𝑘}$ nennen wir Betti-Zahlen von $𝑀$ . Der de-Rham-Komplex einer orientierten Riemannschen-Mannigfaltigkeit zeichnet sich des Weiteren durch die Existenz des Hodge-Stern-Operators $⋆ : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑛 - 𝑘} (𝑀)$ aus. Einer Differentialform $𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑀)$ kann so eine „duale“ Differentialform $⋆ 𝜔 \in Ω^{𝑛 - 𝑘} (𝑀)$ zugeordnet werden, die diese zur Riemannschen Volumenform ${dvol}_{𝑔}$ ergänzt. Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit gilt dann $𝛼 \land ⋆ 𝜔 = ⟨ 𝛼, 𝜔 ⟩ {dvol}_{𝑔}$ für alle $𝛼, 𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑀)$ . Die Bündelmetrik $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ auf $Λ^{𝑘} 𝑇^{*} 𝑀$ ist dabei bezüglich einer $𝑔$ -ONB $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑛})$ am Auswertungspunkt gegeben durch

⟨ 𝛼, 𝜔 ⟩ ≔ \sum_{1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛} 𝛼 (𝐸_{𝑗_{1}}, \dots, 𝐸_{𝑗_{𝑘}}) \cdot 𝜔 (𝐸_{𝑗_{1}}, \dots, 𝐸_{𝑗_{𝑘}}) .

Der Hodge-Stern-Operator definiert somit eine lineare Abbildung $⋆ : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑛 - 𝑘} (𝑀)$ und auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit gilt

⋆^{2} = {(- 1)}^{𝑘 (𝑛 - 𝑘)} : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑘} (𝑀) .

Definition 4.2.4 Die durch die Metrik $𝑔$ auf $𝑀$ induzierte Bündelmetrik $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ auf $Λ^{𝑘} 𝑇^{*} 𝑀$ induziert ein Skalarprodukt auf $Ω^{𝑘} (𝑀)$ durch

⟨ 𝛼, 𝜔 ⟩ ≔ \int_{𝑀} ⟨ 𝛼, 𝜔 ⟩ {dvol}_{𝑔} \forall 𝛼, 𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑀) .

Für dieses Skalarprodukt gilt dann für alle $𝛼 \in Ω^{𝑘 - 1} (𝑀), 𝜔 \in Ω^{𝑘} (𝑀)$

\begin{aligned} ⟨ 𝑑_{𝑘 - 1} 𝛼, 𝜔 ⟩ & ≝ \int_{𝑀} ⟨ 𝑑_{𝑘 - 1} 𝛼, 𝜔 ⟩ {dvol}_{𝑔} = \int_{𝑀} 𝑑_{𝑘 - 1} 𝛼 \land ⋆ 𝜔 \\ = \int_{𝑀} 𝑑_{𝑛 - 1} (𝛼 \land ⋆ 𝜔) - {(- 1)}^{𝑘 - 1} \int_{𝑀} 𝛼 \land 𝑑_{𝑛 - 𝑘} ⋆ 𝜔 \\ = - {(- 1)}^{𝑘 - 1 + (𝑛 - 𝑘 + 1) (𝑛 - 𝑛 + 𝑘 - 1)} \int_{𝑀} 𝛼 \land ⋆ ⋆ 𝑑_{𝑛 - 𝑘} ⋆ 𝜔 \\ = ⟨ 𝛼, {(- 1)}^{𝑛 (𝑘 - 1) - 1} ⋆ 𝑑_{𝑛 - 𝑘} ⋆ 𝜔 ⟩ . \end{aligned}

Somit ist das Codifferential gegeben durch $𝛿_{𝑘} = {(- 1)}^{𝑛 (𝑘 - 1) - 1} ⋆ 𝑑_{𝑛 - 𝑘} ⋆ : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑘 - 1} (𝑀)$ .

Korollar 4.2.5 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann überführt der Hodge-Stern-Operator $⋆ : Ω^{𝑘} (𝑀) \to Ω^{𝑛 - 𝑘} (𝑀)$ gemäß Gl. (4.3) harmonische Formen in harmonische Formen. Daher gilt

{ℋ︀}^{𝑘} (𝑀) ≅ {ℋ︀}^{𝑛 - 𝑘} (𝑀) und somit 𝑏_{𝑘} = 𝑏_{𝑛 - 𝑘}

für die $𝑘$ -te und $(𝑛 - 𝑘)$ -te Betti-Zahl von $𝑀$ .

Außerdem wird durch den Hodge-Stern-Operator auf einer Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit eine Aufspaltung der (harmonischen) $2$ -Formen induziert.

Definition 4.2.6 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit. Dann definiert der Hodge-Stern-Operator auf den $2$ -Formen einen Endomorphismus $⋆ : Ω^{2} (𝑀) \to Ω^{2} (𝑀)$ mit der Eigenschaft $⋆^{2} = id$ . Die dazugehörigen Eigenräume bezeichnen wir mit

Ω_{+}^{2} (𝑀) und Ω_{-}^{2} (𝑀) .

Den Schnitt dieser Unterräume mit den harmonischen $2$ -Formen bezeichnen wir mit

{ℋ︀}_{+}^{2} (𝑀) ≔ Ω_{+}^{2} (𝑀) \cap {ℋ︀}^{2} (𝑀) und {ℋ︀}_{-}^{2} (𝑀) ≔ Ω_{-}^{2} (𝑀) \cap {ℋ︀}^{2} (𝑀) .

Die zugehörigen positiven und negativen Betti-Zahlen sind

𝑏_{+} (𝑀) ≔ dim {ℋ︀}_{+}^{2} (𝑀) und 𝑏_{-} (𝑀) ≔ dim {ℋ︀}_{-}^{2} (𝑀) .

Die Signatur von $𝑀$ ist

𝜎 (𝑀) ≔ 𝑏_{+} (𝑀) - 𝑏_{-} (𝑀) .

Eine weitere interessante Anwendung des Hodge-Theorems ist die Existenz von Lösungen der Poisson-Gleichung.

Lemma 4.2.7 Für die Poisson-Gleichung

∆_{0} 𝑓 = ℎ

existiert genau dann eine Lösung $𝑓 \in Ω^{0} (𝑀)$ für ein festes $ℎ \in Ω^{0} (𝑀)$ , wenn $ℎ$ co-exakt ist, d. h. wenn eine $1$ -Form $𝛼 \in Ω^{1} (𝑀)$ mit $ℎ = 𝛿 𝛼$ existiert.

Beweis: Sei zuerst $𝛼 \in Ω^{1} (𝑀)$ eine $1$ -Form mit $ℎ = 𝛿 𝛼$ . Dann gilt

⟨ 1, ℎ ⟩ = \int_{𝑀} 1 \land ⋆ ℎ = \int_{𝑀} ⋆ 𝛿 𝛼 = \int_{𝑀} 𝑑 ⋆ 𝛼 = 0 .

Somit liegt $ℎ$ im orthogonalen Komplement der konstanten Funktionen auf $𝑀$ , welche gemäß Gl. (4.3) genau der Kern von $Δ_{0}$ sind. Aus dem Hodge-Theorem folgt, dass das orthogonale Komplement von $ker (Δ_{0})$ genau das Bild von $Δ_{0}$ ist. Ist andersherum $𝑓 \in Ω^{0} (𝑀)$ eine Lösung zu Gl. (4.4), so gilt $ℎ = 𝛿 (𝑑 𝑓)$ und damit ist $𝑑 𝑓 \in Ω^{1} (𝑀)$ eine $1$ -Form mit der gewünschten Eigenschaft. $□$

4.3. Die Seiberg-Witten-Gleichungen

Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit mit einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur.

Wir suchen Paare $(𝐴, 𝜑)$ , bestehend aus einer Zusammenhangsform $𝐴$ auf dem zur ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur gehörigen Determinantenlinienbündel und einem Schnitt im positiven Spinorbündel $𝜑 \in Γ (𝑆^{+})$ , sodass die Seiberg-Witten-Gleichungen

\begin{aligned} 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 & = 0, \\ Ω_{+}^{𝐴} (𝑋, 𝑌) & = \frac{1}{4} ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑 ⟩ + \frac{1}{4} 𝑔 (𝑋, 𝑌) {| 𝜑 |}^{2} ≕ \frac{1}{4} 𝜔_{𝜑} (𝑋, 𝑌) \end{aligned}

für alle Vektorfelder $𝑋, 𝑌 \in Γ (𝑇𝑀)$ erfüllt sind. Dabei ist $𝜕_{𝐴}^{+} : 𝑆^{+} \to 𝑆^{-}$ der zu $𝐴$ gehörige positive Dirac-Operator und $Ω_{+}^{𝐴} \in Ω^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ der durch die Metrik induzierte selbstduale Anteil der lokalen Krümmungsform zu $𝐴$ . Die $2$ -Form auf der rechten Seite, welche die Gleichungen nicht-linear macht, bezeichnen wir mit $𝜔_{𝜑} \in Ω^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ .

Die Gleichungen gehen außerdem auf ein Variationsprinzip zurück. Offenbar sind Lösungen von Gl. (4.5) Nullstellen des Funktionals

\begin{aligned} ℱ︀ (𝜑, 𝐴) & ≔ \int_{𝑀} {| 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 |}^{2} + {| Ω_{+}^{𝐴} - \frac{1}{4} 𝜔_{𝜑} |}^{2} {dvol}_{𝑔} \\ = \int_{𝑀} ({| 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 |}^{2} + {| Ω_{+}^{𝐴} |}^{2} - \frac{1}{2} ℜ𝔢 ⟨ Ω_{+}^{𝐴}, 𝜔_{𝜑} ⟩ + \frac{1}{16} {| 𝜔_{𝜑} |}^{2}) {dvol}_{𝑔} \\ \overset{Proposition 3.5.10}{=} \int_{𝑀} ⟨ Δ^{𝑆} 𝜑 + \frac{1}{4} scal 𝜑, 𝜑 ⟩ + \frac{1}{2} ⟨ Ω^{𝐴} \cdot 𝜑, 𝜑 ⟩ {dvol}_{𝑔} \\ + \int_{𝑀} {| Ω_{+}^{𝐴} |}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{1 \leq 𝑗 < 𝑙 \leq 4} Ω_{+}^{𝐴} (𝐸_{𝑗}, 𝐸_{𝑙}) \cdot ⟨ 𝐸_{𝑗} \cdot 𝐸_{𝑙} \cdot 𝜑, 𝜑 ⟩ + \frac{1}{16} {| 𝜔_{𝜑} |}^{2} {dvol}_{𝑔} . \end{aligned}

Um das Funktional weiter umzuformen brauchen wir zunächst das folgende Lemma.

Lemma 4.3.1 Sei $𝜂_{-}$ der anti-selbstduale Teil einer $2$ -Form $𝜂 \in Ω^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ und $𝜑 \in Γ (𝑆^{+})$ . Dann gilt

𝜂_{-} \cdot 𝜑 = 0 und {| 𝜔_{𝜑} |}^{2} = 2 {| 𝜑 |}^{4} .

Beweis: Siehe [Fri97].

Somit ist das Seiberg-Witten-Funktional

ℱ︀ (𝜑, 𝐴) = \int_{𝑀} {| Ω_{+}^{𝐴} |}^{2} + {| \nabla^{𝑆} 𝜑 |}^{2} + (\frac{1}{4} scal {| 𝜑 |}^{2} + \frac{1}{8} {| 𝜑 |}^{4}) {dvol}_{𝑔}

nicht-negativ und besitzt als Nullstellen genau die Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen. Formal erinnert das Seiberg-Witten-Funktional an Energie-Funktionale aus der Eichtheorie, etwa dem Ginzburg-Landau-Funktional oder dem Yang-Mills-Higgs-Funktional [HK15], [CDO23]. Das Spinorfeld in den Seiberg-Witten-Gleichungen ist dabei das Analogon zu dem supraleitenden Kondensat der Ginzburg-Landau-Theorie bzw. dem Higgs-Feld der Yang-Mills-Higgs-Theorie. In Analogie zu diesen Theorien stellt der Term

𝑉_{scal} (| 𝜑 |) = \frac{1}{4} scal {| 𝜑 |}^{2} + \frac{1}{8} {| 𝜑 |}^{4},

welcher im Seiberg-Witten-Funktional auftritt, eine Obstruktion für die Existenz nicht-trivialer Lösungen zu den Seiberg-Witten-Gleichungen dar. Im Falle einer nicht strikt-positiven Skalarkrümmung besitzt die Funktion $𝑉_{scal} (| 𝜑 |)$ lokale Minima um den Ursprung und wird somit auch als Sombrero-Potential bezeichnet:

Der Lösungsraum der Seiberg-Witten-Gleichungen hängt somit von der Metrik ab, die wir auf $𝑀$ gewählt haben. Wir werden daher die perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen

\begin{aligned} 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 & = 0 \\ Ω_{+}^{𝐴} & = \frac{1}{4} 𝜔_{𝜑} + 𝜂 \end{aligned}

benötigen. Dabei ist $𝜂$ eine vorgegebene, selbstduale $2$ -Form. In den nächsten Abschnitten werden wir die Menge der Lösungen dieser Gleichungen bis auf Eichtransformation betrachten, also die Menge der Lösungen von Gl. (4.6), wobei wir Lösungen, die durch eine Eichtransformation ineinander überführt werden können, miteinander identifizieren. Dies ist der Modulraum der perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen, zu dem wir feststellen werden, dass dieser für fast alle selbstdualen 2-Formen, mit denen wir die Gleichung perturbieren, eine endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit bildet. Das Ziel ist es, eine Formel für die Dimension dieser Mannigfaltigkeit in Abhängigkeit von topologischen Invarianten von $𝑀$ aufzustellen, indem wir die Lösungsmenge von Gl. (4.6) als Nullstellenmenge der perturbierten Seiberg-Witten-Abbildung

{𝒮︀𝒲︀}_{𝜂} : (𝜑, 𝐴) \mapsto (\begin{matrix} 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 \\ Ω_{+}^{𝐴} - \frac{1}{4} 𝜔_{𝜑} + 𝜂 \end{matrix})

interpretieren.

4.4. Banach-Mannigfaltigkeiten und der Satz vom regulären Wert

In diesem Abschnitt möchten wir den Begriff einer Banach-Mannigfaltigkeit als unendlich-dimensionale Verallgemeinerung des Begriffs einer Mannigfaltigkeit sowie den Satz vom regulären Wert für Banach-Mannigfaltigkeiten einführen. Später werden wir den Satz vom regulären Wert auf die Seiberg-Witten-Abbildung anwenden.

Definition 4.4.1 Ein Banachraum ist ein normierter vollständiger Vektorraum über

ℝ

oder

ℂ

Definition 4.4.2 Sei $𝑋$ ein topologischer Raum und $𝐸$ ein Banachraum.

Man nennt $𝑋$ eine topologische Banach-Mannigfaltigkeit modeliert auf $𝐸$ oder, wenn der Kontext klar ist, auch nur Banach-Mannigfaltigkeit, falls
- $𝑋$ ein Hausdorff-Raum ist und
- um jedes $𝑥 \in 𝑋$ eine offene Umgebung $𝑈$ existiert und eine offene Menge $𝑈^{'} \subset 𝐵$ sowie ein Homöomorphismus $𝜑 : 𝑈 \to 𝑈^{'}$ . Ein solches Tupel $(𝑈, 𝜙)$ nennen wir Karte um $𝑥 \in 𝑋$ .
Ein $𝐶^{𝑘}$ -Atlas auf $𝑋$ mit $𝑘 \in ℕ$ ist eine Menge an Karten $(𝑈_{𝑖}, 𝜙_{𝑖})$ , sodass die $𝑈_{𝑖}$ den Raum $𝑋$ überdecken und die Kartenwechselabbildungen
$𝜑_{𝑗} \circ 𝜑_{𝑖}^{- 1} : 𝜑_{𝑖} (𝑈_{𝑖} \cap 𝑈_{𝑗}) \to 𝜑_{𝑗} (𝑈_{𝑖} \cap 𝑈_{𝑗})$
$𝑘$ -mal stetig Fréchet-differenzierbar sind. Ein $𝐶^{\infty}$ -Atlas auf $𝑋$ ist ein Atlas im obigen Sinne, sodass die Kartenwechselabbildungen für alle $𝑘 \in ℕ$ $𝑘$ -mal Fréchet-differenzierbar sind.
Eine $𝐶^{𝑘}$ -Banach-Mannigfaltigkeit modelliert auf $𝐸$ mit $𝑘 \in ℕ \cup {\infty}$ ist eine Banach-Mannigfaltigkeit modelliert auf $𝐸$ zusammen mit einem $𝐶^{𝑘}$ -Atlas. Wenn der Kontext klar ist, sagen wir auch nur $𝐶^{𝑘}$ -Banach-Mannigfaltigkeit.
Eine $𝐶^{𝑘}$ -Struktur auf einer Banach-Mannigfaltigkeit $𝑋$ mit $𝑘 \in ℕ \cup {\infty}$ ist ein maximaler $𝐶^{𝑘}$ -Atlas auf $𝑋$ . Eine glatte Banach-Mannigfaltigkeit ist eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer $𝐶^{\infty}$ -Struktur.

Beispiel 4.4.3

Jeder Banach-Raum $𝐸$ kann kanonisch als glatte Banach-Mannigfaltigkeit aufgefasst werden. Ein $𝐶^{\infty}$ -Atlas ist gegeben durch die Identität auf $𝐸$ .
Mit der Teilraumtopologie bildet die Menge
$𝒢︀ ≔ 𝐻^{3} (𝑀, 𝑆^{1}) ≔ {𝜎 \in 𝐻^{3} (𝑀, ℂ) | für fast alle 𝑥 \in 𝑀 : 𝜎 (𝑥) \in 𝑆^{1}} \subset 𝐻^{3} (𝑀, ℂ)$
eine Banach-Mannigfaltigkeit modelliert auf dem reellen Banachraum $𝐻^{3} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ . Um dies einzusehen, betrachten wir eine Umgebung $𝑈 \subset 𝑆^{1}$ um $1 \in 𝑆^{1}$ , sodass ein glatter Logarithmus $log : 𝑈 \to 𝑖 ℝ$ existiert. Um alle $𝜎_{0} \in 𝒢︀$ definieren wir dann die Menge
${𝒰︀}_{𝜎_{0}} ≔ {𝜎 \in 𝒢︀ | für fast alle 𝑥 \in 𝑀 : 𝜎 (𝑥) 𝜎_{0}^{- 1} (𝑥) \in 𝑈}$
und die Abbildung
$\begin{aligned} 𝜑_{𝜎_{0}} : {𝒰︀}_{𝜎_{0}} & \to 𝐻^{3} (𝑀, 𝑖 ℝ) \\ 𝜎 & \mapsto log (𝜎 𝜎_{0}^{- 1}) . \end{aligned}$
Die Umkehrabbildung ist gegeben durch $𝜑_{𝜎_{0}}^{- 1} (𝑢) = exp (𝑢) 𝜎_{0}$ . Die Menge aller Paare $(𝑈_{𝜎_{0}}, 𝜑_{𝜎_{0}})$ bildet sogar einen $𝐶^{\infty}$ -Atlas für $𝒢︀$ mit dem $𝒢︀$ eine glatte Banach-Mannigfaltigkeit wird.

Um später den Satz vom regulären Wert für Banach-Mannigfaltigkeiten einführen zu können, benötigen wir den Begriff einer glatten Abbildung zwischen Banach-Mannigfaltigkeiten und den einer glatt eingebetteten Untermannigfaltigkeit.

Definition 4.4.4 Seien $𝑋, 𝑌$ jeweils glatte Banach-Mannigfaltigkeiten. Wir nennen eine Abbildung $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ $𝑘$ -mal stetig differenzierbar, wenn für alle $𝑥 \in 𝑋$ eine Karte $𝜑 : 𝑈 \to 𝑈^{'}$ von $𝑋$ um $𝑥$ und eine Karte $𝜓 : 𝑉 \to 𝑉^{'}$ von $𝑌$ um $𝑓 (𝑥)$ existiert, sodass die Darstellung von $𝑓$ in diesen Karten

𝜓 \circ 𝑓 \circ 𝜑^{- 1} : 𝜑 (𝑈 \cap 𝑓^{- 1} (𝑉)) \to 𝑉^{'}

$𝑘$ -mal stetig Fréchet-differenzierbar ist. Die Menge solcher Abbildungen bezeichnen wir mit $𝐶^{𝑘} (𝑋, 𝑌)$ . Wenn $𝑓$ für alle $𝑘 \in ℕ$ in $𝐶^{𝑘} (𝑋, 𝑌)$ ist, nennen wir $𝑓$ glatt. Die Menge der glatten Abbildungen von $𝑋$ nach $𝑌$ bezeichnen wir mit $𝐶^{\infty} (𝑋, 𝑌)$ . Wenn $𝑓$ glatt, bijektiv und $𝑓^{- 1}$ glatt ist, nennen wir $𝑓$ einen Diffeomorphismus.

Definition 4.4.5 Sei $𝐸$ ein Banach-Raum, $𝑘 \in ℕ \cup {\infty}$ und $𝑋$ eine $𝐶^{𝑘}$ -Banach-Mannigfaltigkeit modelliert auf $𝐸$ . Eine $𝐶^{𝑘}$ -eingebettete Untermannigfaltigkeit von $𝑋$ ist eine Teilmenge $𝑀 \subset 𝑋$ , sodass für alle $𝑝 \in 𝑀$ eine Karte $𝜑_{𝑝} : 𝑈 \to 𝑈^{'}$ von $𝑋$ um $𝑝$ und eine Zerlegung

𝐸 = 𝐵 \oplus 𝐹

in zwei weitere Banach-Räume $𝐵, 𝐹$ existiert, sodass $𝜑_{𝑝} (𝑈 \cap 𝑀) = 𝑈^{'} \cap (𝐵 \times {0})$ gilt.

Definition 4.4.6 Sei $𝑋$ eine glatte Banach-Mannigfaltigkeit.

Ein Tangentialvektor an $𝑥 \in 𝑋$ ist eine Derivation $𝐷$ an $𝑥 \in 𝑋$ , d. h. eine $ℝ$ -lineare Abbildung
$𝐷 : 𝐶^{\infty} (𝑋, ℝ) \to ℝ$
mit
$𝐷 (𝑓 𝑔) = 𝐷 (𝑓) 𝑔_{𝑥} + 𝑓_{𝑥} 𝐷 (𝑔) für alle 𝑓, 𝑔 \in 𝐶^{\infty} (𝑋, ℝ) .$
Der Tangentialraum $𝑇_{𝑥} 𝑋$ an $𝑥 \in 𝑋$ ist der reelle Vektorraum aller Derivationen an $𝑥$ .
Wenn $𝑌$ eine weitere glatte Banach-Mannigfaltigkeit, $𝑥 \in 𝑋$ ein Punkt in $𝑋$ und $𝑓 \in 𝐶^{\infty} (𝑋, 𝑌)$ eine glatte Abbildung ist, dann definieren wir eine lineare Abbildung
$\begin{aligned} {𝑑 𝑓}_{𝑥} : 𝑇_{𝑥} 𝑋 & \to 𝑇_{𝑓 (𝑥)} 𝑌 \\ 𝐷 & \mapsto {𝑑 𝑓}_{𝑥} (𝐷) \end{aligned}$
durch
${𝑑 𝑓}_{𝑥} (𝐷) (𝑔) ≔ 𝐷 (𝑔 \circ 𝑓) \in ℝ für alle 𝑔 \in 𝐶^{\infty} (𝑌, ℝ) .$

Wir haben nun die nötigen Begriffe eingeführt, um den Satz vom regulären Wert für Abbildungen zwischen Banach-Mannigfaltigkeiten formulieren zu können.

Proposition 4.4.7 Sei $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ eine glatte Abbildung zwischen glatten Banach-Mannigfaltigkeiten $𝑋, 𝑌$ . Wenn $𝑦 \in 𝑌$ ein regulärer Wert von $𝑓$ ist, d. h. für alle $𝑥 \in 𝑓^{- 1} (𝑦)$ ist ${𝑑 𝑓}_{𝑥}$ surjektiv, dann ist $𝑓^{- 1} (𝑦)$ eine glatt eingebettete Untermannigfaltigkeit von $𝑋$ .

Beweis: Siehe [Lan02].

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4.5. Fredholm-Abbildungen und der Indexsatz

Um den perturbierten Seiberg-Witten-Modulraum als eine endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit interpretieren zu können, benötigen wir den Begriff eines Fredholm-Operators, des Fredholm-Index und den einer Fredholm-Abbildung zwischen glatten Banach-Mannigfaltigkeiten. Mit Hilfe eines Spezialfalls des Atiyah-Singer-Indexsatzes werden wir anschließend den Fredholm-Index des positiven Dirac-Operators und die Euler-Charakteristik eines zu einer Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit gehörenden elliptischen Komplexes ausdrücken.

Definition 4.5.1

Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $𝐸, 𝐹$ Banachräume über $𝕂$ . Ein beschränkter linearer Operator $𝑓 : 𝐸 \to 𝐹$ heißt Fredholm-Operator, wenn $ker (𝑓) \subset 𝐸$ endlich-dimensional ist und $im (𝑓) \subset 𝐹$ endliche Kodimension hat. Die Zahl
${ind}_{𝕂} (𝑓) ≔ {dim}_{𝕂} ker (𝑓) - {codim}_{𝕂} im (𝑓)$
heißt Fredholm-Index bzw. auch nur Index von $𝑓$ . Wenn der Grundkörper klar ist, schreiben wir auch nur $ind (𝑓) ≔ {ind}_{𝕂} (𝑓)$ . Im Fall $𝕂 = ℂ$ schreiben wir zusätzlich ${ind}_{ℝ} (𝑓) ≔ 2 {ind}_{ℂ} (𝑓)$ .
Eine glatte Abbildung $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ zwischen glatten Banach-Mannigfaltigkeiten heißt Fredholm-Abbildung von Index $𝑛$ , wenn ${𝑑 𝑓}_{𝑥}$ für alle $𝑥 \in 𝑋$ ein Fredholm-Operator von Index $𝑛$ ist.

Lemma 4.5.2 Seien $𝐸, 𝐹$ Banachräume und $𝑓 : 𝐸 \to 𝐹$ ein Fredholm-Operator. Dann gelten die folgenden Aussagen.

Das Bild $im (𝑓) \subset 𝐹$ ist abgeschlossen.
Wenn $𝐸, 𝐹$ Hilberträume sind, dann ist auch der zu $𝑓$ adjungierte Operator $𝑓^{*} : 𝐹 \to 𝐸$ ein Fredholm-Operator und für den Index gilt

ind (𝑓^{*}) = - ind (𝑓) .

Beweis: Die Abgeschlossenheit des Bildes eines Fredholm-Operators folgt aus der endlichen Kodimension des Bildes (siehe Kapitel 11, Korollar 2.3 in [GGK90]). Für eine beschränkte lineare Abbildung

𝑓 : 𝐸 \to 𝐹

zwischen Hilberträumen

𝐸

und

𝐹

mit abgeschlossenem Bild

im 𝑓 \subset 𝐹

gilt

im 𝑓^{*} = {(ker 𝑓)}^{⟂}

und

im 𝑓 = {(ker 𝑓^{*})}^{⟂}

[GGK90]. Insbesondere folgt daraus für einen Fredholm-Operator

ind (𝑓^{*}) = {codim}_{𝕂} im (𝑓) - {dim}_{𝕂} ker (𝑓) = - ind (𝑓)

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Mit dem Begriff einer Fredholm-Abbildung können wir den Satz vom regulären Wert für Abbildungen zwischen Banach-Mannigfaltigkeiten im Fall einer Fredholm-Abbildung weiter verschärfen. Dies ist das Hauptresultat, welches wir verwenden werden, um den Seiberg-Witten-Modulraum als endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit interpretieren zu können.

Proposition 4.5.3 Seien $𝐸, 𝐹$ Banachräume über dem Körper $𝕂$ mit $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ . Seien außerdem $𝑋, 𝑌$ glatte Banach-Mannigfaltigkeiten modelliert auf $𝐸, 𝐹$ sowie $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ eine Fredholm-Abbildung von Index $𝑛$ und $𝑦 \in 𝑌$ ein regulärer Wert von $𝑓$ (definiert wie in Proposition 4.4.7). Im Fall $𝑛 \geq 0$ ist $𝑓^{- 1} (𝑦)$ eine endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit der Dimension ${ind}_{ℝ} (𝑓)$ . Im Fall $𝑛 < 0$ gilt $𝑓^{- 1} (𝑦) = \emptyset$ .

Beweis: Siehe [Lan02].

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Wir werden nun sehen, wie wir den Vektorräumen von Schnitten in einem Vektorbündel über einer kompakten, Riemannschen Mannigfaltigkeit durch die Wahl einer Bündelmetrik und eines Zusammenhangs eine Norm verleihen können. Ferner werden wir feststellen, dass sich lineare Differentialoperatoren auf den dabei entstehenden Banachräumen zu beschränkten linearen Operatoren fortsetzen lassen. Die Fälle in denen der ursprüngliche Operator elliptisch war, werden besondere Beispiele für Fredholm-Operatoren sein.

Definition 4.5.4 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, $𝐸$ ein reelles oder komplexes Vektorbündel über $𝑀$ sowie $\nabla : Γ (𝐸) \to Γ (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝐸)$ ein Zusammenhang und ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{𝐸}$ eine Bündelmetrik auf $𝐸$ . Für $𝑥 \in 𝑀$ und $𝜔 \in {(Λ^{𝑘} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝐸)}_{𝑥}$ setzen wir

{| 𝜔 |}^{2} ≔ \sum_{1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛} {⟨ 𝜔 (𝐸_{𝑗_{1}}, \dots, 𝐸_{𝑗_{𝑘}}), 𝜔 (𝐸_{𝑗_{1}}, \dots, 𝐸_{𝑗_{𝑘}}) ⟩}_{𝐸} .

Dabei ist $(𝐸_{1}, \dots, 𝐸_{𝑛})$ eine $𝑔$ -ONB von $𝑇_{𝑥} 𝑀$ . Für Vektorfelder $𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘} \in Γ (𝑇𝑀)$ schreiben wir

\nabla^{𝑘} 𝜑 (𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑘}) ≔ \nabla_{𝑋_{1}} \dots \nabla_{𝑋_{𝑘}} 𝜑 und \nabla^{0} 𝜑 ≔ 𝜑 .

Dann definiert

Γ (𝐸) ∋ 𝜑 \mapsto {‖ 𝜑 ‖}_{𝐻^{𝑘} (𝐸)} ≔ \sqrt{\sum_{𝑗 = 0}^{𝑘} \int_{𝑀} | \nabla^{𝑗} 𝜑 |^{2} {dvol}_{𝑔}} \in ℝ

für alle $𝑘 \in ℕ_{0}$ eine Norm auf dem Vektorraum $Γ (𝐸)$ der Schnitte in $𝐸$ . Den Abschluss von $Γ (𝐸)$ unter der Norm ${‖ \cdot ‖}_{𝐻^{𝑘} (𝐸)}$ bezeichnen wir als den $(2,𝑘)$ -Sobolev-Raum

𝐻^{𝑘} (𝐸) .

Beispiel 4.5.5 Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ Wenn $𝐸 = 𝑀 \times 𝕂$ das triviale $𝕂$ -Vektorbündel ist, dann definiert

⟨ (𝑥, 𝑣), (𝑥, 𝑤) ⟩ ≔ 𝑣^{*} 𝑤

eine Bündelmetrik auf $𝐸$ . Die resultierenden $(2, 𝑘)$ -Sobolev-Räume bezeichnen wir mit

𝐻^{𝑘} (𝑀, 𝕂) .

Lemma 4.5.6 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ und $𝐸, 𝐹$ zwei $𝕂$ -Vektorbündel über $𝑀$ auf denen jeweils hermitesche Bündelmetriken und Zusammenhänge gegeben sind. Ein linearer Differentialoperator $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ der Ordnung $𝑚$ kann für alle $𝑘 \geq 𝑚$ zu einem beschränkten linearen Operator $𝑃 : 𝐻^{𝑘} (𝐸) \to 𝐻^{𝑘 - 𝑚} (𝐹)$ auf den dazugehörigen Sobolev-Räumen mit

𝑃 ([{(𝑎)}_{𝑖}]) ≔ lim_{𝑖 \to \infty} 𝑃 (𝑎_{𝑖}) für alle Cauchy-Folgen {(𝑎)}_{𝑖} in (Γ (𝐸), ‖ \cdot ‖ |_{𝐻^{𝑘} (𝐸)})

fortgesetzt werden. Wenn $𝑃$ zusätzlich ein elliptischer Operator ist, dann ist die Fortsetzung ein Fredholm-Operator, dessen Index unabhängig von $𝑘$ ist, nur vom Hauptsymbol von $𝑃$ abhängt und für den gilt:

ind (𝑃 : 𝐻^{𝑘} (𝐸) \to 𝐻^{𝑘 - 𝑚} (𝐹)) = {dim}_{𝕂} ker (𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)) - {codim}_{𝕂} im (𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)) .

Beweis: Siehe Kapitel 3, Proposition 2.1, Theorem 5.2, Korollar 5.3 und Theorem 13.2 in [LM89].

Wir möchten nun eine Beziehung zwischen elliptischen Komplexen (siehe Definition 4.2.1) und Fredholm-Operatoren herstellen. Dazu führen wir die sogenannte Euler-Charakteristik eines elliptischen Komplexes ein, welche gemäß des folgenden Satzes wohldefiniert ist.

Satz 4.5.7 Die Homologiegruppen eines elliptischen Komplexes über einer kompakten Mannigfaltigkeit sind endlich-dimensional.

Beweis: Siehe [AB67].

Definition 4.5.8 Sei $𝐸$ ein elliptischer Komplex über einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Homologiegruppen $𝐻^{𝑖} (𝐸)$ für alle $0 \leq 𝑖 \leq 𝑛$ . Sei $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ der Körper, über dem die jeweiligen Vektorbündel des Komplexes definiert sind. Dann nennen wir

𝜒_{𝕂} (𝐸) ≔ \sum_{𝑖 = 0}^{𝑛} {(- 1)}^{𝑖} {dim}_{𝕂} 𝐻^{𝑖} (𝐸)

die Euler-Charakteristik von $𝐸$ . Im Fall $𝕂 = ℂ$ schreiben wir auch $𝜒_{ℝ} (𝐸) ≔ 2 𝜒_{ℂ} (𝐸)$ und, wenn der Kontext klar ist, auch nur $𝜒 (𝐸) ≔ 𝜒_{𝕂} (𝐸)$ .

Im einfachsten Fall lässt sich der Index eines elliptischen Operators wie folgt mit der Euler-Charakteristik in Beziehung setzen.

Bemerkung 4.5.9 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte, Riemannsche Mannigfaltigkeit, $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ , $𝐸, 𝐹$ zwei $𝕂$ -Vektorbündel über $𝑀$ und $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ ein elliptischer linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung über $𝑀$ . Wenn $𝐸$ der elliptische Komplex

0 \to Γ (𝐸) \overset{𝑃}{\to} Γ (𝐹) \to 0

ist, dann gilt

ind (𝑃 : 𝐻^{𝑘} (𝐸) \to 𝐻^{𝑘 - 𝑚} (𝐸)) = 𝜒_{𝕂} (𝐸) .

Auch für einen allgemeinen elliptischen Komplex existiert ein elliptischer Differentialoperator, dessen Index der Euler-Charakteristik des Komplexes entspricht.

Proposition 4.5.10 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, $𝐸$ ein elliptischer Komplex über $𝑀$ und $𝜒 (𝐸)$ seine Euler-Charakteristik. Seien auf den dazugehörigen reellen oder komplexen Vektorbündeln $𝐸_{0}, \dots, 𝐸_{2 𝑛 + 1}$ jeweils Bündelmetriken gegeben, sodass die formalen Adjungierten $𝑑_{0}^{*}, \dots, 𝑑_{2 𝑛}^{*}$ zu den linearen Differentialoperatoren $𝑑_{0}, \dots, 𝑑_{2 𝑛}$ des Komplexes definiert werden können. Dann ist der Operator

\begin{aligned} 𝐷 : Γ (⨁_{𝑖 = 0}^{𝑛} 𝐸^{2 𝑖}) & \to Γ (⨁_{𝑖 = 0}^{𝑛} 𝐸^{2 𝑖 + 1}) \\ (𝑢_{0}, 𝑢_{2}, \dots) & \mapsto (𝑑_{0} 𝑢_{0} + 𝑑_{1}^{*} 𝑢_{2}, 𝑑_{2} 𝑢_{2} + 𝑑_{3}^{*} 𝑢_{4}, \dots) \end{aligned}

ein elliptischer Operator und für den Index der Fortsetzung dieses Operators zu einem Fredholm-Operator auf den respektiven Sobolev-Räumen gilt

ind (𝐷) = 𝜒 (𝐸) .

Beweis: Siehe §7 in [AS68a].

Der erste Baustein, aus dem wir die Dimension des Seiberg-Witten-Modulraums zusammensetzen werden, ist die Euler-Charakteristik des folgenden Komplexes.

Beispiel 4.5.11 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit, $𝑏_{+} (𝑀)$ die positive Betti-Zahl wie in Definition 4.2.6, ${pr}_{+} : Ω^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ) \to Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ die Projektion auf den selbstdualen Anteil in $Ω^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ und $𝑑^{+} ≔ {pr}_{+} \circ 𝑑$ . Wenn $𝐸$ der elliptische Komplex

0 \to Ω^{0} (𝑀, 𝑖 ℝ) \overset{𝑑}{\to} Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ) \overset{𝑑^{+}}{\to} Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ) \to 0

ist, dann gilt für die Euler-Charakteristik von $𝐸$

𝜒_{ℝ} (𝐸) = 𝑏_{0} (𝑀) - 𝑏_{1} (𝑀) + 𝑏_{+} (𝑀) .

Um dies einzusehen, betrachten wir ein Element $𝜔 \in Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ , welches orthogonal zum Bild von $𝑑^{+}$ sei. Dann gilt $𝛿 𝜔 = 0$ und somit, da $𝜔$ selbstdual ist, auch $𝑑 𝜔 = 0$ und daher $𝜔 \in {ℋ︀}_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ . Ist andersherum $𝜔 \in {ℋ︀}_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ , folgt aus $𝛿 𝜔 = 0$ sofort, dass $𝜔$ im orthogonalen Komplement vom Bild von $𝑑^{+}$ liegt. Sei nun $𝜔 \in Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ orthogonal zum Bild von $𝑑$ und im Kern von $𝑑^{+}$ . Dann gilt auch $𝛿 𝜔 = 0$ . Außerdem gilt

2 𝑑^{+} 𝜔 = 𝑑 𝜔 + ⋆ 𝑑 𝜔 = 0 .

Somit gilt

∆ 𝜔 = (𝛿 \circ 𝑑 + 𝑑 \circ 𝛿) 𝜔 = 𝛿 𝑑 𝜔 = ⋆ 𝑑 ⋆ 𝑑 𝜔 = - ⋆ 𝑑 𝑑 𝜔 = 0 .

Gilt andersherum $𝜔 \in {ℋ︀}^{1} (𝑀)$ , so folgt aus $𝛿 𝜔 = 0$ und $𝑑 𝜔 = 0$ , dass $𝜔$ im orthogonalen Komplement zum Bild von $𝑑$ und im Kern von $𝑑^{+}$ liegt. Insgesamt gilt für die Homologie-Gruppen von $𝐸$

𝐻^{0} (𝐸) = 𝐻_{dR}^{0} (𝑀), 𝐻^{1} (𝐸) = {ℋ︀}^{1} (𝑀) ≅ 𝐻_{dR}^{1} (𝑀), 𝐻^{2} (𝐸) = {ℋ︀}_{+}^{2} (𝑀) .

Somit ist der Operator

𝑑 \oplus {(𝑑^{+})}^{*} : Ω^{0} (𝑀, 𝑖 ℝ) \oplus Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ) \to Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)

gemäß Proposition 4.5.10 ein elliptischer Operator und für den Index der Fortsetzung dieses Operators zu einem Fredholm-Operator auf den respektiven Sobolev-Räumen gilt

{ind}_{ℝ} (𝑑 \oplus {(𝑑^{+})}^{*}) = 𝑏_{0} (𝑀) - 𝑏_{1} (𝑀) + 𝑏_{+} (𝑀) .

Korollar 4.5.12 Gemäß Lemma 4.5.2 ist auch der Operator

𝛿 \oplus 𝑑^{+} : Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ) \to Ω^{0} (𝑀, 𝑖 ℝ) \oplus Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)

ein elliptischer Operator und für den Index der Fortsetzung dieses Operators zu einem Fredholm-Operator auf den respektiven Sobolev-Räumen gilt

{ind}_{ℝ} (𝛿 \oplus 𝑑^{+}) = - 𝑏_{0} (𝑀) + 𝑏_{1} (𝑀) - 𝑏_{+} (𝑀) .

Wir erhalten außerdem das folgende Korollar, das wir zur Vermeidung reduzibler Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen benötigen.

Korollar 4.5.13 Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte, Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit, $𝑃$ ein $𝑆^{1}$ -HFB über $𝑀$ und $𝐴_{0}$ eine beliebige Zusammenhangsform auf $𝑃$ . Dann spannt die Menge

\begin{aligned} {Ω_{+}^{𝐴} ≔ {pr}_{+} Ω^{𝐴} \in Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ) | 𝐴 Zusammenhangsform auf 𝑃} \subset Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ) \\ = & {Ω_{+}^{𝐴_{0}} + 𝑑^{+} 𝑎 | 𝑎 \in Ω^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)} . \end{aligned}

einen affinen Unterraum von $Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ der Kodimension $𝑏_{+} (𝑀)$ auf.

Beweis: Die gesuchte Kodimension ist ${dim}_{ℝ} 𝐻^{2} (𝐸) = 𝑏_{+} (𝑀)$ , wobei $𝐸$ der Komplex aus Beispiel 4.5.11 ist.

Als zweiten Baustein der Dimensionsberechnung benötigen wir den Index des positiven Dirac-Operators einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur zu dessen Angabe mit Hilfe eines Spezialfalles des Atiyah-Singer-Indexsatzes wir den Begriff einer multiplikativen Sequenz einführen müssen.

Definition 4.5.14 Sei $𝑄 (𝑥) = 1 + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{2} 𝑥^{2} + \dots$ eine formale Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten und $𝑎_{0} = 1$ . Dann ist der Ausdruck

\prod_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑄 (𝑥_{𝑖}) = 1 + \sum_{𝑘 \in ℕ} 𝐹_{𝑘} (𝜎_{1} (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}), \dots, 𝜎_{𝑘} (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}))

offenbar symmetrisch in den formalen Variablen $𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}$ und kann daher durch elementarsymmetrische Polynome

𝜎_{𝑘} (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) ≔ {\begin{cases} \sum_{1 \leq 𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘} \leq 𝑛} 𝑥_{𝑗_{1}} \cdot \dots \cdot 𝑥_{𝑗_{𝑘}} & 𝑘 \leq 𝑛 \\ 0 & sonst \end{cases}

und gewichtet homogene Funktionen

𝐹_{𝑘} (𝑡 𝜎_{1}, \dots, 𝑡^{𝑘} 𝜎_{𝑘}) = 𝑡^{𝑘} 𝐹_{𝑘} (𝜎_{1}, \dots, 𝜎_{𝑘})

ausgedrückt werden. Die Folge $(𝐹_{𝑘})$ heißt multiplikative Sequenz assoziiert zu $𝑄 (𝑥)$ .

Definition 4.5.15 Sei $(𝐹_{𝑘})$ die zu einer formalen Potenzreihe $𝑄 (𝑥)$ mit Koeffizienten in $ℚ$ assoziierte multiplikative Sequenz. Sei außerdem

𝐵 = 𝐵^{0} \oplus 𝐵^{1} \oplus 𝐵^{2} \oplus \dots mit 𝐵^{𝑖} \cdot 𝐵^{𝑗} \subset 𝐵^{𝑖 \cdot 𝑗}

eine kommutative, unitäre Algebra über $ℚ$ und $𝐵^{^}$ die Menge der formalen Summen

1 + 𝑏_{1} + 𝑏_{2} + \dots \in 𝐵^{^}

mit $𝑏_{𝑖} \in 𝐵^{𝑖}$ für alle $𝑖 \in ℕ$ (zum Beispiel $𝐵 = 𝐻_{dR}^{gerade} (𝑀, ℂ)$ ). Dann definieren wir bezüglich der zu $𝑄 (𝑥)$ assoziierten multiplikativen Sequenz $(𝐹_{𝑘})$ eine Abbildung $𝑭 : 𝐵^{^} \to 𝐵^{^}$ , die eine formale Summe $𝑏 = 1 + 𝑏_{1} + 𝑏_{2} + \dots$ abbildet auf

𝑭 (𝑏) ≔ 1 + 𝐹_{1} (𝑏_{1}) + 𝐹_{2} (𝑏_{1}, 𝑏_{2}) + \dots \in 𝐵^{^} .

Beispiel 4.5.16 Wir betrachten die Potenzreihe

\hat{𝑎} (𝑥) = \frac{\sqrt{𝑥} / 2}{sinh (\sqrt{𝑥} / 2)} = 1 - \frac{1}{24} 𝑥 + \frac{7}{2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5} 𝑥^{2} + \dots

Die ersten Terme der zu $\hat{𝑎} (𝑥)$ assoziierten multiplikativen Sequenz sind gegeben durch

\begin{aligned} \hat{𝑎} (𝑥_{1}) \cdot \hat{𝑎} (𝑥_{2}) & = (1 - \frac{1}{24} 𝑥_{1} + \frac{7}{2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5} 𝑥_{1}^{2} + \dots) (1 - \frac{1}{24} 𝑥_{2} + \frac{7}{2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5} 𝑥_{2}^{2} + \dots) \\ = 1 - \frac{1}{24} (𝑥_{1} + 𝑥_{2}) + \frac{1}{{(24)}^{2}} 𝑥_{1} \cdot 𝑥_{2} + \frac{7}{2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5} (𝑥_{1}^{2} + 𝑥_{2}^{2}) + \dots \\ = 1 \underset{𝐹_{1} (𝜎_{1} (𝑥_{1}, 𝑥_{2}))}{\underset{⏟}{- \frac{1}{24} 𝜎_{1} (𝑥_{1}, 𝑥_{2})}} + \underset{𝐹_{2} (𝜎_{1} (𝑥_{1}, 𝑥_{2}), 𝜎_{2} (𝑥_{1}, 𝑥_{2}))}{\underset{⏟}{\frac{1}{2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5} (- 4 𝜎_{2} (𝑥_{1}, 𝑥_{2}) + 7 {(𝜎_{1} (𝑥_{1}, 𝑥_{2}))}^{2})}} + \dots \end{aligned}

Wenn zusätzlich $𝐸$ ein reelles Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit $𝑀$ ist, dann heißt das Bild der totalen Pontrjagin-Klasse $𝑝 (𝐸) = 1 + 𝑝_{1} (𝐸) + 𝑝_{2} (𝐸) + \dots$ (siehe Definition 2.7.8) bezüglich dieser multiplikativen Sequenz die totale $\hat{𝐴}$ -Klasse von $𝐸$ :

\hat{𝐴} (𝐸) ≔ 1 - \frac{1}{24} 𝑝_{1} (𝐸) + \frac{1}{2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5} (- 4 𝑝_{2} (𝐸) + 7 𝑝_{1} (𝐸) \land 𝑝_{1} (𝐸)) + \dots

Proposition 4.5.17 Sei $𝑀$ eine kompakte, Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur, $𝑃_{1}$ das zugehörige Determinantenlinienbündel, $𝐴$ eine Zusammenhangsform auf $𝑃_{1}$ , $𝑐_{1} (𝑃_{1}) \in Ω_{dR}^{2} (𝑀, ℂ)$ die erste Chern-Klasse von $𝑃_{1}$ (siehe Definition 2.7.7) und $\hat{𝐴} (𝑇𝑀)$ die $\hat{𝐴}$ -Klasse von $𝑇𝑀$ wie in Beispiel 4.5.16. Dann ist der zu $𝐴$ gehörige positive Dirac-Operator $𝜕_{𝐴}^{+} : 𝑆^{+} \to 𝑆^{-}$ ein elliptischer Operator und für den Index der Fortsetzung $𝜕_{𝐴}^{+} : 𝐻^{𝑘} (𝑆^{+}) \to 𝐻^{𝑘 - 1} (𝑆^{-})$ zu einem Fredholm-Operator auf den respektiven Sobolev-Räumen gilt

{ind}_{ℂ} (𝜕_{𝐴}^{+}) = \int_{𝑀} {[𝑒^{\frac{1}{2} 𝑐_{1} (𝑃_{1})} \land \hat{𝐴} (𝑇𝑀)]}^{dim (𝑀)} .

Dabei ist der Integrand der Anteil der formalen Potenzreihe

𝑒^{\frac{1}{2} 𝑐_{1} (𝑃_{1})} \land \hat{𝐴} (𝑇𝑀) = (1 + \frac{1}{2} 𝑐_{1} (𝑃_{1}) + \frac{1}{8} 𝑐_{1} (𝑃_{1}) \land 𝑐_{1} (𝑃_{1}) + \dots) \land (1 - \frac{1}{24} 𝑝_{1} (𝑇𝑀) + \dots),

welcher in $𝐻_{dR}^{dim (𝑀)} (𝑀, ℂ)$ liegt.

Beweis: Siehe [LM89].

Wir können diese Formel mit Hilfe des folgenden Resultats weiter vereinfachen.

Satz 4.5.18 Für die Signatur einer kompakten, orientierten, Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit gilt

𝜎 (𝑀) = \int_{𝑀} \frac{1}{3} 𝑝_{1} (𝑇𝑀) .

Beweis: Siehe [Hir71].

Satz 4.5.18 ist ein Spezialfall des Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorems [Hir56, Hir54], welches selbst ein Vorläufer und ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Indexsatzes ist. Dieser wurde in einer Serie von Arbeiten [AS68b, AS63, AS68a, AS68c, AS71a, AS71b] von M. Atiyah und I. Singer entwickelt. Mit Hilfe von Satz 4.5.18 können wir den Index des positiven Dirac-Operators nun wie folgt schreiben.

Korollar 4.5.19 Wenn $𝑀$ vierdimensional ist, dann gilt für den Index des positiven Dirac-Operators

{ind}_{ℂ} (𝜕_{𝐴}^{+}) = \frac{1}{8} \int_{𝑀} 𝑐_{1} (𝑃_{1}) \land 𝑐_{1} (𝑃_{1}) - \frac{1}{24} \int_{𝑀} 𝑝_{1} (𝑇𝑀) .

Wenn $𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1}) [𝑀]$ die Auswertung von $𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1})$ auf $𝑀$ ist, erhalten wir mittels Satz 4.5.18 ferner

{ind}_{ℂ} (𝜕_{𝐴}^{+}) = \frac{1}{8} (𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1}) [𝑀] - 𝜎 (𝑀)) .

Bemerkung 4.5.20 Falls $𝑀$ eine Spin-Struktur besitzt (d. h. $𝑐_{1} (𝑃_{1}) = 0$ ), dann ist die Signatur $𝜎 (𝑀)$ durch $8$ teilbar.

4.6. Das Definitionsgebiet der Seiberg-Witten-Abbildung

Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine kompakte, Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit mit einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur und $𝐴_{0} \in Ω^{1} (𝑃_{1}, 𝔤)$ eine beliebige Zusammenhangsform auf dem zur ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur gehörigen Determinantenlinienbündel $𝑃_{1}$ .

Bei der Betrachtung der Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen wäre es naheliegend, glatte Spinorfelder und Zusammenhänge zu betrachten. Um jedoch den Satz vom regulären Wert anwenden zu können, müssen wir auf dem komplexen Vektorraum der Schnitte im Spinorbündel und dem affinen Raum der Zusammenhänge auf dem zur ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur gehörigen Determinantenlinienbündel geeignete Sobolev-Vervollständigungen wie in Definition 4.5.4 betrachten. Die Lösungsmenge wird sich dabei nicht verändern und aus glatten Schnitten bestehen [Mor96].

Satz 4.6.1 Seien $𝐸, 𝐹$ komplexe oder reelle Vektorbündel über $𝑀$ auf denen jeweils Bündelmetriken und Zusammenhänge gegeben sind, sodass wir die respektiven Sobolev-Vervollständigungen $𝐻^{𝑘} (𝐸), 𝐻^{𝑘} (𝐹)$ betrachten können. Sei $𝑃 : Γ (𝐸) \to Γ (𝐹)$ ein linearer Differentialoperator $𝑚$ -ter Ordnung und $𝑃 : 𝐻^{𝑘} (𝐸) \to 𝐻^{𝑘 - 𝑚} (𝐸)$ seine Fortsetzung zu einem Operator auf den jeweiligen Sobolev-Räumen wie in Lemma 4.5.6. Wenn $𝑢 \in 𝐻^{𝑘} (𝐸)$ eine Lösung der Gleichung $𝑃 𝑢 = 0$ ist, dann gilt $𝑢 \in Γ (𝐸)$ .

Beweis: Siehe [Eva10].

Definition 4.6.2

Die Seiberg-Witten-Abbildung ist die Abbildung
$\begin{aligned} 𝒮︀𝒲︀ : 𝐻^{2} (𝑆^{+} \oplus 𝑇^{*} 𝑀) & \to 𝐻^{1} (𝑆^{-} \oplus (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)) \\ (𝜑, 𝑎) & \mapsto (\begin{matrix} 𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑 + 𝑎 \cdot 𝜑 \\ Ω_{+}^{𝐴_{0}} + {(𝑑 𝑎)}^{+} - 𝜔_{𝜑} \end{matrix}) . \end{aligned}$
Das Definitionsgebiet dieser Abbildung, welches wir als den Konfigurationsraum (der Seiberg-Witten-Gleichungen) bezeichnen, ist ein Banachraum, somit gemäß Beispiel 4.4.3 eine glatte Banach-Mannigfaltigkeit und wir kürzen wie folgt ab
$𝒜︀ ≔ 𝐻^{2} (𝑆^{+} \oplus 𝑇^{*} 𝑀) .$
Wir betrachten außerdem eine Eichwirkung der Gruppe $𝒢︀ ≔ 𝐻^{3} (𝑀, 𝑆^{1}) \subset 𝐻^{3} (𝑀, ℂ)$ auf dem Definitionsgebiet $𝒜︀$ von $𝒮︀𝒲︀$ von rechts durch
$\begin{aligned} 𝒜︀ \times 𝒢︀ & \to 𝒜︀ \\ (𝜑, 𝑎, 𝜎) & \mapsto (𝜑, 𝑎) \cdot 𝜎 ≔ (𝜎^{- 1} 𝜑, 𝑎 + 2 𝜎^{- 1} 𝑑 𝜎) . \end{aligned}$
Den Quotienten bezüglich dieser Wirkung bezeichnen wir mit
$ℬ︀ ≔ 𝒜︀ / 𝒢︀ .$

Proposition 4.6.3 Wenn $(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀$ eine Lösung von Gl. (4.6) und $𝜎 \in 𝒢︀$ eine Eichtransformation ist, dann ist auch $(𝜑, 𝑎) \cdot 𝜎$ eine Lösung von Gl. (4.6).

Beweis: Sei $𝜋 : 𝑃_{1} \to 𝑀$ die Projektion in $𝑃_{1}$ , $𝐴 ≔ 𝐴_{0} + 𝜋^{*} 𝑎$ und $𝐴^{'} = 𝐴 + 𝜋^{*} (2 𝜎^{- 1} 𝑑 𝜎)$ . Sei außerdem $\nabla$ der Zusammenhang auf $Ω^{0} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ definiert durch $\nabla_{𝑋} 𝑠 ≔ 𝑋 (𝑠)$ für alle $𝑠 \in Ω^{0} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ . Dann gilt mit Definition 3.4.13 und Korollar 3.5.13:

\begin{aligned} 𝜕_{𝐴^{'}}^{+} (𝜎^{- 1} 𝜑) & = 𝜕_{𝐴}^{+} (𝜎^{- 1} 𝜑) + \frac{1}{2} (2 𝜎^{- 1} 𝑑 𝜎) \cdot (𝜎^{- 1} 𝜑) \\ = \nabla (𝜎^{- 1}) \cdot 𝜑 + 𝜎^{- 1} 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 + 𝜎^{- 2} 𝑑 𝜎 \cdot 𝜑 \\ = - 𝜎^{- 2} 𝑑 𝜎 \cdot 𝜑 + 𝜎^{- 1} 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 + 𝜎^{- 2} 𝑑 𝜎 \cdot 𝜑 \\ = 𝜎^{- 1} 𝜕_{𝐴}^{+} 𝜑 . \end{aligned}

Gemäß Bemerkung 2.6.7 ist die lokale Krümmungsform außerdem invariant unter Eichtransformationen und da $𝜎$ Werte im Einheitskreis annimmt, gilt $𝜔_{𝜎^{- 1} 𝜑} = 𝜔_{𝜑}$ . Somit ist insgesamt $(𝜑, 𝑎) \cdot 𝜎$ eine Lösung von Gl. (4.6). $□$

Definition 4.6.4 Sei $ℬ︀ = 𝒜︀ / 𝒢︀$ der Quotient wie in Definition 4.6.2. Der Modulraum der Seiberg-Witten-Gleichungen ist

Der Modulraum der perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen ist

Dabei ist $𝜂 \in 𝐻^{2} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ eine feste selbstduale $2$ -Form.

Um zu zeigen, dass ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}$ für fast alle $𝜂$ eine endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, gehen wir in zwei Schritten vor. Zuerst werden wir in einem zweiten Fall, in dem wir nur die Wirkung einer reduzierten Eichgruppe betrachten, feststellen, dass die Menge der Lösungen der perturbierten Gleichungen eine Mannigfaltigkeit bildet, um im zweiten Schritt auf die Dimension von ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}$ schließen zu können.

Definition 4.6.5

Sei $𝑥_{0} \in 𝑀$ ein beliebiger Punkt in $𝑀$ . Die reduzierte Eichgruppe ist
${𝒢︀}_{0} ≔ {𝜎 \in 𝒢︀ | 𝜎 (𝑥_{0}) = 1} \subset 𝒢︀ .$
Den Quotienten bezüglich der Einschränkung der Eichwirkung auf diese Gruppe bezeichnen wir mit
${ℬ︀}_{0} ≔ 𝒜︀ / {𝒢︀}_{0} .$
Wir definieren
${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0} ≔ {(𝑎, 𝜑) \in {ℬ︀}_{0} | (𝑎, 𝜑) erfüllt Gl. (4.6)} \subset {ℬ︀}_{0} .$

Bemerkung 4.6.6 Der Modulraum der perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}$ ergibt sich als Quotient

{ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂} = {ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0} / 𝑆^{1},

wobei $𝑆^{1} \subset {𝒢︀}_{0}$ die Lie-Gruppe der konstanten Eichtransformationen ist.

Um die Wirkung der reduzierten Eichgruppe auf den Konfigurationsraum besser verstehen zu können, werden wir annehmen, dass für jede Eichtransformation eine globale Hebung existiert. Die Existenz einer solchen Hebung wird durch den folgenden Satz beschrieben.

Satz 4.6.7 Sei $𝑝 : 𝐵 \to 𝐴$ eine Überlagerung topologischer Räume, $𝑋$ ein wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer Raum und $𝑓 : 𝑋 \to 𝐴$ eine stetige Abbildung. Dann existiert genau dann eine Hebung $\tilde{𝑓} : 𝑋 \to 𝐵$ (von $𝑓$ ) mit $𝑝 \circ \tilde{𝑓} = 𝑓$ , wenn

𝑓_{*} 𝜋_{1} (𝑋) \subset 𝑝_{*} 𝜋_{1} (𝐵)

gilt.

Beweis: Siehe Proposition 1.33 in [Hat02].

Korollar 4.6.8 Wenn $𝑀$ einfach zusammenhängend ist (d. h. $𝜋_{1} (𝑀) = {𝑒}$ ), existiert für alle Eichtransformationen $𝜎 \in 𝒢︀$ eine Hebung zu einer Abbildung $𝑢 : 𝑀 \to 𝑖 ℝ$ mit $𝜎 = exp \circ 𝑢$ .

Proposition 4.6.9 Sei $𝑀$ einfach zusammenhängend und ${𝒢︀}_{0}$ die reduzierte Eichgruppe zu einem beliebigen Punkt $𝑥_{0} \in 𝑀$ . Dann besitzt die Eichwirkung von ${𝒢︀}_{0}$ einen globalen Schnitt, d. h. die Abbildung

\begin{aligned} 𝜙 : {(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀ | 𝛿 𝑎 = 0} \times {𝒢︀}_{0} & \to 𝒜︀ \\ (𝜑, 𝐴, 𝜎) & \mapsto (𝜑, 𝐴) \cdot 𝜎 \end{aligned}

ist ein Diffeomorphismus. Insbesondere ist ${ℬ︀}_{0} = 𝒜︀ / {𝒢︀}_{0}$ eine glatte Banach-Mannigfaltigkeit, die global diffeomorph ist zu dem Banachraum

{(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀ | 𝛿 𝑎 = 0} \subset 𝒜︀ .

Beweis: Wir zeigen zuerst die Surjektivität. Sei dazu $(𝑎^{'}, 𝜑^{'}) \in 𝒜︀$ ein beliebiges Element in $𝒜︀$ . Wir suchen eine $1$ -Form $𝑎 \in 𝐻^{2} (𝑀, 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ mit $𝛿 𝑎 = 0$ und gemäß Korollar 4.6.8 eine Eichtransformation gegeben durch eine Funktion $𝑢 \in 𝐻^{3} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ , sodass gilt

𝑎 + 𝑑 𝑢 = 𝑎^{'} \Leftrightarrow 𝑎 = 𝑎^{'} - 𝑑 𝑢 .

Wir setzen $𝑎 (𝑢) ≔ 𝑎^{'} - 𝑑 𝑢$ und suchen $𝑢 \in 𝐻^{3} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ , sodass gilt

𝛿 (𝑑 𝑢) = ∆ 𝑢 = 𝛿 𝑎^{'} .

Dies ist genau die Poisson-Gleichung, deren Lösbarkeit wir in Lemma 4.2.7 festgestellt haben. Die Surjektivität folgt daraus, dass wir auf $𝑢$ eine konstante Funktion addieren können, sodass $𝑢 (𝑥_{0}) = 0$ gilt. Um die Injektivität zu zeigen, wählen wir $𝑎, 𝑎^{'} \in 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ mit $𝛿 𝑎 = 𝛿 𝑎^{'} = 0$ und $𝑢, 𝑢^{'} \in 𝐻^{3} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ , sodass gilt

𝑎 + 𝑑 𝑢 = 𝑎^{'} + 𝑑 𝑢^{'} \Rightarrow 𝑎 - 𝑎^{'} = 𝑑 (𝑢^{'} - 𝑢) .

Somit gilt

\begin{aligned} \int_{𝑀} ⟨ 𝑎 - 𝑎^{'}, 𝑎 - 𝑎^{'} ⟩ {dvol}_{𝑔} & = \int_{𝑀} ⟨ 𝑑 (𝑢^{'} - 𝑢), 𝑎 - 𝑎^{'} ⟩ {dvol}_{𝑔} \\ = \int_{𝑀} ⟨ 𝑢 - 𝑢^{'}, 𝛿 (𝑎 - 𝑎^{'}) ⟩ {dvol}_{𝑔} \\ = 0 \end{aligned}

und daher $𝑎 = 𝑎^{'}$ und $𝑑 𝑢 = 𝑑 𝑢^{'}$ , was die Injektivität zeigt. Für das Differential von $𝜙$ gilt

{(𝐷 𝜙)}_{(𝜑, 𝐴, 𝑢)} (\begin{matrix} 𝜑^{'} \\ 𝐴^{'} \\ 𝑢^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} exp (- 𝑢) & 0 & - exp (- 𝑢) 𝜑 \\ 0 & 1 & 2 𝑑 \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝜑^{'} \\ 𝐴^{'} \\ 𝑢^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} exp (- 𝑢) 𝜑^{'} - exp (- 𝑢) 𝜑 𝑢^{'} \\ 𝐴^{'} + 2 𝑑 𝑢^{'} \end{matrix})

Aus diesem Ausdruck und der Bijektivität von $𝜙$ folgt, dass ${(𝐷 𝜙)}_{(𝜑, 𝐴, 𝑢)}$ bijektiv ist. Somit ist $𝜙$ als bijektiver lokaler Diffeomorphismus ein Diffeomorphismus. Um einzusehen, dass ${ℬ︀}_{0}$ ein Hausdorff-Raum ist, betrachten wir zwei Punkte $𝑏_{1}, 𝑏_{2} \in {ℬ︀}_{0}$ und Urbilder unter der Projektionsabbildung $(𝜑_{1}, 𝑎_{1}), (𝜑_{2}, 𝑎_{2}) \in 𝒜︀$ mit $𝛿 𝑎_{1} = 𝛿 𝑎_{2} = 0$ . Da ${(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀ | 𝛿 𝑎 = 0}$ ein Hausdorff-Raum ist, existieren disjunkte offene Umgebungen $𝑈_{1}, 𝑈_{2}$ um $𝑎_{1}$ bzw. $𝑎_{2}$ mit $𝑈_{1} \cap 𝑈_{2} = \emptyset$ . Dann sind $𝜋 (𝑈_{1} \times {𝒢︀}_{0})$ , $𝜋 (𝑈_{2} \times {𝒢︀}_{0}) \subset {ℬ︀}_{0}$ disjunkte, offene Umgebungen um $𝑏_{1}, 𝑏_{2} \in {ℬ︀}_{0}$ mit leerem Schnitt und somit ist ${ℬ︀}_{0}$ ein Hausdorff-Raum. Da $𝜙$ ein Diffeomorphismus ist, ist $𝜋 : 𝒜︀ \to {ℬ︀}_{0}$ eingeschränkt auf ${(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀ | 𝛿 𝑎 = 0}$ ein Homöomorphismus und somit bildet

({ℬ︀}_{0}, 𝜋 |_{{(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀ | 𝛿 𝑎 = 0}}^{- 1})

eine globale Karte für ${ℬ︀}_{0}$ . $□$

4.7. Der Modulraum der Seiberg-Witten-Gleichungen

Sei $(𝑀, 𝑔)$ eine einfach zusammenhängende, kompakte, Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit mit einer ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur und $𝐴_{0} \in Ω^{1} (𝑃_{1}, 𝔤)$ eine beliebige Zusammenhangsform auf dem zur ${Spin}^{ℂ}$ -Struktur gehörigen Determinantenlinienbündel $𝑃_{1}$ .

Wir sind nun in der Lage, die Dimension des Seiberg-Witten-Modulraums mit Hilfe des Satzes vom regulären Wert zu berechnen. Dabei nutzen wir einen auf [Sma65] zurückgehenden Fakt, welcher ursprünglich für Abbildungen im $ℝ^{𝑛}$ [Sar42] formuliert wurde. Die ursprüngliche Aussage für Abbildungen im $ℝ^{𝑛}$ lautet wie folgt.

Theorem 4.7.1 Sei $𝑈$ eine offene Teilmenge von $ℝ^{𝑛}$ und $𝑓 : 𝑈 \to ℝ^{𝑚}$ eine Abbildung, die $𝑘$ -mal differenzierbar ist mit $𝑘 > max (𝑛 - 𝑚, 0)$ . Dann hat die Menge der Punkte $𝑦 \in ℝ^{𝑚}$ , die keine regulären Werte sind, Lebesgue-Maß 0.

Beweis: Siehe [Sar42].

Um das Analogon im Kontext von Abbildungen zwischen Banach-Mannigfaltigkeiten formulieren zu können, benötigen wir den folgenden Begriff, welcher ein Analogon der Mengen mit Lebesgue-Maß 0 ist.

Definition 4.7.2 Sei $𝑋$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $𝑈 \subset 𝑋$ heißt mager (in $𝑋$ ), wenn $𝑈$ eine abzählbare Vereinigung von Mengen ist, die in keiner offenen, nicht-leeren Menge dicht sind. Ein Komplement einer mageren Menge heißt fett. Elemente in einer fetten Menge nennen wir auch generisch.

In gewisser Weise sind Mengen, die mager in einem Raum sind, „klein“, da sie „kleine“ Vereinigungen „kleiner“ Teilmengen sind. Im Kontext von Abbildungen zwischen Banach-Mannigfaltigkeiten kann nun das folgende Analogon zu Theorem 4.7.1 gefunden werden.

Theorem 4.7.3 Seien $𝑋, 𝑌$ glatte Banach-Mannigfaltigkeiten und $𝑓 \in 𝐶^{𝑘} (𝑋, 𝑌)$ eine Fredholm-Abbildung mit $𝑘 > max (ind (𝑓), 0)$ . Dann ist die Menge der Punkte in $𝑌$ , die keine regulären Werte sind, mager. Die Menge der regulären Werte in $𝑌$ ist fett. Wir sagen daher, dass $𝑓^{- 1} (𝑦)$ für fast alle $𝑦 \in 𝑌$ eine glatt eingebettete Untermannigfaltigkeit von $𝑋$ ist.

Beweis: Siehe [Sma65].

Das Differential der Seiberg-Witten-Abbildung ergibt sich wie folgt.

Lemma 4.7.4 Sei $𝜕_{𝐴_{0}}^{+} : 𝐻^{2} (𝑆^{+}) \to 𝐻^{1} (𝑆^{-})$ der zu $𝐴_{0}$ gehörige positive Dirac-Operator, $Ω_{+}^{𝐴_{0}} \in Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ der selbstduale Anteil der lokalen Krümmungsform zu $𝐴_{0}$ sowie $𝜔_{𝜑}$ die $2$ -Form wie in Gl. (4.5). Sei außerdem $𝒜︀ ≔ 𝐻^{2} (𝑆^{-} \oplus (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ))$ . Dann ist das Differential der Seiberg-Witten-Abbildung

\begin{aligned} 𝒮︀𝒲︀ : 𝒜︀ & \to 𝐻^{1} (𝑆^{-} \oplus (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)) \\ (𝜑, 𝑎) & \mapsto (\begin{matrix} 𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑 \\ Ω_{+}^{𝐴_{0}} + 𝑑^{+} 𝑎 - 𝜔_{𝜑} \end{matrix}) \end{aligned}

an einer Stelle $(𝜑, 𝑎) \in 𝒜︀$ gegeben durch

{(𝐷 𝒮︀𝒲︀)}_{(𝜑, 𝑎)} (\begin{matrix} 𝜑^{'} \\ 𝑎^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑 \\ 𝑑^{+} 𝑎^{'} - 𝜔_{𝜑, 𝜑^{'}} \end{matrix}) .

Dabei ist $𝜔_{𝜑, 𝜑^{'}} \in 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ gegeben durch

𝜔_{𝜑, 𝜑^{'}} (𝑋, 𝑌) ≔ ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ - ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + 𝑔 (𝑋, 𝑌) (⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ - ⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩) .

Beweis: Wir betrachten in $𝒜︀$ die Kurve

𝛾 : ℝ ∋ 𝑡 \mapsto (𝜑 + 𝑡 𝜑^{'}, 𝑎 + 𝑡 𝑎^{'}) \in 𝒜︀ .

Es gilt

\begin{aligned} {\frac{d}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} 𝜔_{𝜑 + 𝑡 𝜑^{'}} (𝑋, 𝑌) & = {\frac{d}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot (𝜑 + 𝑡 𝜑^{'}), 𝜑 + 𝑡 𝜑^{'} ⟩ + 𝑔 (𝑋, 𝑌) {| 𝜑 + 𝑡 𝜑^{'} |}^{2} \\ = ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑^{'}, 𝜑 ⟩ + 𝑔 (𝑋, 𝑌) ⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + 𝑔 (𝑋, 𝑌) ⟨ 𝜑^{'}, 𝜑 ⟩ \\ = ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + ⟨ 𝑌 \cdot 𝑋 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + 𝑔 (𝑋, 𝑌) (⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + ⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩) \\ = ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ - ⟨ 𝑋 \cdot 𝑌 \cdot 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ + 𝑔 (𝑋, 𝑌) (⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩ - ⟨ 𝜑, 𝜑^{'} ⟩) \\ ≝ 𝜔^{𝜑, 𝜑^{'}} (𝑋, 𝑌) . \end{aligned}

Somit ergibt sich

{(𝐷 𝒮︀𝒲︀)}_{(𝜑, 𝑎)} (\begin{matrix} 𝜑^{'} \\ 𝑎^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑 \\ 𝑑^{+} 𝑎^{'} - 𝜔_{𝜑, 𝜑^{'}} \end{matrix}) .

$□$

Theorem 4.7.5 Sei

𝐴 \in Ω^{1} (𝑃_{1}, 𝔤)

eine Zusammenhangsform auf

𝑃_{1}

sowie

𝜕_{𝐴}^{\pm} : 𝑆^{\pm} \to 𝑆^{\mp}

der zu

𝐴

gehörige positive bzw. negative Dirac-Operator und

𝜎 \in 𝐻^{𝑘} (𝑆^{\pm})

eine Lösung der Dirac-Gleichung, d. h.

𝜕_{𝐴}^{\pm} 𝜎 = 0

. Dann kann

𝜎

auf einer beliebigen offenen Menge nur verschwinden, wenn

𝜎

identisch null ist. Dies ist bekannt als das Unique Continuation Theorem.

Beweis: Siehe [Aro56].

Schließlich erhalten wir das folgende Theorem.

Theorem 4.7.6 Sei $𝑏_{+} (𝑀) > 0$ und

𝑛 ≔ \frac{𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1}) [𝑀] - 2 𝜒 (𝑀) - 3 𝜎 (𝑀)}{4} .

Dann existiert ein affiner Unterraum von $𝐻^{2} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ der Dimension $𝑏_{+} (𝑀)$ , sodass die Menge der $2$ -Formen $𝜂 \in 𝐻^{2} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ in diesem Unterraum, die die folgende Eigenschaft erfüllen, fett ist.

Im Fall $𝑛 \geq 0$ ist ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension
$dim ({ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}) = 𝑛 + 1$
und ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension
$dim ({ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}) = 𝑛 .$
Im Fall $𝑛 < 0$ gilt ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0} = {ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂} = \emptyset$ .

Beweis: Wir definieren die Abbildung

\begin{aligned} ℱ︀ : {ℬ︀}_{0} \times 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) & \to 𝐻^{1} (𝑆^{-} \oplus (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)) \\ ([(𝜑, 𝑎)], 𝜂) & \mapsto (𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑, Ω_{+}^{𝐴_{0}} + 𝑑^{+} 𝑎 - 𝜔_{𝜑} - 𝜂) . \end{aligned}

Dabei ist $𝑑^{+} ≔ {pr}_{+} \circ 𝑑 : 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) \to 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ definiert wie in Beispiel 4.5.11. Das Differential dieser Abbildung ist gemäß Lemma 4.7.4 gegeben durch

{(𝑑 ℱ︀)}_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} (\begin{matrix} 𝜑^{'} \\ 𝑎^{'} \\ 𝜂^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑 \\ 𝑑^{+} 𝑎^{'} - 𝜔^{𝜑, 𝜑^{'}} - 𝜂^{'} \end{matrix}) .

Wir wollen zuerst zeigen, dass $𝑑 ℱ︀$ an Stellen $([(𝜑, 𝑎)], 𝜂) \in {ℱ︀}^{- 1} ({0})$ mit $𝜑 \neq 0$ surjektiv ist. Da $𝜂^{'}$ beliebig gewählt werden kann, ist die Abbildung in der zweiten Komponente des Bildes surjektiv. Sei nun $𝜎 \in 𝐻^{1} (𝑆^{-})$ orthogonal zur ersten Komponente des Bildes. Da der positive Dirac-Operator formal adjungiert zum negativen Dirac-Operator ist, ist $𝜎$ Lösung der Gleichung $𝜕_{𝐴_{0}}^{-} 𝜎 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜎 = 0$ . Genauso ist $𝜑$ eine Lösung der Gleichung $𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑 = 0$ und nach Voraussetzung ungleich null. Wir nehmen nun an, dass $𝜎 \neq 0$ gilt. Sei $𝑥_{0} \in 𝑀$ ein beliebiger Punkt in $𝑀$ und $𝑈 \subset 𝑀$ eine offene Umgebung um $𝑥_{0}$ . Gemäß dem Unique Continuation Theorem verschwinden sowohl $𝜑$ als auch $𝜎$ nicht auf $𝑈$ . Außerdem ist $𝑎 \mapsto 𝑎 \cdot 𝜑$ punktweise injektiv (da $𝑎 \cdot 𝑎 \cdot 𝜑 = - {| 𝑎 |}^{2} 𝜑$ gilt) und somit auch surjektiv, da die Vektorbündel $Λ^{1} 𝑇^{*} 𝑀, 𝑆^{-}$ denselben Rang (über $ℝ$ ) haben. Es existiert demnach ein $𝑎 \in {(𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)}_{𝑥_{0}}$ , sodass

Re (⟨ 𝑎 \cdot 𝜑 (𝑥_{0}), 𝜎 (𝑥_{0}) ⟩) > 0

gilt. Wir setzen $𝑎$ glatt zu einer $1$ -Form auf $𝑀$ mit

Re (⟨ 𝑎 \cdot 𝜑 (𝑥), 𝜎 (𝑥) ⟩) > 0 für alle 𝑥 \in 𝑈

und $𝑎 (𝑥) = 0$ für alle $𝑥 \in 𝑀 \ 𝑈$ fort. Dann gilt

\int_{𝑀} Re (⟨ 𝑎 \cdot 𝜑, 𝜎 ⟩) {dvol}_{𝑔} > 0

und somit ist $𝜎$ nicht orthogonal zur ersten Komponente des Bildes von ${(𝑑 ℱ︀)}_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}$ , was ein Widerspruch ist und die Surjektivität von $𝑑 ℱ︀$ zeigt. Gemäß dem Satz vom regulären Wert ist daher

𝒩︀ ≔ {[(𝜑, 𝑎)] \in {ℬ︀}_{0}, 𝜂 \in 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) | (𝜑, 𝑎, 𝜂) erfüllen Gl. (4.6), 𝜑 \neq 0}

eine glatt eingebettete Untermannigfaltigkeit von ${ℬ︀}_{0} \times 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ . Der Tangentialraum an einen Punkt $([(𝜑, 𝑎)], 𝜂) \in 𝒩︀$ ist

𝑇_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} 𝒩︀ = {(𝜑^{'}, 𝑎^{'}, 𝜂^{'}) \in 𝒜︀ \times 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) | 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} (𝜑^{'}, 𝑎^{'}) = (0, 𝜂^{'}, 0)}

wobei die Abbildung $𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}$ gegeben ist durch

\begin{aligned} 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} : 𝐻^{2} (𝑆^{+} \oplus (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)) & \to 𝐻^{1} (𝑆^{-} \oplus (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)) \oplus {\tilde{𝐻}}^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ) \\ (𝜑^{'}, 𝑎^{'}) & \mapsto (𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑^{'} + \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑, 𝑑^{+} 𝑎^{'} - 𝜔^{𝜑, 𝜑^{'}}, 𝛿 𝑎^{'}) . \end{aligned}

Dabei ist ${\tilde{𝐻}}^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ der Hilbertraum der $𝑖 ℝ$ -wertigen Funktionen auf $𝑀$ , die zu Null integrieren. Da der positive Dirac-Operator gemäß Proposition 4.5.17 bzw. der Operator $𝑑^{+} \oplus 𝛿$ gemäß Beispiel 4.5.11 jeweils ein elliptischer Operator der Ordnung eins ist und die ergänzenden Terme von Ordnung null sind, ist $𝐿_{[(𝜑, 𝑎)], 𝜂}$ gemäß Bemerkung 4.1.6 ein elliptischer Operator und somit ist die Fortsetzung auf den jeweiligen Sobolev-Räumen gemäß Lemma 4.5.6 ein Fredholm-Operator. Wir definieren anschließend die Projektion

𝜋 : 𝒩︀ ∋ ([(𝜑, 𝑎)], 𝜂) \mapsto 𝜂 \in 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) .

Das Differential von $𝜋 : 𝒩︀ \to 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ ist gegeben durch

\begin{aligned} 𝑑 𝜋_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} : 𝑇_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} 𝒩︀ & \to 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) \\ (𝜑^{'}, 𝑎^{'}, 𝜂^{'}) & \mapsto 𝜂^{'} . \end{aligned}

Wir wollen zeigen, dass $𝜋$ eine Fredholm-Abbildung ist. Der Kern von $𝑑 𝜋$ ist offenbar gleich dem Kern von $𝐿$ und für das Bild von $𝑑 𝜋$ gilt

im (𝑑 𝜋_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}) = {𝜂^{'} \in 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) | \exists (𝜑^{'}, 𝑎^{'}) \in 𝒜︀ : 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} (𝜑^{'}, 𝑎^{'}) = (0, 𝜂^{'}, 0)} .

In einem Versuch, nicht verrückt zu werden, kürzen wir wie folgt ab:

𝐵 ≔ {0} \oplus 𝐻^{1} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) \oplus {0}

Dann gilt

\begin{aligned} codim im (𝑑 𝜋_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}) & = dim ({(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)} \cap 𝐵)}^{⟂} \cap 𝐵) \\ = dim (({(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂} + 𝐵^{⟂}) \cap 𝐵) . \end{aligned}

Falls wir nun zeigen können, dass

{(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂} \cap 𝐵^{⟂} = {0}

gilt, ist die Summe in Gl. (4.8) eine direkte Summe. In diesem Fall folgt aus der endlichen Kodimension von dem Bild von $𝐿$ und der Abgeschlossenheit von $𝐵^{⟂}$

{(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂} \oplus 𝐵^{⟂} = {(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂} \oplus 𝐵^{⟂} .

Somit gilt

\begin{aligned} codim im (𝑑 𝜋_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}) & = dim (({(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂} \oplus 𝐵^{⟂}) \cap 𝐵) \\ = dim ({pr}_{𝐵} ({(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂})) \\ = dim ({(im 𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)})}^{⟂}) . \end{aligned}

Dabei ist ${pr}_{𝐵} : 𝐵 \oplus 𝐵^{⟂} \to 𝐵$ die Projektion auf $𝐵$ in $𝐵 \oplus 𝐵^{⟂}$ . Um Gl. (4.9) zu beweisen, gehen wir wie folgt vor. Sei $(𝜎, 0, 𝑢) \in (𝐻^{1} (𝑆^{-}) \times {0} \times {\tilde{𝐻}}^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)))$ orthogonal zum Bild von $𝐿_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}$ . Dann gilt $𝜕_{𝐴_{0}}^{-} 𝜎 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜎 = 0$ und

⟨ \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑, 𝜎 ⟩ = - ⟨ 𝛿 𝑎^{'}, 𝑢 ⟩

für alle $𝑎^{'} \in 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ . Bezüglich einer festen 1-Form $𝑎^{'} \in 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ definieren wir eine $1$ -Form $𝑏 \in 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ durch

⟨ 𝑏, 𝑎^{'} ⟩ = ⟨ \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑, 𝜎 ⟩ .

Da $𝜕_{𝐴_{0}}^{+} 𝜑 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜑 = 0$ und $𝜕_{𝐴_{0}}^{-} 𝜎 + \frac{1}{2} 𝑎 \cdot 𝜎 = 0$ gilt, folgt aus Gl. (4.5) aus Beweis zu Proposition 3.4.19, dass $𝛿 𝑏 = 0$ für alle $𝑎^{'}$ gilt. Somit gilt auch für $𝑎^{'} = 𝑏$

⟨ 𝑏, 𝑏 ⟩ = ⟨ \frac{1}{2} 𝑏 \cdot 𝜑, 𝜎 ⟩ = - ⟨ 𝛿 𝑏, 𝑢 ⟩ = 0 \Rightarrow 𝑏 = 0 \Rightarrow ⟨ \frac{1}{2} 𝑎^{'} \cdot 𝜑, 𝜎 ⟩ = 0 .

Da dies für alle $𝑎^{'} \in 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ gilt und $𝜑$ ungleich null ist, folgt erneut aus dem Unique Continuation Theorem $𝜎 = 0$ . Mittels Gl. (4.10) und der Surjektivität von $𝛿 : 𝐻^{2} (𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ) \to {\tilde{𝐻}}^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ folgt auch $𝑢 = 0$ , was Gl. (4.9) zeigt. Somit haben wir gezeigt, dass

codim im (𝑑 𝜋_{([(𝜑, 𝑎)], 𝜂)}) = codim (im 𝐿_{[(𝜑, 𝑎)], 𝜂})

gilt und $𝜋$ eine Fredholm-Abbildung mit $ind (𝜋) = ind (𝐿)$ ist. Gemäß Theorem 4.7.3 können wir $𝜂 \in 𝐻^{2} (Λ_{+}^{2} 𝑇^{*} 𝑀 \otimes 𝑖 ℝ)$ generisch wählen, sodass $𝜋^{- 1} (𝜂)$ gemäß Proposition 4.5.3 eine endlich-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $𝒩︀$ ist. Die Dimension von $𝜋^{- 1} (𝜂)$ ist dann

dim (𝜋^{- 1} (𝜂)) = {ind}_{ℝ} (𝜋) = {ind}_{ℝ} (𝐿) = {ind}_{ℝ} (𝜕_{𝐴}^{+} \oplus 𝑑^{+} \oplus 𝛿) + 1 .

Bzw. $𝜋^{- 1} (𝜂)$ ist leer, wenn die erwartete Dimension negativ ist. Dabei haben wir gemäß Lemma 4.5.6 Terme kleinerer Ordnung als das Hauptsymbol vernachlässigt. Wir müssen außerdem den Index von $𝐿$ um eins erhöhen, da das Bild von $𝐿$ im Gegensatz zu Korollar 4.5.12 nur aus den Funktionen ${\tilde{𝐻}}^{1} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ besteht, die zu null integrieren. Da $𝑏_{+} (𝑀) > 0$ gilt, können wir $𝜂 \in Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ gemäß Korollar 4.5.13 in einem Unterraum von $Ω_{+}^{2} (𝑀, 𝑖 ℝ)$ der Dimension $𝑏_{+} (𝑀)$ wählen, sodass keine Lösungen von Gl. (4.6) mit $𝜑 = 0$ existieren. Somit ist ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension

\begin{aligned} dim ({ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}) & = dim (𝜋^{- 1} (𝜂)) + 1 \\ = \frac{1}{4} (𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1}) - 𝜎 (𝑀)) - 𝑏_{0} (𝑀) + 𝑏_{1} (𝑀) - 𝑏_{+} (𝑀) + 1 \\ = \frac{𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1}) [𝑀] - 2 𝜒 (𝑀) - 3 𝜎 (𝑀)}{4} + 1 . \end{aligned}

Bzw. ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}$ ist leer, wenn die erwartete Dimension negativ ist. Dabei haben wir in der letzten Zeile Korollar 4.2.5 verwendet. Im Fall $𝑏_{+} (𝑀) > 0$ ist die Wirkung der konstanten Eichtransformationen auf ${ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}$ frei und eigentlich (da die Gruppe der konstanten Eichtransformationen kompakt ist) und somit bildet in diesem Fall der Modulraum der perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen eine Mannigfaltigkeit der Dimension

dim ({ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}) = dim ({ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂, 0}) - 1

$□$

5. Fazit

Nachdem wir in dieser Arbeit eine Einführung in Begriffe der mathematischen Eichtheorie und Spinorgeometrie gegeben hatten, formulierten wir darauf aufbauend die Seiberg-Witten-Gleichungen für eine Riemannsche $4$ -Mannigfaltigkeit. Wir zeigten, dass der Seiberg-Witten-Modulraum einer kompakten, einfach zusammenhängenden, Riemannschen $4$ -Mannigfaltigkeit $𝑀$ mit $𝑏_{+} (𝑀) > 0$ eine kanonische Struktur als endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit trägt. Wir berechneten die Dimension dieser Mannigfaltigkeit, welche sich gemäß einer verallgemeinerten Version des Satzes vom regulären Wert für Banach-Mannigfaltigkeiten aus dem Fredholm-Index des positiven Dirac-Operators und der Euler-Charakteristik eines elliptischen Komplexes ergab. Für die Berechnung des Fredholm-Index des Dirac-Operators nutzten wir einen Spezialfall des Atiyah-Singer-Indexsatzes und wir erhielten insgesamt

dim ({ℳ︀}_{𝑃_{1}, 𝜂}) = \frac{𝑐_{1}^{2} (𝑃_{1}) [𝑀] - 2 𝜒 (𝑀) - 3 𝜎 (𝑀)}{4} .

Ein nächster Schritt im Hinblick auf die Konstruktion der in der Einleitung erwähnten Seiberg-Witten-Invariante besteht darin, die Kompaktheit und Orientierbarkeit des Modulraums zu zeigen. Dabei muss der Modulraum nicht kompaktifiziert werden, was die Seiberg-Witten-Theorie im Vergleich zu anderen Theorien, wie z. B. der in der Einleitung erwähnten Donaldson-Theorie, zu einer analytisch einfacher behandelbaren Theorie macht. Darüber hinaus eröffnet die verwendete Methode einen Zugang zum Atiyah-Singer-Indexsatz, dessen Verständnis durch eine Auseinandersetzung mit der Sprache der K-Theorie, beispielsweise mit Hilfe von [Ati18] oder [Sri96], weiter vertieft werden kann. Für den Indexsatz existiert außerdem eine Verallgemeinerung auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Rand, siehe [APS75]. Ein Analogon dieses Satzes für den Dirac-Operator einer kompakten, global hyperbolischen Lorentzmannigfaltigkeit, deren Rand aus raumartigen Cauchy-Flächen besteht, wurde in [BS19] gefunden. Dieses Resultat überträgt die Theorie der Indexsätze auf Lorentzmannigfaltigkeiten und damit auf geometrische Strukturen, wie sie in der relativistischen Physik zur Modellierung von Raumzeiten auftreten.

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Selbstständigkeitserklärung

Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und noch nicht für andere Prüfungen eingereicht habe. Sämtliche Quellen einschließlich Internetquellen, die unverändert oder abgewandelt wiedergegeben werden, insbesondere Quellen für Texte, Grafiken, Tabellen, Bilder sowie die Nutzung von generativer Künstlicher Intelligenz für die Erstellung von Texten und Abbildungen, sind als solche kenntlich gemacht. Mir ist bekannt, dass bei Verstößen gegen diese Grundsätze ein Verfahren wegen Täuschungsversuchs bzw. Täuschung eingeleitet wird.

1. Einleitung

2. Eichtheorie

2.1. Lie-Gruppen und Lie-Algebren

2.2. Hauptfaserbündel

2.3. Assoziierte Faser-, Vektor- und Hauptfaserbündel

2.4. Zusammenhänge und Krümmung in Hauptfaserbündeln

2.5. Kontravariante Darstellungen und die lokale Krümmungsform

2.6. Induzierte Zusammenhänge auf assoziierten Vektorbündeln

2.7. Chern- und Pontrjagin Klassen

3. Spin-Geometrie mit semi-Riemannscher Signatur

3.1. Motivation

3.2. Clifford-Algebren

3.3. Darstellungen der Pin- und Spin-Gruppe

3.4. Spin-Strukturen und der Dirac-Operator

3.5. Der Fall 𝐒𝐩𝐢𝐧ℂ(𝑟,𝑠)

4. Der Index der Seiberg-Witten-Abbildung

4.1. Lineare Differentialoperatoren und das Hauptsymbol

4.2. Elliptische Komplexe und Selbstdualität

4.3. Die Seiberg-Witten-Gleichungen

4.4. Banach-Mannigfaltigkeiten und der Satz vom regulären Wert

4.5. Fredholm-Abbildungen und der Indexsatz

4.6. Das Definitionsgebiet der Seiberg-Witten-Abbildung

4.7. Der Modulraum der Seiberg-Witten-Gleichungen

5. Fazit

Bibliografie

Selbstständigkeitserklärung

3.5. Der Fall ${𝐒𝐩𝐢𝐧}^{ℂ} (𝑟, 𝑠)$