Einleitung

Hier kommt irgendwas cringes hin.

1. Eichtheorie

Ziel dieses Kapitels ist es die nötigen Begriffe der mathematischen Eichtheorie einzuführen, damit in Kapitel 3 die Seiberg-Witten-Gleichungen formuliert werden können. Wir betrachten die fundamentalen Konzepte eines Hauptfaserbündels, Zusammenhängen in diesen sowie dazu assoziierten Vektorbündeln. Vorausgesetzt werden die Begriffe Mannigfaltigkeit, Faserbündel, Vektorbündel sowie das Wedge-Produkt zwischen Differentialform mit Werten in einem Vektorraum, die in Literatur zur Differentialgeometrie, z.B. [Lee12], nachgelesen werden können. Wenn nicht anders gekennzeichnet, folgen die Definitionen denen aus [Bau14].

Faserbündel notieren wir als 4-Tupel , wobei die Projektion ist und der Fasertyp. Wenn der Kontext klar ist, kürzen wir mit ab.

1.1. Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Wir möchten nun die Konzepte der Lie-Gruppen einführen. Dies sind die lokalen Symmetrien innerhalb einer Eichtheorie.

Definition1.1.1 Eine Lie-Gruppe ist eine Mannigfaltigkeit , die gleichzeitig eine Gruppe ist, mit der Eigenschaft, dass die Multiplikation und die Abbildung auf das Inverse glatt sind.

Eine Vielzahl von Gruppen sind Lie-Gruppen. Die folgenden Beispiele bilden ein Auswahl an wichtigen Beispielen.

Beispiel1.1.2

1. Jeder endlich-dimensionale reelle oder komplexe Vektorraum mit der Addition von Vektoren als Gruppenoperation bildet eine Lie-Gruppe, da die Abbildung auf das Inverse und die Addition linear bzw. bilinear und somit glatt sind.

2. Die Gruppen und mit den kanonischen Strukturen als Untermannigfaltigkeiten von bzw. sind Lie-Gruppen, da die Multiplikation und die Abbildung auf das Inverse in jedem Eintrag polynomiell und somit glatt ist.

3. Aus dem nächsten Lemma folgt, dass die Sphäre zusammen mit der komplexen Multiplikation als abgeschlossene Untergruppe der Lie-Gruppe eine Lie-Gruppe bildet.

Lie-Gruppen können auf verschiedene Arten konstruiert werden. Insbesondere werden wir mit dem folgenden Lemma in Kapitel 2 die sogenannten Spin- und -Gruppen konstruieren, um schließlich in Kapitel 3 die Seiberg-Witten-Gleichungen formulieren zu können.

Lemma1.1.3

1. Jede abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe ist selbst wieder eine Lie-Gruppe. Beispiele dieser Art sind: als Untergruppen von bzw. , als Untergruppe von und wie im vorherigen Beispiel. Ein ausführlicher Beweis findet sich zum Beispiel in [Bau14], Satz 1.21.

2. Sind Lie-Gruppen, so ist ihr Produkt als Produktmannigfaltigkeit zusammen mit der komponentenweisen Multiplikation wieder eine Lie-Gruppe.

3. Wenn eine Lie-Gruppe ist und eine abgeschlossene Untergruppe des Zentrums von ist (d.h. alle Elemente in kommutieren mit allen Elementen in ), dann besitzt die Menge aller Linksnebenklassen

   eine eindeutige Struktur als Lie-Gruppe, sodass die Projektionsabbildung ein Gruppenhomomorphismus und eine glatte Submersion wird.

Definition1.1.4 Seien Lie-Gruppen. Ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist ein Gruppenhomomorphismus , welcher gleichzeitig eine glatte Abbildung ist. Wenn zusätzlich ein Diffeomorphismus ist, heißen und isomorph.

Die Lie-Gruppen und aus den obigen Beispielen sind isomorph. In der mathematischen Literatur wird meist die Schreibweise bevorzugt, was sich zum Beispiel darin begründet, dass ein Element auf natürliche Weise als Endomorphismus eines komplexen Vektorraums (per Multiplikation) betrachtet werden kann. In der physikalischen Literatur wird andererseits meist die Schreibweise bevorzugt, was sich durch die Einreihung der Elektrodynamik in weitere Theorien wie zum Beispiel die starke und schwache Wechselwirkung begründet, welche die Lie-Gruppen bzw. benutzen.

Über Lie-Gruppen-Homomorphismen lässt sich außerdem das folgende bemerkenswerte Lemma treffen, welches besagt, dass die Stetigkeit eines Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen schon ausreicht, damit dieser differenzierbar ist (sogar glatt). Wir werden diesen Fakt zum Beispiel in Kapitel 2 benutzen, um zu zeigen, dass eine dort definierte Darstellung tatsächlich glatt ist.

Lemma1.1.5 Wenn Lie-Gruppen sind und ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, dann ist schon glatt, also ein Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Für den Beweis siehe zum Beispiel Satz 1.9. in [Bau14]. Wie führen nun die Lie-Algebra zu ein. Diese werden wir beispielsweise benötigen, um den Begriff einer Zusammenhangsform einzuführen, welcher eine Differentialform mit Werten in der Lie-Algebra sein wird. Zuerst brauchen wir dafür die folgenden Abbildungen.

Definition1.1.6 Sei eine Lie-Gruppe. Die Gruppenmultiplikation induziert für die Abbildungen

Die Inversen zu bzw. sind bzw. . Aus der Definition einer Lie-Gruppe folgt insbesondere, dass diese Abbildungen Diffeomorphismen sind. Ist außerdem abelsch, so gilt .

Definition1.1.7 Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist die endlichdimensionale reelle Algebra der linksinvarianten Vektorfelder auf zusammen mit der Vektorfeldklammer , welche auch Lie-Klammer genannt wird:

Bemerkung1.1.8 Es ist nützlich mit dem Tangentialraum an der Identität zu identifizieren:

Diese Abbildung ist bijektiv. Das Inverse ist das linksinvariant-verschobende Vektorfeld zu :

Die Menge besitzt jedoch keine natürliche Algebrastruktur, weshalb der kanonische zugrundeliegende Vektorraum der Lie-Algebra die linksinvarianten Vektorfelder sind.

Wir benötigen außerdem die wie folgt definierte (adjungierte) Darstellung einer Lie-Gruppe auf ihrer Lie-Algebra. Diese werden wir zum Beispiel zur Charakterisierung des Transformationsverhaltens von sogenannten Zusammenhangsformen unter Eichtransformationen im späteren Verlauf dieses Kapitels verwenden, um damit den sogenannten Seiberg-Witten Modulraum in Kapitel 3 besser verstehen zu können.

Definition1.1.9 Sei eine Lie-Gruppe und ihre Lie-Algebra. Für bezeichnen wir mit

1. die Konjugation mit a und mit

2. die adjungierte Darstellung von .

Insbesondere weil wir uns in Kapitel 3 mit einer abelschen Eichtheorie beschäftigen, sind die Vereinfachungen relevant, die in diesem Fall auftreten.

Bemerkung1.1.10 Wenn abelsch ist, dann

• ist die Lie-Klammer auf trivial und

• für alle gilt: und damit auch .

Jeder Lie-Gruppe kann außerdem eine sogenannte Lie-Gruppen Exponentialabbildung zugeordnet werden. Um diese Abbildung definieren zu können, benötigen wir das folgende Lemma, welches z.B. in [Bau14] bewiesen wird.

Lemma1.1.11 Sei eine Lie-Gruppe und ihre Lie-Algebra. Die maximale Integralkurve zu durch ist auf ganz definiert.

Definition1.1.12 Die Lie-Gruppen Exponentialabbildung ist definiert als Auswertung zum Zeitpunkt der maximalen Integralkurve vom linksinvarianten Vektorfeld durch :

Sofern der Kontext klar ist, nennen wir diese Abbildung auch nur Exponentialabbildung.

Die Lie-Gruppen Exponentialabbildung unterscheidet sich jedoch von der zu einer Metrik gehörenden geodätischen Exponentialabbildung. Für manche Lie-Gruppen existieren jedoch Metriken, sogenannte biinvariante Metriken, mit der Eigenschaft, dass die Lie-Gruppen Exponentialabbildung mit der zu dieser Metrik gehörenden geodätischen Exponentialabbildung koinzidiert (siehe [Lee19]).

Wir können nun ein weiteres Resultat über Lie-Gruppen-Homomorphismen bemerken, welches wir zum Beispiel in Kapitel 2, Lemma 2.3.12 nutzen werden, um zu zeigen, dass eine gewisse Darstellung ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Lemma1.1.13 Wenn Lie-Gruppen sind, ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist und die Lie-Algebra von ist, dann gilt für alle

In Kapitel 3 werden wir die Lösungsmenge der sogenannten Seiberg-Witten-Gleichungen betrachten und betrachten dabei insbesondere das Transformationsverhalten eines Zusammenhangs, welches sich durch die wie folgt definierte Maurer-Cartan-Form darstellen lässt.

Definition1.1.14 Sei eine Lie-Gruppe und ihre Lie-Algebra. Die Maurer-Cartan-Form von ist die Abbildung

welche einem Tangentialvektor an dessen linksinvariante Fortsetzung zuordnet.

Bemerkung1.1.15 Die Maurer-Cartan-Form ist nach Definition linksinvariant, d.h.

Wenn abelsch ist, ist auch rechtsinvariant, da in diesem Fall gilt.

Im Fall einer Matrix-Lie-Gruppe (eine Lie-Gruppe, die Untergruppe von ist) vereinfachen sich die zuvor eingeführten Strukturen wie folgt.

Bemerkung1.1.16 Sei . Die Lie-Algebra von kann als Untervektorraum von aufgefasst werden und die Algebrastruktur von ist genau durch den Kommutator zwischen Matrizen gegeben:

Außerdem stimmt die Exponentialabbildung in diesem Fall mit dem üblichen Matrixeponential überein:

Ein Beweis findet sich zum Beispiel in [Bau14].

Im Sinne der vorherigen Bemerkung wird die Algebrastruktur der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe in der Physik häufig auch als Kommutationsrelationen bezeichnet. Auch wird eine Basis der Lie-Algebra oft informell als eine Menge von Generatoren der Lie-Gruppe bezeichnet und die Bilder der Generatoren (und Linearkombinationen dieser) unter der Lie-Gruppen Exponentialabbildung als von den Generatoren erzeugt.

Ein besonderes Beispiel für die Physik ist die sogenannte Lorentzgruppe, d.h. die spezielle Invarianzgruppe der Standard-Bilinearform mit Signatur auf . Beispielsweise sind die verschiedenen Darstellungen dieser Gruppe in der Quantenfeldtheorie von Interesse.

Beispiel1.1.17 Sei die Lorentz-Gruppe und ihre Lie-Algebra. Vermöge der Identifikation von mit einem Untervektorraum von ist eine Menge von Generatoren gegeben durch

Die Generatoren erfüllen außerdem für die Kommutationsrelationen

Dabei ist die eindeutige antisymmetrische Abbildung mit bzw. . Unter der Exponentialabbildung erzeugen die Generatoren räumliche Drehungen und die Generatoren sog. boosts in die unterschiedlichen Raumrichtungen.

1.2. Hauptfaserbündel

Sei im Folgenden immer eine Lie-Gruppe und eine Mannigfaltigkeit.

Wir möchten nun das Konzept eines Hauptfaserbündels einführen.

Kommen wir nun zu dem angekündigten Begriff eines Hauptfaserbündels. Dazu benötigen wir den Begriff einer (glatten) Rechts- bzw. Linkswirkung von einer Lie-Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit, welcher bei Bedarf im Kapitel 4, unter Definition 5.2.5 erklärt wird. Zunächst führen wir den Begriff einer einfach-transitiven Rechts- bzw. Linkswirkung ein.

Definition1.2.1 Sei eine Mannigfaltigkeit. Eine glatte Rechts- bzw. Linkswirkung von auf heißt einfach transitiv, wenn für alle genau ein existiert, sodass .

Definition1.2.2 Ein -Hauptfaserbündel (-HFB) ist ein Faserbündel , dessen Fasertyp eine Lie-Gruppe ist, sodass eine glatte Rechtswirkung von auf gegeben ist, die fasertreu und einfach transitiv in jeder Faser operiert.

wird auch Strukturgruppe des -HFB genannt. Wir notieren die Rechtswirkung von auf mit einem Punkt

Wie für Lie-Gruppen lassen sich für Hauptfaserbündel auch einige wichtige Beispiele aufführen.

HFB Konstruktionslemma

Wir beschränken uns dabei auf die für die Definition einer Spin-Struktur in Kapitel 2 benötigten Beispiele, um damit in Kapitel 3 die Seiberg-Witten-Gleichungen definieren zu können. Weitere Beispiele zu Hauptfaserbündeln finden sich im Kapitel 4.

Beispiel1.2.3

1. Sei die Projektion auf die erste Komponente in . Das triviale -HFB ist das triviale Faserbündel zusammen mit der Rechtswirkung:

   Ein -äquivarianter Bündelatlas ist gegeben durch die Identität auf .

2. Das Basenbündel von ist das -HFB, dessen Faser über aus der Menge der Basen von besteht:

   Die Projektionsabbildung ist . Eine Matrix operiert auf durch:

   Eine Karte von induziert eine Bündelkarte von . Auf wählen wir die Topologie so, dass alle auf diese Art definierten Bündelkarten stetig sind. Es kann gezeigt werden, dass mit der obigen Operation eine eindeutige Struktur als -HFB zulässt. Proof needed

3. Wenn eine Metrik auf gegeben ist, kann das Orthonormalbasenbündel

   definiert werden. Eine -Orthonormalbasis über ist dabei eine Basis , sodass gilt und die Metrik negativ definit auf dem Spann der ersten Vektoren ist. Die Strukturgruppe dieses Bündels ist die Orthonormale-Gruppe mit der Signatur der Metrik .

4. Wenn eine Metrik auf gegeben ist, orientierbar ist und eine Orientierung gegeben ist, kann das spezielle Orthonormalbasenbündel definiert werden:

Wenn zum Beispiel in der Situation des vierten Beispiels die Metrik auf die Signatur trägt, entspricht die physikalische Interpretation der -Wirkung auf den Fasern der Transformation zwischen Bezugssystemen mittels Lorentztransformationen.

Motivation Vektorbündel

Definition1.2.4 Zwei Faser-/Vektor-/-HFB und heißen isomorph

1. Als Faserbündel, wenn ein fasertreuer Diffeomorphismus existiert, d.h. das folgende Diagramm kommutiert.

2. Als Vektorbündel, wenn ein Faserbündel-Isomorphismus existiert, welcher zusätzlich auf den Fasern linear ist.

3. Als -HFB, wenn ein Faserbündel-Isomorphismus existiert, welcher zusätzlich -äquivariant ist, d.h. für alle gilt

Verschiedenes zum Isomorphie-Begriff von Faser-, Vektor- und Hauptfaserbündeln kann im Appendix nachgelesen werden. Beispielsweise existieren -HFB, die als Faserbündel isomorph sind, aber nicht als -HFB. Ferner ist ein -HFB genau dann trivialisierbar, wenn es einen globalen Schnitt zulässt, und jedes Vektorbündel und jedes -HFB über einer zusammenziehbaren Mannigfaltigkeit ist trivial.

In Kapitel 2 werden wir die sogenannte Clifford-Multiplikation einführen. Diese konstituiert einen sogenannten Vektorbündelhomormophismus.

Definition1.2.5 Seien zwei Vektorbündel über . Eine glatte Abbildung heißt Vektorbündelhomomorphismus, wenn fasertreu und auf jeder Faser linear ist.

Insbesondere ist ein Vektorbündel-Isomorphismus ein Beispiel eines Vektorbündelhomomorphismus. Die folgende Definition wird zur Definition einer Spin-Struktur in Kapitel 2 benötigt.

Definition1.2.6 Sei ein -HFB über , eine weitere Lie-Gruppe sowie ein Lie-Gruppen-Homomorphismus. Eine -Reduktion von ist ein Tupel , sodass

1. ein -Hauptfaserbündel über ist und

2. eine fasertreue, -äquivariante Abbildung ist, d.h. es gilt:

Wir sagen auch, dass die Strukturgruppe des -Hauptfaserbündels entlang von auf reduziert wird.

Insbesondere ist ein Isomorphismus zwischen -Hauptfaserbündeln eine Reduktion entlang der Identität . Die Definition einer Spin-Struktur wird in eine Folge von Reduktionen der Strukturgruppe des Tangentialbündels fallen, die sich wie folgt ergeben.

Beispiel1.2.7 Sei .

1. Wenn eine semi-Riemannsche Metrik der Signatur auf ist und das Orthonormalbasenbündel zu ist, dann definiert die Inklusion

   eine Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels von auf .

2. Ist andersherum eine Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels von auf , so definieren wir die Basen in , die im Bild von

   liegen, als Orthonormalbasen. Dies liefert eine wohldefinierte Bündelmetrik, da zwei verschiedene Orthonormalbasen über eine orthonormale Transformation verbunden sind, was aus

   folgt.

In diesem Sinne ist die Wahl einer semi-Riemannschen Metrik auf äquivalent zur Wahl einer Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels von auf .

1.3. Zusammenhänge in Hauptfaserbündeln

Sei stets eine Mannigfaltigkeit, eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel über .

Definition1.3.1

1. An jedem Punkt definieren wir den vertikalen Tangentialraum als den Teilraum des Tangentialraums an , welcher tangential an die Faser ist, d.h.

   Solche nennen wir vertikal.

2. Die Rechtswirkung von auf induziert für alle einen Isomorphismus :

   Wir nennen das vertikale Vektorfeld zu .

3. Die Wahl eines weiteren Unterraums , der den vertikalen Tangentialraum zu ergänzt, d.h.

   nennen wir einen horizontalen Tangentialraum an .

4. Ein Zusammenhang auf ist eine glatt-variierende Wahl von solchen horizontalen Tangentialräumen auf ganz , die -invariant ist, d.h.

   Glatt-variierend bedeutet dabei lokal durch eine Familie von (glatten) Vektorfeldern aufgespannt. Untervektorbündel vom Tangentialbündel bezeichnen wir als (reguläre) Distributionen. Wir sagen demnach auch, dass ein Zusammenhang eine horizontale Distribution ist.

Es ist nützlich eine solche Wahl von horizontalen Tangentialräumen mit einer gewissen Lie-Algebra-wertigen 1-Form zu identifizieren. Aus dieser 1-Form kann anschließend die Krümmungsform abgeleitet werden, welche in den Seiberg-Witten-Gleichungen auftreten wird.

Definition1.3.2 Eine Zusammenhangs 1-Form oder auch nur Zusammenhangsform auf ist eine Element , sodass gilt

1. für alle und

2. für alle vertikalen Vektorfelder wie in Definition 1.3.1.

Wir bezeichnen die Menge der Zusammenhangsformen auf mit .

Bemerkung1.3.3 Die Angabe eines Zusammenhangs auf ist äquivalent zur Angabe einer Zusammenhangsform im folgenden Sinne.

1. Wenn eine Zusammenhangsform auf ist, dann definieren wir einen Zusammenhang auf durch

2. Wenn ein Zusammenhang auf ist, definieren wir eine Zusammenhangsform durch

   Dabei ist der Isomorphismus aus Definition 1.3.1.

Wir zeigen nun, dass auf jedem -HFB eine Zusammenhangsform existiert. Insbesondere ist dies für die Seiberg-Witten-Gleichungen relevant, da diese bezüglich eines Zusammenhangs definiert werden. Naja…?

Beispiel1.3.4 Wenn das triviale HFB über ist, d.h. , dann ist der triviale Zusammenhang auf und die triviale Zusammenhangsform auf gegeben durch

Dabei ist die Maurer-Cartan-Form aus Definition 1.1.14. Dies definiert einen wohldefinierten Zusammenhang.

Beweis: Proof needed

Proposition1.3.5 Die Menge der Zusammenhangsformen auf ist nicht leer: .

Beweis: Sei eine lokale endliche Trivilisierung von . Über jedem kann bezüglich der triviale Zusammenhang aus Beispiel 1.3.4 gewählt werden. Bezeichne diesen mit und wähle eine Teilung der Eins bezüglich . Definiere dann:

Betrachte nun:

Daraus folgt, dass eine Zusammenhangsform ist.

Wir werden nun den Begriff der Krümmung eines Zusammenhangs auf einem Hauptfaserbündel einführen, welcher einerseits bei der Definition der Seiberg-Witten-Gleichungen benötigt wird und andererseits in der Physik als sogenannte Feldstärke einer Eichtheorie interpretiert wird.

Definition1.3.6 Sei eine Zusammenhangsform auf .

1. Sei die zu gehörige horizontale Distribution wie in Bemerkung 1.3.3, die Projektion auf in und ein Vektorraum. Das absolute Differential ist

2. Die Krümmungsform zu ist

Notation1.3.7 Für definieren wir

Dabei ist wie in Kapitel 4, Definition 5.1.5.

Satz1.3.8 Sei eine Zusammenhangsform auf . Für die Krümmungsform zu gilt:

Dies ist die sogenannte Strukturgleichung. Ein Beweis zu dieser Gleichung findet sich zum Beispiel in [Bau14], Satz 3.15. Wieder können wir für den Fall einer abelschen Eichtheorie die resultierenden Vereinfachungen festhalten.

Korollar1.3.9 Wenn abelsch ist, dann folgt aus Bemerkung 1.1.10 und der Strukturgleichung:

1.4. Assoziierte Faser-, Vektor und Hauptfaserbündel

Sei weiterhin eine Mannigfaltigkeit, eine Lie-Gruppe und ein -HFB über .

Nachdem nun der Begriff einer Lie-Gruppe und der eines Hauptfaserbündels eingeführt wurde, text

Definition1.4.1 Sei eine Mannigfaltigkeit und eine Linkswirkung von auf . Definiere auf dem Produkt die Äquivalenzrelation

Den Quotienten bezüglich notieren wir als

Setze . Dann existiert genau eine Struktur auf , sodass ein Faserbündel mit Fasertyp wird. Dies bezeichnen wir als das zu und der Wirkung von auf assoziierte Faserbündel.

Für den Beweis zur Existenz und Eindeutigkeit der Faserbündelstruktur verweisen wir z.B. auf Satz 2.7 in [Bau14]. In der folgenden Definition betrachten wir den Fall, dass ein Vektorraum oder eine Lie-Gruppe ist. In diesem Fall zeichnet sich das assoziierte Faserbündel dadurch aus, dass es die zusätzliche Struktur als Vektorbündel bzw. Hauptfaserbündel trägt. Dies benötigen wir z.B. bei der Definition des Spinorbündels (ein Vektorbündel) in Kapitel 2.

Definition1.4.2

1. Wenn ein reeller oder komplexer Vektorraum ist und eine Darstellung von auf ist, dann definiert

   eine Linkswirkung von auf . Auf dem assoziierten Faserbündel definieren wir für alle und eine Vektorraumstruktur auf der Faser über , sodass die Abbildung

   ein Vektorraum-Isomorphismus wird. Die so definierte Vektorraum Struktur ist unabhängig von der Wahl des Punktes , da für eine lineare Abbildung ist. Das so definierte Vektorbündel nennen wir das assoziierte Vektorbündel zu und der Darstellung von auf und wir schreiben

2. Wenn eine Lie-Gruppe ist und eine Lie-Gruppen-Homomorphismus ist, dann definiert

   eine Linkswirkung von auf . Auf dem assoziierten Faserbündel definieren wir die Rechtswirkung

   Diese Wirkung ist fasertreu und einfach transitiv in jeder Faser und somit bildet ein -HFB. Dies nennen wir das zu und assoziierte Hauptfaserbündel.

Beispiel1.4.3 Sei das Basenbündel von und die Standard-Darstellung von auf . Dann gilt

Um dies einzusehen, definieren wir einen Vektorbündel-Isomorphismus durch

Ist , so gilt und und somit ist wohldefiniert. Die Abbildung ist außerdem surjektiv und hat eingeschränkt auf jede Faser trivialen Kern, da eine Basis ist. Somit ist ein Vektorbündel-Isomorphismus.

Um die in Kapitel 2 definierte Clifford-Multiplikation als Bündelhomomorphismus fortsetzen zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma1.4.4 Sei eine Darstellung von auf einem Vektorraum , eine weitere Lie-Gruppe, ein Lie-Gruppen-Homomorphismus und eine -Reduktion von . Dann definiert eine Darstellung von auf und die zugehörigen assoziierten Vektorbündel

sind isomorph.

Beweis: Ein Faserbündel-Isomorphismus ist gegeben durch

Die Abbildung ist wohldefiniert, da -äquivariant ist und somit für alle gilt

Die Abbildung ist außerdem nach Definition linear auf jeder Faser. Sie ist zusätzlich fasertreu (da fasertreu ist) und glatt (da glatt ist). Um zu zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist, wählen wir ein beliebiges Element und ein beliebiges Element . Dann gibt es ein mit und somit gilt

Nun bleibt zu zeigen, dass die Abbildung injektiv ist. Seien mit . Es existiert ein mit . Dann gilt mit dem Ergebnis aus Gl. (1.1)

Also gilt . Also auch

Somit ist bijektiv und tatsächlich ein Vektorbündelisomorphismus.

1.5. Kontravariante Darstellungen und die lokale Krümmungsform

Sei wieder eine Mannigfaltigkeit, eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra, ein -HFB über und eine Zusammenhangsform auf . Sei außerdem ein reeller oder komplexer Vektorraum und eine Darstellung von auf .

Definition1.5.1 [Bau14] Eine -Form heißt

1. horizontal, falls auf vertikalen Vektoren verschwindet, d.h.

2. vom Typ oder -äquivariant, falls für alle gilt

Wir bezeichnen die Menge der , welche beide Bedingungen erfüllen, also horizontal und -äquivariant sind, mit

Satz1.5.2 [Sch24] Sei das zu und der Wirkung von auf assoziierte Vektorbündel und die Projektion in . Es existiert ein kanonische Zuordnung

welche definiert ist durch die Eigenschaft, dass für alle gilt:

Beweis: Satz 10.1. in [Sch24] bzw. Satz 3.5 in [Bau14].

Lemma1.5.3 Wenn von Typ ist, dann auch und .

Beweis: Proposition 9.4. in [Sch24].

Korollar1.5.4 Die Krümmungsform zu ist nach Lemma 1.5.3 horizontal und vom Typ , d.h. es gilt:

Definition1.5.5 Das adjungierte Bündel ist

Definition1.5.6 Sei der Isomorphismus aus Satz 1.5.2 (hier mit ). Dann definieren wir

Dies nennen wir die lokale Krümmungsform zu (bzw. zu ).

Bemerkung1.5.7 [Bau14] Die Differenz zweier Zusammenhänge auf ist nach Definition horizontal und vom Typ . Ist andererseits , so ist

eine Zusammenhangsform auf P. Die Menge der Zusammenhangsformen auf ist folglich ein affiner Unterraum von (aufgefasst als -Vektorraum), aufgespannt durch den Vektorraum . In diesem Sinne lässt sich die Menge der Zusammenhänge auf nach Wahl einer Basis-Zusammenhangsform mit identifizieren.

Satz1.5.8 Für das absolute Differential auf gilt

mit und wie in Definition 5.1.5.

1.6. Induzierte Zusammenhänge auf assoziierten Vektorbündeln

Sei wieder eine Mannigfaltigkeit, eine Lie-Gruppe, ein -HFB über und eine Zusammenhangsform auf . Sei außerdem eine Darstellung von auf einem reellen oder komplexen Vektorraum und das zu und assoziierte Vektorbündel.

Definition1.6.1 Definiere eine Abbildung , sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Definition1.6.2 Der durch induzierte Zusammenhang auf ist:

Proposition1.6.3 ist ein Zusammenhang auf !

Beweis: Die -Linearität in ist klar, da . Die -Linearität in folgt aus der noch zu beweisenden Produktregel: Proof needed

Lemma1.6.4 Sei ein lokaler Schnitt, und definiert durch:

Dann gilt für den durch induzierten Zusammenhang:

Beweis:

Wir führen nun den Begriff einer Eichtransformation ein, welcher auch als Kernbestandteil in der Definition des Seiberg-Witten-Modulraums in Kapitel 3 auftreten wird. Dieser Begriff hätte schon in Abschnitt 1.2 eingeführt werden können, jedoch haben wir nun die weiterführenden Begriffe (Zusammenhangsformen, Krümmung, induzierte Zusammenhänge) eingeführt, um direkt das Transformationsverhalten dieser Objekte beschreiben zu können.

Insbesondere ist die Invarianz des Lösungsraums einer Differentialgleichung unter Eichtransformationen eine wichtige Bedingung, die für eine physikalische Theorie gefordert wird. Eine solche Invarianz wird zum Beispiel von den Seiberg-Witten-Gleichungen erfüllt, welche wir in Kapitel 3 definieren werden.

Definition1.6.5

1. Eine Eichtransformation von ist ein HFB-Isomorphismus . Mit anderen Worten: Eine Eichtransformation ist ein Diffeomorphismus , welcher

   • fasertreu ist, d.h.

   • -äquivariant ist, d.h.

   Wir bezeichnen mit die Gruppe der Eichtransformationen von .

2. Jeder Eichtransformation ordnen wir (bijektiv) ein Element in

   durch die Bedingung für alle zu.

Bemerkung1.6.6 Wenn eine Eichtransformation ist, dann ist wieder eine Zusammenhangsform auf und es gilt

Dabei ist mit die adjungierte Darstellung von wie in Definition 1.1.9 und die Maurer-Cartan-Form von aus Definition 1.1.14. Dies nennen wir den transformierten Zusammenhang zu und .

In der Maxwell-Theorie der Physik wird eine Eichtransformation häufig als Gradient einer glatten Funktion geschrieben. Dort wird geschrieben, dass sich ein sogenanntes Viererpotential transformiert als

Dies ist tatsächlich nur möglich, wenn die Symmetriegruppe der Eichtheorie abelsch ist, eine Eichtransformationen mit einer glatten Funktionen identifiziert wird und diese Abbildung einen globalen Logarithmus besitzt.

Lemma1.6.7 Sei eine Eichtransformation, die Lie-Algebra von und die Exponentialabbildung wie in Definition 1.1.12. Es existiere außerdem für ein globaler Logarithmus, d.h. es existiert eine glatte Abbildung mit . Dann gilt für den transformierten Zusammenhang

Beweis: Seien und . Dann gilt mit Gl. (1.2) und der Definition der Maurer-Cartan-Form (siehe Definition 1.1.14)

Da wir in Kapitel 3 eine abelsche Eichtheorie betrachten, sind wir auch an dieser Stelle an den Vereinfachungen interessiert, die in diesem Fall auftreten.

Bemerkung1.6.8 Sei abelsch und die Lie-Algebra von . Dann gelten die folgenden Aussagen:

1. ist trivial.

2. , wobei die Projektion auf in ist.

3. .

4. Wenn eine Eichtransformation ist, dann existiert eine glatte Funktion mit

   Wenn zusätzlich einen globalen Logarithmus zulässt, d.h. es existiert eine glatte Abbildung mit , dann gilt für den transformierten Zusammenhang

Beweis: (i) folgt sofort aus für alle . (ii) folgt aus der Definition von mittels der Identifikation aus (i) und der Feststellung, dass in dieser Situation die Projektion in ist. (iii) folgt aus Satz 1.5.8 und wieder aus für alle .

2. Semi-Riemannsche Spinorgeometrie

Anknüpfend an Begriffe aus Kapitel 1 definieren wir in diesem Kapitel die Konzepte der Spin- bzw. -Strukturen sowie den Dirac-Operator einer semi-Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit. Vorausgesetzt wird der Begriff einer quadratischen Form auf einem Vektorraum. Die Definitionen folgen denen aus [Sch25] und erweitern diese um die Diskussion des semi-Riemannschen Falls.

2.1. Motivation

Die Fundamentalgruppe von mit ist . Daher ist die universelle Überlagerung von mit eine zweifache Überlagerung, genannt :

Die Überlagerungsabbildung ist eine Darstellung, welche zwei Elemente auf die Identität abbildet und sie ist somit nicht injektiv. Für die Gruppe existieren jedoch weitere Darstellungen, insbesondere injektive und diese nennen wir Spin-Darstellungen. Es ist interessant zu fragen, wann eine Reduktion der Strukturgruppe des Tangentialbündels einer riemannschen Mannigfaltigkeit mittels der Spin-Darstellung von auf die Spin-Gruppe möglich ist, da sich in diesem Fall der sogenannte Dirac-Operator als eine Art „Wurzel“ des Laplace-Operators definieren lässt. Der Dirac-Operator lässt sich auch im semi-Riemannschen Fall definieren und ist im Fall einer Lorentz-Mannigfaltigkeit wichtig, da sein zugehöriges Eigenwertproblem in der Physik sogenannte Spin- Fermionfelder vor der Zweitquantisierung beschreibt.

2.2. Clifford-Algebren

Sei ein Körper, ein -dimensionaler -Vektorraum und eine quadratische Form auf .

Zuerst werden wir nun die sogenannte Tensoralgebra über einführen, um damit die Clifford-Algebra und anschließend die Pin- und Spin-Gruppe zu konstruieren zu können.

Definition2.2.1 Die Tensoralgebra über ist

zusammen mit dem Tensorprodukt als Multiplikation. Elemente in dieser -Algebra sind demnach endliche Summen von reinen Tensoren, d.h. Elementen in .

Die Clifford-Algebra zu soll diejenige -Algebra sein, die enthält und in der für alle gilt

Außerdem soll sie die „kleinste“ Algebra sein, die diese Eigenschaften erfüllt. Wir werden diese Algebra explizit als Quotientenalgebra aus der Tensoralgebra über konstruieren und später feststellen, dass die so konstruierte Algebra eine gewisse universelle Eigenschaft erfüllt (Lemma 2.2.3) und somit tatsächlich die kleinste solche Algebra ist.

Definition2.2.2 [Sch25] Sei das zweiseitige Ideal in der Tensoralgebra über , welches erzeugt wird (d.h. -multiplikativ und additiv) von Elementen der Form:

D.h. besteht aus endlichen Summen von Elementen der Form

Setze:

In wird die Struktur einer -Algebra induziert, da ein zweiseitiges Ideal in ist. Wir nennen die Clifford-Algebra zu und, wenn der Kontext klar ist, auch nur Clifford-Algebra.

Insbesondere für die spätere Definition einer sogenannten Spin-Darstellung benötigen wir die wie folgt lautende universelle Eigenschaft, welche auch der Aussage entspricht, dass die Clifford-Algebra zu die kleinste Algebra ist mit den geforderten Eigenschaften.

Lemma2.2.3 Sei die Clifford-Algebra zu und wie in Satz 2.2.4. Wenn eine weitere -Algebra ist und eine lineare Abbildung, die für alle die Bedingung erfüllt, dann existiert ein eindeutiger Algebren-Homomorphismus mit .

Beweis: Nach universeller Eigenschaft der Tensoralgebra existiert genau ein Algebrenhomomorphismus mit . Da gilt, kann auf fortgesetzt werden zu einer Abbildung mit . Es folgt . Nach der universellen Eigenschaft von Quotienten ist eindeutig.

Einige weitere wichtige Eigenschaften dieser Algebra sind die Folgenden.

Satz2.2.4 Sei die Clifford-Algebra zu , die Inklusion von in die Tensoralgebra und die Projektion in . Sei außerdem die Charakteristik von ungleich 2.

1. Die Abbildung

   ist injektiv. Wir werden daher ab nun identifizieren.

2. Sei eine Basis von . Dann ist

   eine Basis von .

3. Wenn die Charakteristik von ungleich ist und die zu gehörige symmetrische Bilinearform, definiert durch für alle , dann gilt für alle

Es ist verlockend an dieser Stelle auf einen simplen, kurzen Beweis in [LM89] zu verweisen. Der ??

Zum Beweis verweisen wir auf Lemma 1.3 und insbesondere Korollar 1.4 in [Sch25]. Die Aussagen gelten auch für allgemeine Körper, sind in diesem Fall jedoch schwieriger zu beweisen.

Um die Notation zu vereinfachen, führen wir die folgende Schreibweise ein.

Definition2.2.5 Sei die quadratische Standardform mit Signatur auf und ihre Fortsetzung auf definiert durch

Dann definieren wir:

Die Clifford-Algebra bzw. nennen wir die reelle bzw. komplexe Clifford-Algebra mit Signatur .

Beispiel2.2.6 Die reelle Clifford-Algebra , d.h. die Clifford-Algebra der reellen Zahlen (als reeller Vektorraum) und der quadratischen Form ist als Algebra isomorph zur Algebra der komplexen Zahlen zusammen mit der komplexen Multiplikation:

Dies können wir wie folgt einsehen. Gemäß Satz 2.2.4 ist eine Basis von . Somit definieren wir eine lineare Abbildung durch

Die so definierte Abbildung ist ein Vektorraum-Isomorphismus. Sie ist sogar ein Algebren-Isomorphismus, denn es gilt

Zur Konstruktion der in der Motivation angekündigten Überlagerung benötigen wir außerdem die folgende Abbildung.

Definition2.2.7 Sei die Clifford-Algebra zu und eine Basis von . Sei für alle und folgende Abbildung definiert:

Durch lineare Fortsetzung entsteht ein Algebrenhomomorphismus auf ganz .

Da diese Abbildung zur Identität quadriert, verleiht sie der Clifford-Algebra zu eine -Graduierung, was beispielsweise in der Zerlegung in Real- und Imaginärteil entspricht. Siehe dazu im Kapitel 4, Definition 5.11 und Beispiel 5.12.

2.3. Darstellungen der Pin- und Spin-Gruppe

Sei wieder ein Körper, ein -dimensionaler -Vektorraum und eine nicht-entartete quadratische Form auf . Sei außerdem die Clifford-Algebra zu .

Wir werden nun die Pin- und Spin-Gruppe als multiplikative Untergruppe der Clifford-Algebra einführen. Anschließend werden wir eine Abbildung von der Pin-Gruppe in die Invarianzgruppe der quadratischen Form definieren und zu dieser Abbildung im Fall bemerken, dass sie eine doppelte Überlagerung ist.

Bemerkung2.3.1 Die Clifford-Algebra ist eine unitäre, assoziative Algebra. In existiert außerdem für alle mit das multiplikative Inverse

Somit existieren die folgenden Gruppen:

Definition2.3.2

1. Die Pin- und die Spin-Gruppe zu sind die folgenden multiplikativen Untergruppen der Clifford-Algebra

   Wir betrachten ab nun auf bzw. die Teilraumtopologie.

2. Die Invarianzgruppe von ist

   Die spezielle Invarianzgruppe von ist

Wie angekündigt werden wir nun feststellen, dass mit dieser Definition der Pin- und Spin-Gruppe eine elegante Konstruktion einer doppelten Überlagerung der soeben definierten (speziellen) Invarianzgruppe von einhergeht. Es sei jedoch gesagt, dass die Invarianzgruppe von nicht immer die Interpretation als die zu einer Norm gehörigen orthogonalen Gruppe zulässt. Beispielsweise ist im Fall die quadratische Form nicht einmal reell-wertig und kann somit nicht das Quadrat einer Norm sein.

Definition2.3.3 Sei die Clifford-Algebra und die Pin-Gruppe zu . Sei außerdem der Algebrenhomomorphismus aus Definition 2.2.7. Definiere die folgende Abbildung:

Bemerkung2.3.4 Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ein Algebrenhomomorphismus und die Abbildung auf das Inverse in ein Antialgebrenhomomorphismus ist.

Um das Bild der so definierten Abbildung auf die Invarianzgruppe von einschränken zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma2.3.5 Sei die Charakteristik von ungleich und die zu gehörige symmetrische Bilinearform, definiert durch für alle . Sei außerdem der Algebrenhomomorphismus aus Definition 2.2.7. Dann gilt für mit

Dies entspricht der Reflektion von an der bezüglich orthogonalen Hyperebene .

Beweis: Für gilt und . Somit gilt mit Satz 2.2.4:

Somit können wir aus der Eigenschaft, dass ein Gruppenhomomorphismus ist, folgendes Korollar schließen.

Korollar2.3.6 Sei die Charakteristik von ungleich 2 und der Gruppenhomomorphismus aus Definition 2.3.3. Für mit für alle entspricht

der Hintereinanderausführung von -Spiegelung an den bezüglichen orthogonalen Hyperebenen bis . Insbesondere lässt sich auffassen als eine Abbildung

Lemma2.3.7 Im Fall tragen und die Clifford-Algebra zu auf natürliche Weise eine Topologie als endlich-dimensionale reelle bzw. komplexe Vektorräume. awjdlawdl Die Abbildung ist stetig, da die zugehörige Auswertungsabbildung

wdalwk

Insgesamt ist es das Ziel diese (bisher nur stetige) Abbildung als Lie-Gruppen-Homomorphismus auf zu fassen, um später eine Reduktion der Strukturgruppe des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit anhand dieser Abbildung zu definieren. In diesem Sinne müssen wir zuerst die Pin- und die Spin-Gruppe als Lie-Gruppen auffassen. Dies wird sich aus der Identifikation dieser Gruppen als abgeschlossene Untergruppen der folgenden Lie-Gruppe ergeben.

Lemma2.3.8 Im Fall bildet die Menge der beidseitig invertierbaren Elemente in („Einheiten“) mit der glatten Struktur als Untermannigfaltigkeit von eine Lie-Gruppe.

Beweis: Der Beweis folgt der Argumentation in [Sch25], mit kleinen Anpassungen. Seien bzw. die Links- bzw. Rechtsmultiplikation mit . Die Menge der Einheiten in ist offen in , denn sie ist Schnittmenge der von links bzw. von rechts invertierbaren Elemente und diese Mengen sind offen, da

Somit bildet eine Untermannigfaltigkeit von . Die Multiplikation in ist glatt, da sie Einschränkung einer bilinearen Abbildung auf ist. Durch die Wahl einer submultiplikativen Norm auf , kann durch Abschätzung der Potenzreihe mittels der Submultiplikativität der Norm gezeigt werden, dass die Abbildung

glatt ist. Also ist die Abbildung auf das Inverse

glatt um . Sie ist daher auch glatt um alle , da sie sich als folgende Komposition ergibt

Schließlich bleibt für die Auffassung der Pin- und Spin-Gruppe als Lie-Gruppen zu zeigen, dass diese abgeschlossene Untergruppen der Einheiten sind. Im riemannschen Fall ( positiv definit) ergibt sich dies auf einfache Art, da sie in diesem Fall als Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen (der Multiplikation) sogar kompakt (und insbesondere abgeschlossen) sind. Für den allgemeinen Fall werden wir stattdessen aus dem folgenden Satz, der als Satz von Cartan-Dieudonné bekannt ist, folgern, dass die Abbildung bzw. ihre Einschränkung auf die Spin-Gruppe surjektiv ist und somit die Pin- bzw. Spin-Gruppe abgeschlossen als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist:

Satz2.3.9 Wenn eine nicht-ausgeartete quadratische Form auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ungleich ist, dann ist jedes Element der Invarianzgruppe (definiert analog wie in Definition 2.3.2) eine Hintereinanderausführung von (maximal )-Reflektionen.

Korollar2.3.10 Sei die Charakteristik von ungleich und bzw. die Pin- bzw. Spin-Gruppe sowie bzw. die (spezielle) orthogonale Gruppe, jeweils zu . Die Abbildung aus Definition 2.3.3 ist surjektiv (nach dem Satz von Cartan-Dieudonné), stetig und somit ist abgeschlossen. Da sich außerdem aus einer geraden Anzahl an Reflektionen zusammensetzt, folgt und somit auch, dass abgeschlossen ist.

Korollar2.3.11 Sei . Die Gruppen und zu sind als abgeschlossene Untergruppen der Lie-Gruppe der Einheiten in wieder Lie-Gruppen und die Abbildung bzw. ihre Einschränkung ist als stetiger Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen nach Lemma 1.1.5 glatt, also ein Lie-Gruppenhomomorphismus.

Schließlich lässt sich feststellen, dass die so gefundene Darstellung tatsächlich eine zweifache Überlagerung ist. Dazu bemerken wir, dass die Abbildung ein lokaler Diffeomorphismus ist und der Kern der Abbildung aus zwei Elementen besteht.

Lemma2.3.12 Sei . Mit den Bezeichnungen wie bisher gilt

1. der Kern von ist und

2. die Abbildung sowie ihre Einschränkung auf ist ein lokaler Diffeomorphismus.

Beweis:

1. Sei mit . Aus folgt . Sei eine -Orthonormalbasis von . Gemäß Satz 2.2.4 lässt sich wie folgt schreiben:

   Außerdem folgt aus , dass und somit gilt:

   Insbesondere gilt für alle Basisvektoren . Für dieses Produkt gilt auch:

   Aus der letzten Zeile folgt, dass für alle und somit .
   Aus folgt schließlich . Die Inklusion ist klar.

2. Wir zeigen die Aussage für , die Aussage für folgt analog. Zuerst zeigen wir, dass ein lokaler Diffeomorphismus um ist. Sei dazu die Lie-Algebra der Lie-Gruppe und das Differential von an , sowie . Dann gilt gemäß Lemma 1.1.13

   Wäre mit , würde die gesamte Integralkurve zu im Kern von liegen, was in Widerspruch zu 1. steht. Also gilt und aus dem Umkehrsatz folgt, dass ein lokaler Diffeomorphismus um ist. Da ein Gruppenhomomorphismus ist, überträgt sich diese Eigenschaft auf ganz , denn um alle lässt sich darstellen als Abbildung:

Proposition2.3.13 Sei . Mit den Bezeichnungen wie zuvor: Die Abbildung bzw. ihre Einschränkung ist eine doppelte Überlagerung.

Beweis: Sei und . Wähle offene Umgebungen von und , sodass eingeschränkt auf bzw. ein Diffeomorphismus wird. Dann ist

eine offene Umgebung von , sodass disjunkte Vereinigung zweier offener Umgebungen ist auf die eingeschränkt jeweils ein Diffeomorphismus ist. Die Aussage für folgt analog.

Wir haben nun das folgende Theorem gezeigt.

Theorem2.3.14 Sei . Dann sind die folgenden Sequenzen exakt:

Die so gefundenen Darstellungen der Pin-Gruppe und der Spin-Gruppe wirken trivial auf dem Element . Das Ziel ist es nun eine Darstellung zu finden, die nicht trivial auf diesem Element wirkt, also injektiv ist, und wir werden eine solche Darstellung eine Spin-Darstellung nennen. Um die Notation zu vereinfachen, führen wir die folgende Schreibweise ein.

Definition2.3.15 Sei wieder die quadratische Standardform mit Signatur auf . Die folgende Gruppe nennen wir die Pin- bzw. Spin-Gruppe mit Signatur

Um eine Spin-Darstellung der Gruppe zu finden, werden wir zuerst eine Darstellung der komplexen Clifford-Algebra finden, die nicht-trivial auf dem Element wirkt, und diese dann auf einschränken. Die Physik bezeichnet eine solche Darstellung von im Fall als Dirac- bzw. Gamma-Matrizen. Zur Konstruktion dieser Darstellung benötigen wir zunächst die wie folgt definierten Matrizen und ihre Eigenschaften.

Definition2.3.16 Die Pauli-Matrizen sind:

Lemma2.3.17 Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die Pauli-Matrizen eine Basis von . Sie antikommutieren paarweise, quadrieren jeweils zur Identität und es gilt

Diese Matrizen werden wir wie folgt nutzen: Das Tensorprodukt zweier Pauli-Matrizen mit wirkt komponentenweise auf dem Tensorproduktraum :

Da ein 4-dimensionaler Vektorraum ist, können wir dieser linearen Abbildung nach Wahl einer Basis wieder eine -Darstellungsmatrix zuordnen. In der lexikographischen Basiswahl, d.h.

ist die Darstellungsmatrix zu durch das sogenannte Kronecker-Produkt der beiden Matrizen gegeben. Beispielsweise ist die Darstellungsmatrix für in dieser Basis gegeben durch:

Dem -fachen Tensorprodukt beliebiger -Matrizen kann in diesem Sinne eine -Darstellungsmatrix zugeordnet werden.

Proposition2.3.18 Sei mit sowie die komplexe Clifford-Algebra mit Signatur wie in Definition 2.2.5. Seien außerdem die Pauli-Matrizen und die -Einheitsmatrix.

1. Im Fall gerade:

   Sei eine lineare Abbildung gegeben durch:

2. Im Fall ungerade:

   Sei eine lineare Abbildung gegeben durch:

Sei anschließend eine lineare Abbildung gegeben durch:

Durch multiplikative Fortsetzung auf entsteht ein Algebren-Isomorphismus in eine Matrixalgebra bzw. in eine direkte Summe zweier Matrixalgebren.

Beweis: Sei zuerst gerade. Die Abbildung erfüllt die Voraussetzung der universellen Eigenschaft aus Lemma 2.2.3. Daher lässt sich (eindeutig) zu einem Algebren-Homomorphismus fortsetzen. Dieser ist surjektiv, denn für wird auf die Elemente

abgebildet. Durch Multiplikation dieser Elemente mit bzw. entsteht die Elemente

Durch Multiplikation dieser Elemente untereinander entstehen die Elemente

Durch Multiplikation von diesen Elementen mit bzw. und Multiplikation mit einer komplexen Zahl erhalten wir die Elemente

Da die Pauli-Matrizen eine Basis von bilden, entsteht aus Gl. (2.1) und Gl. (2.2) ganz . Aus der Surjektivität von als lineare Abbildung folgt auch die Injektivität, da .

1. Siehe [Sch25].

Definition2.3.19 Für und definieren wir den Raum der komplexen -Spinoren:

Definition2.3.20 Sei die reelle Clifford-Algebra mit Signatur wie in Definition 2.2.5 und die Spin-Gruppe mit Signatur wie in Definition 2.3.15.

1. Die Spin-Darstellung von ist der Algebren-Homomorphismus

2. Die Spin-Darstellung von ist die Einschränkung:

Zuletzt möchten wir noch feststellen, dass diese Abbildung tatsächlich eine Darstellung ist und im Fall gerade wie gefordert injektiv ist. Auch für ungerade ist diese Darstellung injektiv, jedoch ist nur der Fall für die Seiberg-Witten-Gleichungen relevant. Der für die Physik relevante Fall ist ebenfalls gerade.

Korollar2.3.21 Die Spin-Darstellung ist eine Darstellung (da sie durch einen Algebren-Homomorphismus gegeben ist) und für gerade ist sie treu (d.h. injektiv), da sie in diesem Fall durch einen Algebren-Isomorphismus gegeben ist. Sie ist außerdem stetig als Einschränkung einer linearen Abbildung und somit glatt als stetiger Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen nach Lemma 1.1.5.

2.4. Spin-Strukturen und der Dirac-Operator

Sei eine orientierte, semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei die Signatur von und das -HFB der positiv orientierten -Orthonormalbasen von .

Wie in Beispiel 1.2.7 beschrieben entspricht die Fixierung der riemannschen Metrik auf einer Reduktion der Strukturgruppe des zum Tangentialbündel gehörigen Basenbündels von auf . Es kann gezeigt werden, dass auch die Existenz einer Orientierung auf äquivalent zur Existenz einer weiteren Reduktion der Strukturgruppe des Basenbündels von auf ist. Nun möchten wir in diesem Abschnitt die Strukturgruppe von entlang der im vorherigen Kapitel eingeführten Überlagerungsabbildung weiter auf die Strukturgruppe reduzieren.

Definition2.4.1 Sei der Lie-Gruppen Homomorphismus aus Definition 2.3.3. Eine Spin-Struktur von ist ein -HFB über zusammen mit einer glatten Abbildung , sodass

1. fasertreu ist und

2. -äquivariant ist, d.h. für alle gilt

Mit anderen Worten: eine Spin-Struktur von ist eine -Reduktion von .

Während eine Reduktion der Strukturgruppe des Tangentialbündels von auf immer existiert (entspricht der Wahl einer Metrik), ist die Existenz einer Reduktion von auf (Orientierbarkeit) im Allgemeinen nicht garantiert und bildet eine topologische Invariante. Sie ist äquivalent zum Verschwinden der sogenannten ersten Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentialbündels, einem Element . Genauso ist die Existenz einer Spin-Struktur nicht garantiert und eine topologische Invariante. Sie ist äquivalent zum Verschwinden der sogenannten zweiten Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentialbündels . Beispielsweise besitzt der komplex projektive Raum keine Spin-Struktur (siehe Beispiel II.2.4 in [LM89]).

Insbesondere besitzt jede Mannigfaltigkeit mit trivialen Tangentialbündel (zum Beispiel jede Lie-Gruppe und jede zusammenziehbare Mannigfaltigkeit) eine Spin-Struktur. Dies ist zum Beispiel für den Minkowskiraum in der Physik relevant. Im Weiteren werden wir immer schreiben „Sei eine Spin-Struktur… „ und damit den F von voraussetzen Setzen wir nun eine Spin-Struktur voraus, können wir das Spinorbündel und Schnitte darin definieren:

Definition2.4.2 Sei eine Spin-Struktur von und der Raum der komplexen -Spinoren. Sei außerdem die Spin-Darstellung von . Das Bündel

heißt Spinorbündel zur Spin-Struktur . Schnitte nennen wir Spinorfelder.

Um nun den Dirac-Operator definieren zu können, benötigen wir einen Zusammenhang im Spinorbündel. Dazu fixieren wir den Levi-Civita-Zusammenhang zu auf , welcher einer Zusammenhangsform auf dem Basenbündel mit

entspricht.

Bemerkung2.4.3 Weil der Levi-Civita-Zusammenhang ein metrischer Zusammenhang ist (und somit -Orthonormalbasen unter Parallelverschiebung -Orthonormalbasen bleiben), schränkt sich zu einer Zusammenhangsform auf ein.

Definition2.4.4 Sei eine Spin-Struktur von und die zum Levi-Civita-Zusammenhang auf gehörige Zusammenhangsform auf . Dann definieren wir folgende Zusammenhangsform auf :

Dabei ist die Darstellung aus Definition 2.3.3 und die Lie-Algebra von . Den induzierten Zusammenhang auf nennen wir Spinorableitung und schreiben

Der Dirac-Operator soll als Differentialoperator erster Ordnung auf den Spinorfeldern operieren. Für einen Spinorfeld ist jedoch nicht wieder ein Spinorfeld. In physikalischer Sprache würde gesagt werden, dass einen Index trägt und mit den sogenannten Gamma-Matrizen „kontrahiert“ werden muss, damit ein Lorentzskalar entsteht. In diesem Sinne führen wir nun die sogenannte Clifford-Multiplikation ein.

Definition2.4.5 Sei sowie die Spin-Darstellung von aus Definition 2.3.20. Die Abbildung

nennen wir Clifford-Multiplikation.

Bemerkung2.4.6 Die Auswertungsabbildung

ist bilinear und somit glatt. Außerdem ist die Spin-Darstellung von glatt als lineare Abbildung und somit ist glatt als Verknüpfung glatter Abbildungen.

Lemma2.4.7 Sei die Spin-Darstellung von und die Darstellung aus Definition 2.3.3. Die Clifford-Multiplikation ist auf die folgende Weise -äquivariant:

Beweis: Für gilt: . Somit gilt:

Durch Multiplikation mit entsteht die zu zeigende Aussage.

Vermöge dem vorherigen Lemma möchten wir nun die Clifford-Multiplikation als einen Bündelhomomorphismus der Form auffassen.

Definition2.4.8 Sei das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von . Sei die Darstellung aus Definition 2.3.3 und die Cliffod-Multiplikation wie in Definition 2.4.5. Wir fassen mittels Lemma 1.4.4 wie folgt auf:

Definiere eine Abbildung durch

Wir geben auch dieser Abbildung den Namen Clifford-Multiplikation und den Buchstaben .

Proposition2.4.9 Die so definierte Abbildung ist ein wohldefinierter Vektorbündelhomomorphismus zwischen -Vektorbündeln.

Beweis: Die Wohldefiniertheit folgt aus Lemma 2.4.7. Außerdem ist nach Definition fasertreu und linear auf jeder Faser. Die Abbildung wird induziert von der gemäß Bemerkung 2.4.6 glatten Abbildung

und ist somit glatt.

Nun nutzen wir die Clifford-Multiplikation und die Spinorableitung, um den Dirac-Operator zu definieren, welcher sowohl in der Physik als auch in den Seiberg-Witten-Gleichungen eine wichtige Rolle spielt.

Definition2.4.10 Sei das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von . Sei die Spinorableitung wie in Definition 2.4.4, ein lokales -ONB-Feld über und . Dann definieren wir über

Dies ist die lokale Definition wie sie in der Physik üblich ist. Wir werden nun zeigen, dass diese Definition unabhängig von der Wahl des -ONB-Felds über ist. Gleichzeitig werden wir den Dirac-Operator dabei global formulieren.

Definition2.4.11 Sei das Spinorbündel zu einer Spin-Struktur von , die Spinorableitung, der durch die Metrik auf gegebene musikalische Isomorphismus und die Clifford-Multiplikation. Der Operator

heißt Dirac-Operator.

Proposition2.4.12 Sei wie in Definition 2.4.10. Schränkt man den Dirac-Operator aus Definition 2.4.11 auf lokale Schnitte über ein, stimmt dieser mit dem Operator aus Definition 2.4.10 überein. Definition 2.4.10 ist insbesondere unabhängig von der Wahl des lokalen -ONB-Feld.

Beweis: Seien die Bezeichnungen wie in Definition 2.4.10 und ein Vektorfeld auf . Dann gilt über :

In den Seiberg-Witten-Gleichungen tritt ein Schnitt im sogenannten positiven-Spinorbündel auf. Damit ist die positive Chiralität aus der Physik gemeint. Dies wollen wir nun definieren.

Lemma2.4.13 Sei gerade und die Spin-Gruppe mit Signatur .

1. Das Element liegt im Zentrum der Gruppe (d.h. es kommutiert mit allen Elementen in ).

2. Für dieses Element gilt

Beweis: Für alle gilt

Für das Quadrat des Elements gilt

Definition2.4.14 Sei gerade, die Spin-Gruppe mit Signatur und die Spin-Darstellung von . Der Chiralitätsoperator ist

Proposition2.4.15 Seien die Bezeichnungen wie zuvor und weiterhin gerade.

1. Für alle gilt

2. Der Chiralitätsoperator erfüllt und hat somit nur die Eigenwerte .

Beweis: Wir benutzen Lemma 2.4.13. Für die Abbildung gilt:

Für das Quadrat des Chiralitätsoperators gilt:

Somit ergeben sich die folgenden Definitionen.

Definition2.4.16 Sei gerade, der Chiralitätsoperator wie in Definition 2.4.14 und die Spin-Gruppe mit Signatur .

1. Die Eigenräume von bezeichnen wir als

   Elemente von heißen Spinoren positiver Chiralität und Elemente von heißen Spinoren negativer Chiralität.

2. Die Einschränkung der Spin-Darstellung auf diese Unterräume

   nennen wir positive und negative Spin-Darstellung von .

3. Die Vektorbündel

   bezeichnen wir als positives- und negatives Spinorbündel

Bemerkung2.4.17 Sei gerade und . Dann antikommutiert mit dem Chiralitätsoperator (siehe Beweis zu Proposition 2.4.15). Insbesondere gilt für

Außerdem gilt (da zu einem vielfachen der Identität quadriert) und somit führt Basen von in Basen von über. Es folgt

2.5. Der Fall

Sei die Spin-Gruppe mit Signatur , die Darstellung aus Definition 2.3.3 und die Spin-Darstellung von .

Wir möchten nun die Gruppe einführen. Die Diskussionen aus dem vorherigen Abschnitt können wir nahezu analog auf diese Gruppe übertragen. Mit diesen hier eingeführten Begriffen können wir dann in Kapitel 3 die Seiberg-Witten-Gleichungen einführen. Zunächst erinnern wir an Lemma 1.1.3. und daran, dass

mit der komponentenweisen Multiplikation eine Lie-Gruppe bildet. Außerdem halten wir das folgende Lemma fest.

Lemma2.5.1 In der Lie-Gruppe bildet die Menge

eine abgeschlossene Untergruppe des Zentrums.

Beweis: Die Abgeschlossenheit folgt daraus, dass die Menge diskret ist. Sie liegt außerdem im Zentrum von , da abelsch ist und mit allen Elementen in kommutiert.

Daher können wir die folgende Lie-Gruppe definieren.

Definition2.5.2 Die -Gruppe mit Signatur ist

Elemente in dieser Gruppe notieren wir als Äquivalenzklassen:

Nun möchten wir die Darstellung und die Spin-Darstellung auf die Gruppe erweitern.

Definition2.5.3 Wie definieren die folgenden Gruppenhomomorphismen

Um diese Abbildung als Lie-Gruppen-Homomorphismen auffassen zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

Lemma2.5.4 Sei eine Mannigfaltigkeit, eine Lie-Gruppe und eine abgeschlossene Untergruppe des Zentrums von . Dann besitzt die Menge der Nebenklassen gemäß Lemma 1.1.3 eine eindeutige glatte Struktur, sodass die Projektionsabbildung eine glatte Submersion ist und es gilt

Beweis: Die Hinrichtung ist klar, da in diesem Fall glatt als Komposition glatter Abbildungen ist. Für die Rückrichtung werden wir den Fakt annehmen, dass die Projektionsabbildung „lokale Schnitte“ besitzt, d.h. um jeden Punkt existiert eine Umgebung und eine glatte Abbildung mit . Der Beweis zu diesem Fakt liegt außerhalb des Rahmes dieser Bachelorarbeit und kann z.B. in [Bau14], Satz 1.24 nachgelesen werden. Um alle kann demnach dargestellt werden als folgende Komposition

Diese Abbildung ist also glatt als Komposition glatter Abbildungen.

Korollar2.5.5 Die Gruppenhomomorphismen und aus Definition 2.5.3 sind gemäß Lemma 2.5.4 glatt, also Lie-Gruppen-Homomorphismen.

Analog zum Begriff einer Spin-Struktur können wir den Begriff einer -Struktur definieren.

Definition2.5.6 Sei eine orientierte, semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Signatur und das -HFB der positiv-orientierten Orthonormalbasen von . Eine -Struktur von ist eine -Reduktion von (nun mit anstatt ).

Auch in diesem Fall ist die Existenz einer solchen Reduktion nicht garantiert und bildet eine topologische Invariante. Des Weiteren können wir zu einer -Struktur das zugehörige Spinorbündel definieren.

Definition2.5.7 Sei eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer -Struktur . Das Spinorbündel ist

Schnitte in nennen wir Spinorfelder.

Um nun den Dirac-Operator einer -Struktur definieren zu können, benötigen wir eine Spinorableitung analog zu Definition 2.4.4, d.h. insbesondere möchten wir einen Zusammenhang auf definieren. Diesen konstruieren wir wie folgt.

Definition2.5.8 Sei eine orientierte, semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Signatur und eine Spin-Struktur für .

1. Sei der Lie-Gruppen-Homomorphismus aus Definition 2.5.3 und die Linkswirkung von auf mit für alle . Dann definieren wir das folgende -HFB über

   Dies nennen wir das Determinantenlinienbündel zu der -Struktur .

2. Wir definieren die Abbildung

3. Sei der Zusammenhang auf , welcher zum Levi-Civita-Zusammenhang zu gehört. Sei außerdem ein Zusammenhang auf . Definiere den folgenden Zusammenhang auf

   Den induzierten Zusammenhang auf dem Spinorbündel nennen wir Spinorableitung und schreiben .

Die Clifford-Multiplikation wird vollkommen analog definiert (nun mit ).

Definition2.5.9 Sei eine -dimensionale, semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer -Struktur , das Spinorbündel zu und die Clifford-Multiplikation aus Definition 2.4.5. Wie im Fall einer Spin-Struktur fassen wir das Bündel mittels Lemma 1.4.4 wie folgt auf

Die Clifford-Multiplikation ist die Abbildung definiert durch

Proposition2.5.10 Die Clifford-Multiplikation ist ein wohldefinierter -Vektorbündelhomomorphismus.

Beweis: Die Wohldefiniertheit folgt aus Lemma 2.4.7 durch Multiplikation mit . Wieder wird die Abbildung induziert von der glatten Abbildung

und sie ist somit glatt.

Nun können wir den Dirac-Operator einer -Struktur definieren. Die Definition erfolgt vollkommen analog zum Fall einer Spin-Struktur.

Definition2.5.11 Sei das Spinorbündel zu einer -Struktur von , die Spinorableitung, der durch die Metrik auf gegebene musikalische Isomorphismus und die Clifford-Multiplikation. Dann definieren wir

Wieder gilt für den Dirac-Operator eine Darstellung bezüglich einem lokalen -ONB-Feld.

Lemma2.5.12 Sei ein lokales -ONB-Feld über und . Dann gilt über

Beweis: Der Beweis verläuft wortgleich mit dem zu Proposition 2.4.12.

Wieder können wir das positive und negative Spinorbündel definieren. Genau wie im Fall einer Spin-Struktur ist die Einschränkung der -Darstellung

Definition2.5.13 Seien die Räume der positiven bzw. negativen Spinoren wie in Definition 2.4.16.

1. Die Einschränkung der -Darstellung auf

   bezeichnen wir als positive und negative -Darstellungen von .

2. Die Vektorbündel

   heißen positives und negatives Spinorbündel.

Tatsächlich

3. Der Index in der Seiberg-Witten-Theorie

Mit Hilfe der Grundbegriffe aus Kapitel 1 und Kapitel 2 werden wir nun die (perturbierten) Seiberg-Witten-Gleichungen formulieren und sie im Rahmen der Globalen Analysis einordnen.

Sei eine orientierte, riemannsche -Mannigfaltigkeit mit einer -Struktur und dem zugehörigen positven Dirac-Operator . Wir suchen Paare , wobei eine Zusammenhangsform auf dem zur -Struktur gehörigen Determinantenlinienbündel ist und ein Schnitt im positven Spinorbündel ist, so dass die Seiberg-Witten-Gleichungen

erfüllt sind. Dabei ist der durch die Metrik induzierte selbstduale Anteil der lokalen Krümmungsform zu . Die -Form auf der rechten Seite nennen wir . Wir benötigen außerdem die perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen:

Dabei ist eine vorgegebene selbstduale -Form. Es ist anzumerken, dass sowohl Gl. (3.1) als auch Gl. (3.2) aufgrund des Terms nicht linear ist. Die Gleichungen gehen außerdem auf ein Variationsprinzip zurück. Offenbar sind sie Nullstelle des Funktionals

Dieses lässt sich wie folgt umformen zu

In den nächsten Abschnitten werden wir die Menge der Lösungen bis auf Eichtransformation betrachten, also die Menge der Lösungen von Gl. (3.1) bzw. Gl. (3.2), wobei wir Lösungen, die durch eine Eichtransformation ineinander überführt werden können, miteinander identifizieren. Dies nennen wir den Modulraum. Wir werden feststellen, dass der Modulraum der perturbierten Gleichungen für fast alle selbstdualen -Formen, mit der wir die Gleichung perturbieren, eine endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Das Ziel ist es eine Formel für diese Dimension in Abhängigkeit von topologischen Invarianten von aufzustellen.

3.1. Das Definitionsgebiet

Sei eine beliebige Zusammenhangsform auf . Dann können wir das Definitionsgebiet der Seiberg-Witten-Gleichungen schreiben als

Wir betrachten nun Eichtransformationen der Form

gegeben durch eine glatte Funktion . Die Gruppe dieser Eichtransformationen

wirkt dabei auf den Konfigurationsraum durch

Der Faktor von entsteht dabei aus der Art wie wir das -HFB konstruiert haben (siehe Definition 2.5.8). Der Lösungsraum der (perturbierten) Gleichungen ist invariant unter diesen Eichtransformationen, wie wir mittels der folgenden Proposition festhalten werden.

Proposition3.1.1 Wenn eine Lösung der perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen und eine Eichtransformation ist, dann ist auch eine Lösung.

Beweis:

Daher möchten wir nun Lösungen miteinander identifizieren, die durch eine Eichtransformation ineinander überführt werden können, d.h. wir betrachten als Definitionsgebiet den Quotienten . Die Wirkung von auf ist jedoch an Punkten (sogenannte reduzible Elemente des Definitionsgebiets) nicht frei, d.h. an diesen Stellen gilt

Dies verhindert im Allgemeinen, dass eine Banach-Mannigfaltigkeit und der Modulraum der Lösungen eine Mannigfaltigkeit ist. Wir können jedoch die perturbierten Gleichungen betrachten, was in vielen Fällen dazu führt, dass keine reduziblen Lösungen existieren und das Definitionsgebiet der Gleichungen dementsprechend eingeschränkt werden kann auf

Die Gruppe der Eichtransformationen wirkt auf frei. Außerdem wird es von nutzen sein die Untergruppe

, um dieses Phänomen zu „vermeiden“, die perturbierten Gleichungen betrachten. Wir werden das Definitionsgebiet verkleinern, jedoch werden alle Lösungen im verkleinerten Definitionsgebiet

liegen. Die Me Wenn

(der Quotient bietet keine sinnvolle Struktur als Quotient), die Menge

betrachten. An dieser Stelle werden wir auch die perturbierten Seiberg-Witten-Gleichungen benötigen. Für bestimmte Wahlen der -Form mit der wir die Gleichungen perturbieren, existieren keine irreduziblen Lösungen und somit können wir das Definitionsgebiet problemlos auf einschränken.

Im Fall, dass einen globalen Logarithmus besitzt, d.h.

vereinfacht sich die Eichwirkung zu

Dies ist insbesondere der Fall, wenn einfach-zusammenhängend ist, was aus der folgenden Proposition folgt, welche zum Beispiel in [Hat03] (Proposition 1.33) bewiesen wird.

Satz3.1.2 [Hat03] Wenn eine Überlagerung topologischer Räume, ein wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer Raum und eine stetige Abbildung ist, dann existiert genau dann eine Hebung (von ) mit , wenn .

4. Eichtheorie

Beispiel4.3 Weitere Beispiele von Hauptfaserbündeln sind:

1. Sei die Einheitssphäre in und definiere:

   operiert auf von rechts durch:

   Es kann gezeigt werden, dass eine eindeutige Struktur als -HFB zulässt. Proof needed Dieses -HFB nennen wir das Hopf-Bündel.

2. Sei eine abgeschlossene Untergruppe von und die Projektion auf die Faktorgruppe. Es kann gezeigt werden, dass auf eine Struktur als glatte Mannigfaltigkeit gewählt werden kann so, dass

   mit der Rechtswirkung von als Untergruppe von eine eindeutige Struktur als -HFB zulässt. Ein ausführlicher Beweis ist zu finden in [Bau14], Satz 1.14. Dies nennen wir das homogene Hauptfaserbündel zu .

Beispiel4.4 Sei eine Mannigfaltigkeit. Dann gilt: (als Vektorbündel). Besitzt eine semi-riemannsche Metrik , dann ist ein kanonischer Vektorbündel-Isomorphismus gegeben durch:

Die Abbildung ist fasertreu und glatt (da die Metrik glatt ist). Sie ist (an jedem Punkt) linear und hat trivialen Kern. Weil und den gleichen Rang haben, folgt daraus, dass die Abbildung bijektiv ist.

Es existieren HFB, die als Faserbündel isomorph sind aber nicht als HFB, wie das nächste Beispiel illustriert.

Beispiel4.5 [Bau14] Sei das Faserbündel, welches dem Hopf-Bündel aus Beispiel 4.3 zugrunde liegt. Eine weitere fasertreue Operation von auf ist wie folgt gegeben und die -HFB sind nicht isomorph als HFB:

Beweis: Proof needed

Definition4.6 Sei ein -HFB über . Wir nennen trivialisierbar, wenn isomorph zum trivialen -HFB aus Beispiel 1.2.3 ist.

Proposition4.7 Ein -HFB ist genau dann trivialisierbar, wenn ein globaler Schnitt in existiert.

Beweis: Sei ein globaler Schnitt. Ein (HFB-)Isomorphismus ist gegeben durch:

Umgekehrt ist ein globaler Schnitt.

Proposition4.8 Jedes Vektorbündel und jedes -HFB über einer zusammenziehbaren Mannigfaltigkeit ist trivial.

Beweis: Korollar 4.8 in Kapitel 3 und Korollar 10.3. in Kapitel 4 in [Hus13].

Lemma4.9 [Sch24] Seien zwei -HFB über und eine glatte, fasertreue und -äquivariante Abbildung. Dann ist ein HFB-Isomorphismus.

Beweis: Lemma 4.14 in [Sch24].

Das folgende Beispiel wird in Kapitel 2 genutzt werden, um eine sog. Spin-Struktur für die Pseudosphäre zur kreieren:

Beispiel4.10 Sei die Standard-Bilinearform mit Signatur auf . Wir fassen die Pseudosphäre als Untermannigfaltigkeit von auf, wodurch auf eine Metrik mit Signatur induziert wird:

operiert kanonisch auf . Die Operation ist glatt (da sie Einschränkung einer glatten Operation von auf ist) und transitiv. Der Stabilisator von ist:

Das zu dieser Wirkung gehörige homogene HFB ist ein HFB über mit Strukturgruppe und dieses ist isomorph zu :

Die Abbildung folgende Abbildung ist ein HFB-Isomorphismus:

Letzteres folgt daraus, dass trivialerweise glatt, fasertreu und außerdem -äquivariant ist, denn:

Gemäß Lemma 4.9 ist ein HFB-Isomorphismus.

5. Spinorgeometrie

Sei ein -Vektorraum und eine quadratische Form auf .

Definition5.11 Sei eine abelsche Gruppe. Eine -Graduierung einer Algebra ist eine Zerlegung, sodass:

Beispiel5.12

1. Die Tensoralgebra ist -graduiert.

2. Die Involution aus Definition 2.2.7 verleiht eine -Graduierung, d.h. sie zerfällt in die Bestandteile

   definiert durch

   Mit anderen Worten: ist eine Unteralgebra von und ein Modul über . In ist dies beispielsweise die Zerlegung in Real- und Imaginärteil.

In diesem Kapitel soll es kurz um grundlegende Konstruktionen gehen, welche außerhalb der Begrifflichkeiten von Kapitel 2 und 3 eingeführt werden sollen. Wenn nicht anders gekennzeichnet, folgen die Definitionen denen aus [Sch24].

5.1. A

Sei stets eine -dimensionale, semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Signatur . Sei orientiert und die zugehörige semi-Riemannsche Volumenform. Seien die folgenden drei -Vektorbündel über gegeben oder :

Definition5.1.1 [Sch24] Eine glatte, fasertreue Abbildung heißt Vektorbündelhomomorphismus, wenn für alle linear ist. Ein Vektorbündelendomorphismus ist ein Vektorbündelhomomorphismus .

Definition5.1.2 Die Spur eines Vektorbündelendomorphismus ist , definiert durch:

Definition5.1.3 [Sch24] (Direkte Summe und Tensorprodukt von Vektorbündeln)

1. Setze:

   Es kann gezeigt werden, dass

   eine eindeutige Struktur als -Vektorbündel zulässt.

2. Analog für:

Definition5.1.4 [Sch24] (-Formen mit Werten in )

Falls trivial ist, schreiben wir auch . Insbesondere definieren wir:

Definition5.1.5 [Sch24] (Wedge-Produkt) Wenn ein Vektorbündel-Homomorphismus ist, dann definieren wir die folgende Abbildung:

durch die übliche Formel:

Bemerkung5.1.6 Beim Standard -Produkt auf ist der Vektorbündel Homomorphismus die Multiplikation auf .

Definition5.1.7 [Sch24] Eine Bündelmetrik auf (bzw. ) ist eine glatte Zuordnung von Abbildungen der Form:

sodass gilt:

• falls , dann ist eine nicht-entartete symmetrische Bilinearform,

• falls , dann ist eine nicht-entartete hermitesche Form.

Beispiel5.1.8 Die Metrik ist eine Bündelmetrik auf .

Bemerkung5.1.9 Fässt man als Modul über auf, induziert auf durch punktweise Anwendung eine unimodulare symmetrische Bilinearform () bzw. unimodulare hermitesche Form (), welche wir wieder mit bezeichnen.

Bemerkung5.1.10Notation Der durch -gegebene Isomorphismus (vgl. Beispiel 4.4) verleiht auf kanonische Weise eine Bündelmetrik, welche wir wieder mit bezeichnen. Diese lässt sich fortsetzen zu einer Bündelmetrik auf , ebenso bezeichnet mit .

Definition5.1.11 [Sch24]

1. Definiere für den Hodge-Stern-Operator

   durch die Bedingung:

   für alle .

2. Dies lässt sich punktweise fortsetzen zu einer (glatten) Abbildung:

3. Durch punktweise Anwendung erhalte einen Isomorphismus von -Modulen:

4. Setze:

Das nächste Lemma gibt eine einfache Rechenregel für den -Operator bei -Orthonormalbasen an.

Lemma5.1.12 [Sch24] Sei eine pos. or. -ONB von , die dazu duale Basis. Seien ein Multiindex und das Komplement von (d.h. die übrigen Indizes in aufsteigender Reihenfolge). Sei das Vorzeichen der Permutation . Dann gilt:

Wobei und für einen Multiindex fortgesetzt wird per Multiplikation.

Beweis: [Sch24] Citation needed

Definition5.1.13 Seien die glatten Vektorfelder und die glatten Funktionen auf . Ein Zusammenhang auf ist eine Abbildung in der folgenden Form

sodass für alle gilt:

• ist -linear in , -linear in und

• („Produktregel“)

D.h. ein Zusammenhang kann interpretiert werden als Abbildung

5.2. Lie-Gruppen und glatte Gruppenwirkungen

Sei nun eine Lie-Gruppe und eine Mannigfaltigkeit.

Definition5.2.1 [Lee19] Eine semi-Riemannsche Metrik auf heißt bi-invariant, wenn sie sowohl links- als auch rechts-invariant ist, d.h.:

Lemma5.2.2 [Lee19] Wenn eine bi-invariante Metrik auf ist, dann ist -invariant.

Beweis: Siehe Proposition 3.12. in [Lee19].

Proposition5.2.3 [Lee19] Sei eine bi-invariante Metrik auf . Dann ist der Fluss zu einem linksinvarianten Vektorfeld bezüglich eine Geodäte, d.h. die Lie-Gruppen Exponentialabbildung koinzidiert mit der geodätischen Exponentialabbildung!

Beweis: Sei der Levi-Civita-Zusammenhang. Zu zeigen ist: . Die Koszul-Formel besagt für :

Die Terme von der Form sind konstant, da und links-invariant sind. Aus Ableitung des Ausdrucks

nach folgt . Damit vereinfachen sich die letzten drei Terme wie folgt:

Dies für alle

Satz5.2.4 [Lee19] Jede kompakte Lie-Gruppe besitzt eine bi-invariante Metrik.

Beweis: Proof needed

Definition5.2.5 Eine glatte Linkswirkung von auf ist eine Abbildung

mit den folgenden Eigenschaften:

1. Für alle ist die Abbildung ein Diffeomorphismus von .

2. Das neutrale Element fixiert alle Punkte in , d.h.:

3. Für alle gilt: .

Eine glatte Rechtswirkung von auf ist eine Abbildung

welche die Eigenschaften 1. und 2. einer Linkswirkung erfüllt und für die gilt:

1. Für alle gilt: .

Wenn eine glatte Links- oder Rechtswirkung gegeben ist, sagen wir operiert auf .

Bibliografie

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