Wechselwirkungsbild.

In der Quantenmechnik hat man häufig Systeme zu untersuchen, die aus mehreren, miteinander wechselwirkenden Teile bestehen. In diesen (und manchen anderen) Fällen kann man den Hamiltonian als Summe zweier Terme darstellen

$$\hat{H}=\hat{H}_{0}+\hat{V}$$

(z.B. $\hat{H}_{0}$: nichtwechselwirkende Teile, $\hat{V}$: Wechselvirkung). Zur Beschreibung der zeitlichen Änderungen in solchen Systemen verwendet man häufig das Wechselwirkungsbild:

$$\hat{S}(t)=\exp \left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}t\right) .$$

Folglich ist

$$\psi _{W}(x,t)=\hat{S}(t)\psi _{Sch}(x,t).$$

Setzen wir die Funktion

$$\psi _{Sch}(x,t)=\hat{S}^{+}(t)\psi _{W}(x,t)$$

in die Schrödinger-Gl.

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi _{Sch}(x,t)=\left( \hat{H}_{0}+\hat{V}\right) \psi _{Sch}(x,t)$$

ein, so erhalten wir

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi _{W}(x,t)=\hat{V}_{W}\psi _{W}(x,t)$$

mit

$$\hat{V}_{W}=\exp \left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}t\right) \hat{V}\exp \left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}t\right) .$$

Alle Operatoren im WW-Bild ändern sich im Laufe der Zeit. Wenn $\hat{F}$ ein Operator im Schrödinger-Bild ist, dann ist der entsprechende Operator im WW-Bild

$$\hat{F}_{W}=\exp \left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}t\right) \hat{F}\exp \left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}t\right)$$

(das Heisenberg-Bild ist ein Spezialfall davon). I.A.

$$\frac{d}{dt}\hat{F}_{W}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F}_{W}\right] .$$