Bloch-Theorem

ausgedrückt wird. Wir beschränken uns hier zunächst auf das eindimensionale Problem. Man hat eine SGl. in einem periodischen Potential $% U(x)$ so das $U(x+na)=U(x)$, $-\infty <x<\infty$, $a$ ist die Gitterkonstante. Der Hamilton-Operator des Systems

$$\hat{H}=-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+U(x)$$

ist invariant gegen die Translation um $a$: $x\rightarrow x+a$. Solche Invarianz soll dementsprechend für alle beobachtbare Größen gelten. Die Wellenfunktion selbst ist nicht beobachtbar, somit können $% \psi (x)$ und $\psi (x+a)$ unterschiedlich sein; das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist hingegen beobachtbar, so dass

$$\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}=\left\vert \psi (x+a)\right\vert ^{2}.$$

Damit können $\psi (x)$ und $\psi (x+a)$ sich nur um einen reinen Phasenfaktor $e^{iKa}$ unterscheiden:

$$\psi (x+a)=e^{iKa}\psi (x).$$

Da $e^{iKa}$ periodisch ist, können wir stets $-\pi <Ka\le \pi$ wählen. Die Lsg. ist damit durch eine zusätzliche Wellenzahl $K$ gekennzeichnet:

$$\psi _{K}(x+na)=e^{iKna}\psi _{K}(x).$$

Das ist für jedes $x$ nur dann möglich, wenn

$$\psi _{K}(x)=e^{iKx}u_{K}(x)$$

mit $u(x)$ periodisch, $u_{K}(x+a)=u_{K}(x)$. Wenn $U(x)\rightarrow 0$, gilt $u_{K}(x)$, und die Wellenfunktionen sind die ebene Wellen; andererseits sind sie durch eine periodische Funktion moduliert. Die Fkt. $\psi _{K}(x)$ ist nicht im eigentlichen Sinne normierbar, und gehört dem kontinuierlichen Spektrum an. In einem endlichen Kristall der Länge $Na$ kann die Normierung durch periodische Randbedingung erzwungen werden:

$$\psi _{K}(x+Na)=\psi _{K}(x).$$