Kronig-Penney-Modell

Als Beispiel betrachten wir das Modell mit periodisch angeordnete $\delta$-Potentialen:

$$U(x)=D\sum_{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na)$$

(periodisches Potential mit einer Gitterkonstante $a$). Die Eigenschaften des Modells sind bei $D>0$ und bei $D<0$ weitgehend gleich; wir betrachten hier nur den Fall $D>0$ ($D<0$: siehe Hausaufgabe!).

In der Situation $D>0$ gibt es keine nichtverschwindenden Ls'gen

$$-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\psi ^{\prime \prime }+D\sum_{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na)\psi =E\psi$$

der SGl mit $E<0$. Zwischen der $\delta$-Funktionen ist das Teilchen frei; die Lösung des SGl ist eine Superposition ebenen Wellen:

$$\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}.$$

Im $n$-ten Intervall ist es zweckmässig zu schreiben

$$\psi (x)=a_{n}e^{ik(x-na)}+b_{n}e^{-ik(x-na)}.$$

Aus dem Bloch-Theorem

$$\psi (x+na)=e^{iKna}\psi (x)$$

folgt, dass nur 2 der Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ unabhängig sind: $a_{n}=a_{0}e^{ikna}$, $b_{n}=b_{0}e^{ikna}$. Wir benutzen jetzt unsere Aussage über das Verhalten einer WF im $\delta$-Potential: Bei $% D\delta (x)$ ist die Wellenfunktion stetig

$$\psi _{+}(0)=\psi _{-}(0),$$

und ihre Ableitung erfährt einen endlichen Sprung,

$$\psi _{+}^{\prime }(0)-\psi _{-}^{\prime }(0)=\frac{2m}{\hbar ^{2}}D\psi (0).$$

Solch eine ''Nahtbedingung'' soll an jedem $\delta$-Peak erfüllt werden. Daher:

$$\psi (a_{-})=a_{0}e^{ika}+b_{0}e^{-ika}=a_{1}+b_{1}=e^{iKa}(a_{0}+b_{0})$$

(Kontinuität bei $x=a$) und

$$ik(a_{1}-b_{1})-ik(a_{0}e^{ika}-b_{0}e^{-ika})=\frac{2m}{\hbar ^{2}}% De^{iKa}(a_{0}+b_{0}).$$

Insgesamt, ausgedrückt durch $a_{0}$ und $b_{0}$ bekommt man:

$$\left( \begin{array}{ll} \left( e^{ika}-e^{iKa}\right) & \l... ...\right) =\left( \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) .$$

Die Bedingung des Verschwindens der Hauptdeterminanten ergibt

$$\cos Ka=\cos ka+\frac{mD}{\hbar ^{2}k}\sin ka.$$

Schlußfolgerungen:

• Es sind nur solche Energiewerte $E=\hbar ^{2}k^{2}/2m$ erlaubt, bei denen die rechte Seite der Gl. oben den Wert 1 nicht übersteigt. Das teilt die Energieachse in Energiebänder und Energielücken (erlaubte und verbotene Zonen). Im KP-Modell ist der Beginn einer verbotenen Zone durch
  
  $$ka=\pi n$$
  
  
  gegeben ($\sin ka=0$ und $\cos ka=(-1)^{n}$). D.h. die obere Bandkanten liegen unabhängig von der Potentialstärke bei $E_{n}=\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}/\left( 2ma^{2}\right)$. Die Energiebänder sind mit dem wachsenden Index $n$ numeriert.

  Figure: $\cos Ka$ als Funktion von $ka$ für $mD/ \hbar ^2 =5$

  
• Die zu einer vorgegebeben Wellenzahl ist explizit durch die Lösung $E_{n}(k)$ gegeben. Die $K$-Abhängigkeit gibt die Banddispersion; die Gesamtheit von $E_{n}(k)$-Kurven gibt das Bandstruktur an.

  Figure 2: Banddispersion für $mD/ \hbar ^2 =5$; Energieeinheti ist $\hbar ^2 /2ma^2$.

  
• Abhängigkeiten von der Potenzialstärke:
  • Mit wachsendem $Da$ werden die Energielücken breiter; allerdings ist die jeweilige Breite der Lücke unabhängig von $Da$. Für $% Da\rightarrow \infty$ schrumpfen die Bänder zu Niveaus, mit Energien $% E_{n}$.

  • Bei festem $D$ und $a$ werden die Energiebänder mit wachsendemBandindex $n$ immer breiter

  • Bei festem $a$ und $D\rightarrow 0$ wir die Wechselwirkung der Elektronen mit dem Gitter ausgeschaltet. Alle Energien $E$ sind dann erlaubt.